Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Температура в центрированной волне убывает и за волной Н будет меньше Тв, а в ударной волне Т возрастает и за волной У+ будет больше Те. Позтому в газе кроме волн Л . У+ обязательно должен образоваться контактный разрыв. 26.43 1) Значение постоянной 1в н координаты твердой стенки х не влияют на течение газа прн 1 > 1е. Положим т = 1 — 1о и хх = О. Тогда рассматриваемая задача о движении газа при т > О сводится к задаче 26.39 с дополнительными ограничениями.
Движение при т > О автомодельно. 2) В газе образуется отраженная ударная волна. 3) Давление на стенке увеличится. 26.44 Положив т = 1 — ~е, а координату х контактного разрыва равной нулю, сведем рассматриваемую задачу о движении газа прн 1 > 1е к задаче 26.39 с дополнительными ограничениями на начальные данные. Движение при 1 > 1в автомодельно. а) При г1 < 1хг в газе 1 образуется центрированная волна, а в газе 2 — ударная волна. б) При $'1 > Гг образуется две ударные волны, распространяющиеся в противоположных направлениях.
В общем случае, как при 1г < $г, так и при Ъ~ > $г, образуется контактный разрыв. 26.45 В газе 1 отраженная волна не образуется, если заданные при 1 < 1о на контактном разрыве значения ро, гож 1'ог; ты тг и давление р за фронтом ударной волны удовлетворяют условиям (1 — жг) ког 7 — 1 (А 1)р = ро(зсг — гсгА), А = (1 — зс1) го1 7+ 1 26.46 Из уравнения движения в форме Эйлера следует, что для стационарных течений т дог + гас 1, ~г 2 д1 и дт д д где т = —, Йв = —, — = т —, Й вЂ” кривизна линии тока. в' д1' д1 дх Вектор и направлен к центру кривизны линии тока. 255 26 Гвмован динамика 26.47 Следует из уравнения движения в форме Громекн-Лзмба, определения 1„, см.
формулу (26.14), н соотношения 171 = 7'~ув + $'17р. 2648 ) — ) <ОприО<М<1; ) — ) >ОприМ>1. /д7~ /д)~ др 5 др в 26.49 Возможные случаи следуют из соотношения дМз 2$'(1 — Мз + ГМз) Р' дзр д$' При ~ ) >О, Г>0: уд р1 д1 2 /дМ~ а) если М< 1,то ~ — ) <0; др * /дМ 1 б) если М>1иГ>1,то ~ ) <О; др $ в) если М > 1 и Г < 1, то М может изменяться немонотонно. При ~ ) <О, Г<0: Г д'р~ ~ дР г7), а) если М < 1, то М может изменяться немонотонно; /дМ~ б) если М>1,то) — ) >О. др .1 26.50 Рассмотрим функцию 1 2 ~р(р„,в,р) =1„— 1(р,в) — — а (р,в), где г„= г(р„,в).
2 Согласно определению критических параметров у1р„, в, рь) = О. Так как в. = вь = в по определению, то в в обоих случаях единственным образом определяется из уравнения состояния по заданным величинам и задача сводится к отысканию рь (или р„). Утверждения 1) и 2) следуют из монотонности функции р1р., в, р) по параметрам р и р.: — >О, ~ = — — Р— <О. 256 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.51 Если при фиксированном л увеличить (уменьшить) р„, то в рассматриваемых газах рь и Ть возрастут (уменьшатся), а Ъ~ уменьшится (возрастет). 26.52 При стационарном течении О = О в рассматриваемой системе координат и из 1-го и 3-го условий 126.6) следует, что на ударной волне г г г 2 2 — +1г = — +1г, т.
е, 1,г —— 1,г. 26.53 1) На ударной волне энтальпия торможения 1. непрерывна, см. задачу 2В.52, и перед ее фронтом по условию постоянна. Поэтому в потоке за фронтом ударной волны 1„= сопвг и, следовательно, гог н к и = Т17в, см. задачу 26.47. 2) Это соотношение в проекциях на единичные векторы и, т и иг имеет вид 2(п,ш„— п„а~,) = Т(гУл иг); 2м,п„= Т(ив т); 2ш и, = — Т(Чв. и). Здесь 2аг = гоги. 26.54 1) Формула для дл/д1 следует из соотношений с (10 1) ° г г — ) =,„1 (1~'о) =оно~ нво= — новгпР, нтог цосовР.
щг) и 2Т 2) Если плотность потока массы через ударную волну, как функция точки на ее поверхности не равна тождественно константе, то этого достаточно, чтобы течение за фронтом было вихревым. За фронтом ударной волны энтропия будет постоянной, если а) н,=О, — ~О; б) н,фО, — =О; в) н,=О, — =О. д13 д13 д13 Примеры: а) течение со сферической ударной волной, б) осесимметричное течение с конической ударной волной, в) плоская ударная волна, ортогональная По.
2В.55 Воспользоваться соотношением г11 = Тг1л + 'г'г1р. Для вывода второй и третьей формул в правой части перейти к независимым переменным (1~, л) и (Т, р) соответственно. 26. Газовая динамика 26.56 Величина р, уменьшается, а Ъ'„возрастает. Это следует из непрерывности 1„и возрастания л на ударной волне и формул, полученных в задаче 26.55.
26.57 Р = Т1(р) (или 1 = г(Т)). В совершенном газе на ударной волне (Т'„] = О. 26.58 В совершенном газе а~~ = (1+ к)КТ„и поэтому на ударной волне (аь] = О. Здесь к = (у — 1)/(у+ 1). л2 а1 26.59 1) р„з = р„~е Я, $~„з = Ъ;~еч, где д = В 2) Равенства следуют из того, что в совершенном газе на ударной волне [Т.] = О, (Ть] = О и точки (Р„,р,)„(1'ы рь);, г' = 1,2, лежат на одной изоэнтропе а = а;. 26.60 Трубка тока на дозвуковом участке течения сжимается, на сферхзвуковом — расширяется. Р О Р, Ри Р, Р. Рис.
0.26.2. (д~) Ч = Лр* а р) Р 1'(р.,а,р.) =О, 1пп у'(р„л,рЯ,а))=О. Ъ'->со 2) При фиксированном значении р, где 0 < р < р„, отношение ординат точек, лежащих на графиках дз(р) и д~(р) равно отношению Рз/й~ ° 26.61 1) Зависимость д от р при фиксированных р„, а и г и качественный вид графика этой функции, см. рис. 0.26.2, определяются соотношениями 258 1'лава 5. Механика жидкости и газа 3) Общий для всех сечений максимально возможный расход равен д,х хс г(р„а,рг)1'„и„— максимально возможному. расходу через минимальное сечение. 4) В сужающейся части сопла: Р(Р~ %пах) < Р(К Ч) < Р* ° В расширяющейся части сопла: Р(Г, ч а ) < Р «< Р,, — при дозвуковых режимах истечения, Р = Рс1 где О < Рс(Р~ %пах) < Рь — при сверхзвуковом режиме, 5) Надо знать 1 = 1(р, и) для рассматриваемого газа и Р ~ гх~ гп1пб б) Р; а; Рипа 1'вых ° 26.62 Воспользоваться дифференциальным соотношением 26с63 Возможные течения: а) М1=1, Мз=1; б) Мг>1, Мз<1; в) Мг<1, Мз>1.
26.64 В переменных (у~, 1), где у" = яь — пьг, система (26.17) запишется в виде и',+Ъ'TР'=О ~'Р,+а 61чп'=О, а,=О Исключив из первых двух уравнений и', получим волновое уравнение для р', а исключив р', получим волновое уравнение для йг и'. Из уравнения движения следует (дго1 и'/дг) = О. Следовательно, гог и' = 2ьг'(у"), а' = а'(у"). 26.65 1) Записать систему уравнений (26.17') в характеристической форме. 2) Наличие у системы (26.17') приведенных частных решений можно проверить, подставив их в (26.17'). 3) Следует из 1) и 2). 26. Газовая динамика 259 26.66 Искомые соотношения имеют вид Р' — У2$" — 2Уи'=Ро .121о 2Уио (1 — о)Р'=и'+Ук" — 5(по+Го) дН, дН , дН, дН Р+ 1' + Ро+ 1о=О~ Н=Н(1~Р~ ксчро)1 дР д1' дро ' д1'о ' ' ' ' ' 1'о 26.67 Соотношения между инвариантами имеют вид (1+2М) Н +,' Н У-= (1 2М) УУ +,' " У+, 2М' — ( — Р~) .'= (1- М)'У+ — (1+М)'У- а '1 да / 1' 2М 1 — — ) Р' = (1 — М)У+ — (1+ М)У, М = —.
1'о I а Коэффициент К отражения звуковых возмущений от плоской ударной волны можно вычислить по формуле 2(1 — М) -Р 2(д~ ) 26.68 1) Из условий непрерывности и' и р' на контактном раз- рыве и формул, выражающих и' и р' через инварианты У+, У следует, что ,У,' - 1,1- = ЙХ," - Уг'-), а1 1'2 у/+ + уг- у1-~- + уг— 1 — о 9=1+6 Если,У1' ф О, У'~ = О, либо У1' = О,,У2+ ~ О, то величина звукового возмущения при отражении от контактного разрыва уменьшается, т.
к. ~ф ( 1. (1 — М) 2(1 — 22с(1 + М)) ЖЯ~ Л (М, зс) — (1+ м)г(1 — 22с(1 — м)) 2) Выразив У1т и У' через приходящие на контактный разрыв возмущения, получим ,+ 1 — д, 2д,+, 2, 1 — й,+ 1 1+д 1 1+д 2 ~ 2 1+д 1 1+д 2 Следовательно, Глава 5.
Механика жидкости н газа 260 26.70 Для рассматриваемого диапазона значений» при условии М;„< М < 1 выполняется неравенство дК вЂ” < О. дМ Следовательно, х/Т+» — 2~/» К1») = х(1 +»+ 2~% 26.71 Искомые оценки таковы: К( †) = -, К(-) = = 0.139, ЕГ( †) = 9 — 4ъ'5 = 0.058. 9 1 —, 7 И вЂ” 4~/7 7 5' 5 3 ' 3 26.72 Значения Мо, М и Е11М,7) таковы: 5 р при у= —, — =5: 3 ро 1 К вЂ” —, 64' Мо — — хг 4.2, М = О.б, ъ'3 . 139 — 80ч'3 Мо — — 2, М= —, К= 3 11 7 р 9 при3=-, — =-: 5 Ро 2 26.73 р' = — р'+ — а', — р' = р++ р' . /дН1,, ЕдН'1 26.74 1) юа > ао, и < а, 11+ 2М)~ — ( +1~~ — ) ф.О.
1дР), ~ др) 3) Если в условиях п. 1) во > ао, ю < а, то возмущения на ударной волне будут равны нулю при 1 > 1„, где '=- (.." ...".) Если в этих условиях имеют место равенства юо — — ао и ю = а, или хотя бы одно из них, то Р' и уходящие от ударной волны 2) Опираясь на свойства решения системы (26.17') можно показать, используя, например, метод характеристик, что при выполнении условий п.
1) возмущения однозначно определяются по начальным данным на ударной волне я = Р1 и в области т > Р1, а в области я < Р1, 1 > 0 — по начальным данным и найденным возмущениям на ударной волне. 26. Газовая динамика 261 возмущения У, в', а также Е', в,', будут при Е, большем некоторого 1ы равны нулю. При Мо = 1 (М = 1) возмущение .Е'+ (Е'+) на ударной волне при г > О будет равно своему значению при1=0. 26.75 1) 13 = 1+М 1 — М' 2) и'(131) = -Ки'(1), р'(131) = -Кр'(1), я'(31) = -ЕГв'(1), Р'(1П) = -КР'(1); где К вЂ” коэффициент отражения звуковых возмущений от удар- ной волны, см. задачу 26.67.
3) В зависимости от значений коэффициента К возможны сле- дующие случаи: )Ет ~ < 1 — устойчивость, )Ес ( = 1 — нейтральная устойчивость, )К! > 1 — неустойчивость. 26.76 1) Через К и Я обозначим коэффициенты отражения звукового возмущения от ударной волны и контактного разрыва соответственно, см. задачи 26.67 и 26.68. Тогда и'(Щ' = ЯЕС и'(1), р'(131) = Ядр'Я, я'(1И) = ЯКя'Я, Р'(131) = ЧЕГР'Я. 2) В зависимости от значений ЯК возможны следующие случаи: )ЧК! < 1 — устойчивость, )ЯЕГ( = 1 — нейтральная устойчивость, )ЯЕГ( > 1 — неустойчивость.
26.77 Для рассматриваемых газов имеют место неравенства )во! > ао и ~и~! < а, см. задачу 26.14, и при ограниченном (К! выполняются условия п. 1) задачи 26.74, при которых ударная волна будет устойчивой. 26.78 Да, так как для совершенного газа верны соотношения (1+ 2М) — +3 > О, )юо( > но, )ю) < а, (К( < 1. Следовательно, и (ЧК( < 1, так как (Я) < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
