Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 30
Текст из файла (страница 30)
гзо Глава 5. Механика жидкости и газа к; к' Рис. 0.25.11. Ф ормально соотношения (0.25.25) и (0.25.26) для любой промежуточной точки потока совпадают с условиями на детонационном скачке, см. формулы задачи 25.42 с Я, замененным на д. Поэтому можно находить распределение параметров в потоке, рассматривая множество детонационных фронтов для всех возможных значений д при 1 = сопв1. При фиксированных значениях р1 и р1 состояния, отвечающие различным д, изображаются на плоскости (р; Ъ') тачками пересечения прямой (р — р1) = — 1~(~' — р1) с соответствующими детонационными адиабатами, являющимися гиперболами с одними и теми же асимптотами для всех д.
При д = 0 детонационная адиабата совпадает с ударной аднабатой, проходящей через точку (р1, Ъ~), поэтому состояние непосредственно эа передней ударной волной соответствует точке Е, см. рис. 0.25.10. При возрастании и точка, изображающая состояние газа, движется по линии ЕА. В случае а) д меняется непрерывно и монотонно до значения Я. Поток за передней ударной волной непрерывен, величины р и ~' меняются монотонно от их значений в точке Е до значений в точке С. Разрывов в течении быть не может; в самом деле, разрыв должен был бы быть ударной волной типа перехода от С к В, но это была бы волна разрежения, невозможная в совершенном газе, см.
задачу 25.34 в). Таким образом, в случае а) структурой обладают только такие детонационные волны, состояние за которыми изображаются на детонационной адиабате точками, лежащими выше точки 1 или самой точкой,1. Заметим, что зта же часть детонационной адиабаты была получена в задаче 25.42 из уст ловий зволюционности. В случае б) рассмотрим две ПИХ детонационные адиабаты: для ч=О д = Я и для 4 = д„„,„= С1 Ч=,, Ч С ко см. рис. 0.25.11. '' "' А' Сразу за фронтом ударной волны снова имеется состояние Е. Затем д возрастает и точка (Р; Ъ') движется вдоль ли- 231 25.
Механика сжимаемой жидкости нии ЕА к точке Е. После этого д уменьшается и изображающая точка движется назад вдоль РК к точке С вЂ” верхней из точек пересечения адиабаты д = Я с линией (р — р~) = — 1~(У вЂ” $~). Это решение возможно лишь если 1з > 1з;„, где 1„,;„— величина потока массы, для которого линия (р — р~) = — 1з(У вЂ” У~) является касательной к детонационной адиабате д = д,„. Обозначим соответствующую точку касания через,Уч,„, см. рис. 0.25.11.
Волна при 1 = 1;„движется по газу с минимальной скоростью. В случае, когда 1 = 1;„, кроме описанного выше решения существует другое: при уменьшении д точка (р; У) может двигаться от точки,У „„вверх к точке С или вниз к точке Н. Следовательно, в случае б) структура существует для волн со значениями р и У, лежащими на части детонационной адиабаты, расположенной выше точки С, отмеченной штрихами на рис. 0.25.11 и, кроме того, со значениями р и У, соответствующими точке Н.
Точка Н соответствует „недосжатой" детонации. При этом для скачка А -+ В выполняются неравенства ил > ал, ип > ав, следовательно условия (0.25.23) не выполнены. Но соответствующая детонационная волна эволюционна, так как в этом случае имеется добавочное условие на разрыве — условие 1 = 1;„. 25.44 Из теории размерности, см. ~ 38, следует, что решение может быть функцией только от комбинации з/~ независимых переменных.
Таким образом, оно может состоять иэ волн Римана, разрывов и областей с постоянными значениями величин. Рассмотрим решения задачи при различных значениях скорости поршня и„. Если поршень вдвигается в гаэ и е„достаточно велика, то и в случае а), и в случае б) решение состоит из детонационного скачка и области с постоянными значениями всех величин, располагающейся между этим скачком и поршнем.
Скорость детонационной волны определяется из условия, что за ней скорость газа равна скорости поршня. Меньшим значениям скорости поршня соответствует меньшая скорость детонационной волны. В случае а) при некоторой положительной скорости поршня о„= н„* детонационная волна будет соответствовать точке,7 на рис. 0.25.10 (детонация Жуге). 232 Глава 5, Механика жидкости и газа Если о„< о„* (оа может быть отрицательной, если поршень выдвигается из газа), то решение задачи будет состоять из детонационного фронта Жуге и примыкающей к нему волны Римана, интенсивность которой определяется скоростью поршня. Такое решение оказывается возможным, поскольку непосредственно за фронтом детонации Жуге скорость газа равна скорости звука пл = ал, см. решение задачи 25.43.
При достаточно большой по модулю отрицательной скорости поршня между ним и волной Римана возникает вакуум; при этом выполняется р = 0 на границе волны Римана, см. задачу 25.30. В случае б) скорость детонационного фронта также убывает при убывании скорости поршня и при некотором значении о„= о„'* достигает минимально возможного значения, см. решение задачи 25.43. При о„> о„** решением является детонационный фронт, соответствующий точкам, лежащим выше точки С, см. рис. 0.25.10.
В силу непрерывности зависимости решения от о„при и„= о„'* решение представляется точкой С. Скачок А -+ С можно рассматривать как сумму двух скачков: недосжатой детонации А -+ Н и ударной волны Н вЂ” ~ С, см. решение задачи 25.43. При дальнейшем уменьшении скорости поршня о„детонационная волна А — ~ Н меняться не будет, а ударная волна ослабнет и ее скорость будет меньше скорости фронта недосжатой детонации. Затем ударная волна сменится волной разрежения Римана. При достаточно большой по модулю отрицательной скорости поршня между волной Римана и поршнем имеется эона вакуума. 25.45 Уравнение, выражающее постоянство потока энергии, в системе координат, связанной с волной, в рассматриваемом случае имеет вид йТ 1' (срТ вЂ” ч) — й = 1' срТо Их Записывая уравнение для химической реакции Ид и — = вТЯ вЂ” д), е1х и, используя равенства и = 1Ъ', р = ВТ/1' = сопвФ, получим в области Т > Т. систему уравнений, описывающих структуру 25.
Механика сжимаемой жидкости 233 фронта горения ИТ Но ар Ч вЂ” = — (ср (Т вЂ” Т„.„) — (о — Я)), — = — —,(о — Я), Т„„=То+ —. Нх й Их уй ' се' Температура Т соответствует однородному потоку после завершения выделения химической энергии, когда д = Я.
Таким образом, имеем линейную систему уравнений с особой точкой типа седла при Т = Т, о = Ч. Имеется два собственных направления и две прямолинейных интегральных кривых (сепаратрисы), проходящих через особую точку. Одна из них о = Я, а вторая + —, ) (Т вЂ” Т ) — -(д — 0) = О. ус„ар '1 ул,) Для существования решения, связывающего начальное состояние Т = То, о = 0 с конечным Т = Т, о = Ч необходимо, чтобы выписанная выше сепаратриса проходила через точку Т = Т„, о = О, откуда айр Т Вор (Т,, — То) Получаемое таким образом значение о = 1$' = 1'КТо(р определяет скорость распространения волны. Это соотношение, задающее скорость волны, следует рассматривать как еще одно соотношение на разрыве, который получается при предельном переходе и — ~ О, а — ~ оо в случае, когда произведение йа стремится к конечному пределу.
С учетом наличия одного дополнительного соотношения дозвуковой фронт горения становится эволюционным. 25.46 Для идеального совершенного газа (р = рКТ, В = с,— ок, 7 = се/с~) при адиабатическом движении р = Арт. Интеграл Бернулли, см. ~ 10, принимает вид — + 7 Р=Сд, 2 7 — 1р где С(Е) постоянна на линии тока Е.
Эта постоянная может быть выражена через параметры торможения ро, ро, ао, То о 7 Р 7 Ро ао + — = сеТо. 2 7 — 1р 7 — 1ро 7 — 1 234 Глава 5. Механика жидкости и газа Максимальная скорость о „„, возможная для данной линии тока, достигается при истечении газа в вакуум, т. е. при р = 0 и р/р = О. Из интеграла Бернулли получаем, что 2 о,„= /2сгТо = ао~/ Критическая скорость достигается в точке, где о = а = о,. Подставляя зто условие в интеграл Бернулли, получаем )г 2 /7 — 1 и* — ~( ао ~( ошах. ~ 7+1 ~ 7+1 Для воздуха при То — — 288 К, ао - 340 м/с, о„„„= 850 м/с, о, 310 м/с.
При нестационарном истечении в вакуум скорость на границе с вакуумом равна 2ао/(7 — 1), см. задачу 25.30. Для воздуха она в х/5 раз больше, чем о 25.47 Интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил имеет вид Р Ро Р Ро — + — = — или — = 1 — —, (0.25.27) 2 Р Р Ро 2ро' где ро — давление торможения, р = ро = сопвФ. Из интеграла Бернулли для адиабатического движения совершенного газа, см.
задачу 25.45, 7 Р 7 Ро — + — — = 2 7 — 1Р 7 — 1Ро используя уравнение адиабаты р/ро — — (р/ро)т, получаем Р 7 Ро" ~ ~ 7 Если о « ао, то правую часть можно заменить приближенным выражением используя разложение в ряд При оз/аоз « 1 вторым членом в скобках можно пренебречь. Тогда выражение для р/ро для газа становится таким же, как для несжимаемой жидкости. 26. Механика сжимаемой жидкости 235 . При использовании для газа формулы для несжимаемой жидкости ошибка в давлении порядка одного процента получается при о~/4ао~ < 0.01, т.
е. при о < 0.2ао. Для воздуха в обычных условиях ао 340 м/с. Следовательно, с ошибкой порядка 1% воздух можно считать несжимаемой жидкостью при установившихся движениях со скоростями о < 68 м/с = 240 км/час. 25.48 Для сферически симметричного установившегося движения поток массы через любую сферу с центром в начале координат одинаков и равен расходу источника, т. е. 4хгзро = Ч, где о1г) = о,. Следовательно, ро = —. Я 4 гх Чтобы найти о(г), выразим р1г) из интеграла Бернулли где ро и ро — параметры торможения. В результате получим Подстановка в закон сохранения массы дает з Я/птах 4кро — 1— Функция /1о/о,„) имеет асимптоты о/о,„= 0 и о/о,„= 1 и минимум в точке, где 7 — 1 стах )) 7+ 1 В этой точке о = о, и оа = о/а = 1.
Течение возможно лишь в области г > г ко где т+1 з Ю (7+ 1 47 1~ 4яроао 'х 2 При г > г са может быть дозвуковое течение, в котором о растет от нуля при г = оо до о. при г = г аи или сверхзвуковое, в котором о растет от о, при т = г„,;„до о„, „при г = оо. 230 Глава о. Механика жидкости и газа 25.49 Поле скорости и = о = А/г (в полярной системе координат) удовлетворяет уравнению неразрывности )1)ч ри = 0 и условию гоФ и = О как в случае несжимаемой, так и в случае сжимаемой жидкости. Постоянная А задает интенсивность вихря. Так как движение установившееся, баротропное и потенциальное, то верен интеграл Коши — Лагранжа 7Р ~Ро оп!ах 2 (у — 1)р ()' — 1)ро 2 гДе Ро, Ро — значениЯ Р, Р пРн г -+ оо.
ОтсюДа ( у -1) роА' Р = Ро 2урогз Течение возможно только в области г > г;п А ('у — 1)ро ! !гип— ! г! и!пах При г = гнпп, о = о,х, М = оо. Скорость и = и. достигается при г = г. = А/о,. При г > г., скорость дозвуковая и убывает до нуля в бесконечности. 25.50 Уравнение неразрывности получается если написать закон сохранения массы с1 о'1 — рис= ) !пи =)рот п~!,,— )р~п), =!)р п)=О, ! Е для контрольного объема, показанного на рис. 0.25.12. Рис. 0.25.12. 25, Механика сжимаемой жидкости 237 Так как и„ = О на боковой поверхности трубы, то о„ = и в сечении (х + с1х)1: о„ = — о в сечении я; Величина о„далее обозначается через ш Аналогично с использованием закона сохранения количества движения и энергии получаются остальные уравнения.
25.51 Запишем уравнение неразрывности в форме Зр Зл~ 1П вЂ” + — + — = О. р о й Далее из уравнения движения, используя условие обратимости и адиабатичности Ив = О, получаем 1 а — др = — Ир = — и Й~; Р Р следовательно, Ир и г НЮ вЂ” = — — й = — Мг —, р аг Поэтому г (Мг 1) и 11 Рис. 0.25.1З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
