Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Далее, ~Г.4в ~ до;(~, 1) дх; )" д х' а I д~ д~ ~+,I "до~ ~ ся 1л ся а;Их'+ — — аС = а;Нх'+ Ъ сз ь дх'; до,ф ~) Здесь учтено, что — = о'; а; = ' — компоненты ускод8 д1 рения. Если Ь вЂ” замкнутый контур, т. е. св = Ь; ов = од то — а; Нх'. Л' ь 25.6 При адиабатическом движении идеальной жидкости — = О, т. е. в = яо(~,~,Се ), й где (С') — лагранжевы координаты. Так как для любой однородной сжимаемой жидкости я = я(р, р), то для адиабатического движения р = р(р, во(С')), поэтому в общем случае движение не баротропно. Если энтропия всех частиц одинакова, т. е. яо не зависит от с', то движение баротропно.
25.7 Циркуляция скорости полинин Ь от точки А до точки В есть величина 25. Механика сжимаемой жидкости 193 В данной задаче а = 8гас1(Р— У), где Р = 1 Нр/р; У вЂ” потенциал массовых сил, поэтому а; аа' = п(Р— У); если У однозначная функция координат, то гИ' — = О. й 25.8 Воспользоваться теоремой Томсона, см. задачу 25.7. 25.9 Система состоит из уравнения неразрывности — + (цгада 8гайр)+ рЬу = 0 др дг и интеграла уравнений движения — интеграла Коши — Лагранжа, см.
параграф 10, д~д 1 — + — ~ нгаг1 у~ + Р(р) — У = О, дг 2 где Р(р) = ) г1р/р — функция давления; У вЂ” потенциал массо- вых сил. 25.10 а) Это система, приведенная в решении задачи 25.9, в которой У = — дг, где ось г направлена вертикально вверх, а ро 7 — 1 б) Так как Ир = рНР, то уравнение неразрывности можно записать в виде 1 ИР ИР аз Й вЂ” — + Ь~д = 0 или — + ( г — 1)РЬ~р = О.
гй Выражая Р и НР/й через производные от у с помощью интеграла Коши — Лагранжа, получим уравнение, содержащее лишь ~р. 25.11 а) Замкнутая система уравнений для баротропного движения идеальной сжимаемой жидкости или газа имеет вид ар . ав 1 — + р Йгв = О, — = — — игаг1р, р = р(р). й г11 р 194 Глава Б. Механика жидкости и газа При оо = О система удовлетворена, если ро — — р(ро).
В результате линеарнзации получаем дР', до' 1 — + ро йг в' = О, — = — — игах( р', дг дг Ро (0.2Б. 13) р =а р, а = ~ — =сопвг. з г г Гар1 ~,,(РР) Р=РО Р=РР Дифференцируя по Г первое уравнение, вычисляя дивергенцию от второго и вычитая результаты, исключаем в и для функций Р' и р', получаем — — а Ьр =О, — — а Ьр =О, дР з др дгз дгх где Ь вЂ” оператор Лапласа. Для потенциальной о', н соленондальной нз составляющих выполнено г(1внг = Ьу, Жив' = О, горн' = О. Применение оператора го( ко второму уравнению (О. 2Б.
13) при- водит к уравнению дн2 гоС вЂ” = О. дг Применение оператора ~гас) к первому уравнению и д/дг ко второму с учетом формулы Бгаг( Йг о — гог(гоГ о) = Ьв позволяет исключить р из системы (0.2Б.13) и получить г — — пан =О. дгз Потенциал у скорости н', тоже можно считать удовлетворяющим волновому уравнению д2„ — — а гав = О.
дгз 25. Механика сжимаемой жидкости 195 25.12 а) Подставляя р = ~рое'( '" "О в волновое уравнение, получим связь гог/Йг = аг между ог, Й = ~й~ и козффициентом уравнения а, называемую дисперсионным уравнением. Нормальная составляющая скорости перемещения поверхности постоянной фазы / = сопеГ определяется формулой (д//дг) )5габЯ' см. задачу 18.1.
Для монохроматической волны угад/ = Й, фазовая скорость равна ог/~Ц = ха. Она не зависит от й, и, в частности, от длины волны А = 2х/Й. Число ~й~ называется волновым числом. Таким образом все монохроматические волны малой амплитуды в рассматриваемых условиях распространяются по покоящейся среде со скоростью, величина которой равна а. При одном и том же Й могут существовать две волны, распространяющиеся в противоположные стороны. Нормаль к поверхности / = сопег параллельна вектору й, т. е. волновой вектор указывает направление перемещения поверхности постоянной фазы по нормали к ней.
Это направление часто называют направлением распространения волны. б) Считая функцию ~р = ро Ле е'1 '~ О потенциалом скорости, имеем и = 5габ~р = — доя!т е'~ 'и ~ ~, т. е. вектор скорости частиц направлен вдоль волнового вектора Й. 25.13 а) Линеаризованная система уравнений для малых возмущений в виде плоских волн такова др' дн' до' 1 др', г, /йр'~ +ро =О, — = — — —, р =ар~, а =~ — ) дГ дх ' дГ ре дх ' ' ~,др/о' Общее решение волнового уравнения, см.
задачу 25.11, дгг дгг — — а — =О, дгг дх' имеет вид р'(х, Г) = /г(х — аг) + Л(х+ аг), где /г и /г — произвольные функции. 25. Механика сжимаемой жидкости 197 причем первое слагаемое отлично от нуля только лишь при — 1 < х — 21 < 1, т. е. при 1 < х < 31, а второе слагаемое — только при — 31 < х < — 1. Графики р' и е' при разных значениях 1 представлены на рис. 0.25.1. в) Так как о = дю/д1, где и — перемещение, то в монохрома; тической волне, в которой и = АВеепл 0 = Асов(/сх — и1), выполнено о = Ам ьйп(йх — м1), е' „= Аю = А 2хи = 0.785 м/с. В волне, бегущей в одну сторону, как видно из решения п. а), р'/ре = и'/а.
Длина волны Л ='2х/к = 2яа/м = а/и. Поэтому при распространении в воздухе (р'/ре),„= 2.3 10 з, Л = 0.68 м: в воде (р'/рр),„= 5.6 10 4, Л = 2.8 м. 25.14 В совершенном газе р = РКТ, аг = ~ЯТ; для адиабатических колебаний р = Срт, а, = ~/~Л7. При температуре Т = 288 К для воздуха аг = 287 м/с, а, = 340 м/с. Скоростью звука следует считать скорость распространения малых возмущений в адиабатическом процессе. Это согласуется с результатом задачи 25.2: для этого процесса Ре 104. 25.15 Если у = 1а(г,1), то в сферических координатах дг,р 2 д~ 1 дгг,р Ьу= — + — — = —. дгг г дг г дгз' поэтому волновое уравнение можно записать в виде дггр,, д'гр д1з дгз Общее решение этого уравнения есть ~р(г,1) = + /~(г — а1) /э(г + а1) Здесь |~ и /з — произвольные дважды дифференцируемые функции. Для р' и е' получаем д~р /Д(г — а1) /з(г+ а1) Р =-Ре =Реп ( д1 (, г г д~р Яг — а1) /~ (г — а1) Цг + а1) /з(г + а1) дг гз г гг Здесь /( и Д вЂ” производные функций /~ и /з.
198 Глава 5. Механика жидкости и газа Решение есть сумма двух бегущих волн, одна из которых распространяется со скоростью а в направлении от центра, другая — с той же скоростью к центру. В противоположность плоским волнам, сферические меняют интенсивность при распространении: амплитуда расходящихся волн убывает, сходящихся возрастает. 25.16 Линеаризация приводит к уравнениям др' др' до' до' до' аз др' — +Г( — +р. =9, — +Г( — + — — =9. д( дх дх '. д( дх родх Подстановка в эту систему решения в виде 1(ье — ю~) 1(йт-ме) р=р.е приводит к дисперсионному уравнению — связи оз и )с: оз = (У ~ а) Й. Фазовая скорость волн есть У+ а или У вЂ” а.
25.17 Для неподвижного наблюдателя, см. задачу 25.12, выполнено )ы~ = ак. Наблюдатель, находящийся впереди источника, приближающегося к наблюдателю, воспринимает волну, идущую вперед, т. е. имеющую скорость оз1/йз — — а. В системе, движущейся вместе с источником, среда, образующая „фон" имеет скорость ( — У), поэтому фазовая скорость волны есть ( — У+ а), а частота м„= ( — У+ а))ем см.
задачу 25.15. Следовательно, Наблюдатель, находящийся позади источника, воспринимает волну, идущую назад; для этой волны озз = — а1сз, аз„= — (П+ а)йз, мз = *, (ыг( ( (оз„~. 1+ У/а' Итак, звук приближающегося источника воспринимается неподвижным наблюдателем более высоким, удаляющегося — более низким, чем в случае, когда источник неподвижен. Это явление называют эффектом Допплера. 199 25.
Механика сжимаемой жидкости Ц<ц Рнс. 0.25.2. 25.18 Возмущения распространяются во все стороны по частицам среды со скоростью а, см. задачу 25.18, и одновременно сносятся потоком вдоль оси х со скоростью 11, поэтому граница возмущенной области имеет вид, показанный на рис. 0.25.2 сплошной жирной линией для 1 = 1з, пунктиром для 1 = 1ы При 1 — ~ оо возмущенным будет при У < а весь поток, при Г = а — только область ниже по потоку от плоскости х = О, при Г > а — только область, внутри обращенного вниз по потоку конуса с вершиной в точке 0 и полууглом ее при вершине, таким что яп о = а/У = 1/М (конус Маха).
2б.19 Линеаризованнал система для одномерных баротропных малых возмущений р'(х, 1), р'(х, 1), о'(х, 1) в вязкой жидкости имеет вид — +ро — =О, — = — — — +и1 —, р'=а р', а =1 — ) д~ дх дс Ро дх дхз ' ~АР)о' Здесь ро = сопн1, ро = сопн$, ро = р(ро) характеризуют состояние „фона"; и1 = (Л+ 2р)/ро, Л, р — коэффициенты вязкости. Исключал р' и р', получаем уравнение для о'(х, 1) д2 У дз„1 дзоl г — — а1 — а — =О, дР д1дх' дхз решение которого будем искать в виде монохроматической волны о' = А ед"* '), где Й вЂ” действительное число.
Подстановка в уравнение для о' приводит к дисперсионному уравнению ~о~ + йзи1ш — а~из = О. 200 Глава 5. Механика жидкости и газа Его решение имеет вид в2 = 0.5 — й~ис ~ Сс 4а2 — Ссзисз Пусть сс < 2а/мс. Обозначим Леь2 = ~в2е. Решение для о'(и,с) имеет вид о2 А 11ь ~ вб.
-овь'юс Ь2~ 2 и содержит множитель е ~ "', убывающий со временем. Сравните с аналогичным затуханием поперечных волн в несжимаемой вязкой жидкости, см. задачу 23.11. 25.20 Ось х направим в сторону области (2). В области (1) имеются две волны: падающая р',е — /е(С вЂ” л/ас) и отраженная ры = Л(С+ л/ас), так что давление представлено суммой р'(х,с) =Ь с — — +Л с+— В области (2) — только прошедшая волна р~2(и, С) = ~р(С вЂ” я/а2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
