Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 20
Текст из файла (страница 20)
2,"1. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 149 23.7 Проинтегрируем уравнение для кинетической энергии: я с Е„„„= ГгЬ вЂ” ЮЙ, о о где 5 = из/2а — путь, пройденный шаром за время С; и — его скорость. Так как Ю > О, то, используя принцип Кельвина, см. задачу 22.3, можно записать Я Г гЬ > Е „„> Е„"„"„= раЯ = — я рЛ аЯ. з 3 о 23.8 Выполним преобразования р'„= — рп'+ рпб(Чф+ г7'и ) = = — рп'+ рпг(г7 и' — ~7'иу) + 2рп'г7'и.
= = — рп' — р(п х гоС и)'+ 2рпзР и;. Здесь и — единичная нормаль к ИЯ. Используя оператор у'ь = б'ь — и'пы см. задачу 3.21 б), преобразуем последнее слагаемое в этой формуле, чтобы оно определялось лишь касательными производными поля скорости -г'ь'~7" и,. Так как О = г7и = 7о"7ги, + п~Ч„из, где ~7„и = пьз7 и, — нормальная производная поля и, то ь вбеги = пг-~'ьг7~и.
+ п'пзК„и = п'~'ьЧ~и, — п'уг~~7ьиз Для скорости твердого тела "7ьи, = е;,ьй'. В силу условия прилипания на поверхности тела скорости жидкости и тела, а также их производные вдоль поверхности совпадают, поэтому пйг7'и, = п'-7™егчьП~ — п' О = — (Й х п)'. 23.9 Используя для р'„формулы предыдущей задачи, для касательного напряжения на поверхности тока и и = О, получим Гьр~ = р(гоСи х п)'+ 2рпу"Гьг7~гй = Сл(гоСи х п)'+ 2рббиу, гле з„' и"пй = — 6'г, 6;, — тензор второй квадратичной формы поверхности тока. 150 Глава 5. Механика жидкости и газа Учитывая, что ) ' иг г юК,т и '~ ..
йбн'н, ,~ [[в[/ ' [„[г получаем р„— = р(гоФв х и) — + 2ыК[в[(в пг). [и! [в! 23.11 а) Пусть ось з параллельна скорости пластины, тогда 'ди ди е„= н, = О, н = и(д, С), д„г Граничные условия: и(0,1) = Не[иве 'гн], и! -+ О. Полученное уравнение для и называется уравнением теплопро- водности и имеет частные решения вида 1+ г Г2и и=Сеь" '™, й=~й., к„= —, с=)/ —. С учетом граничных условий и = Ве(и ец '" ') = и е 6 сов ~ — — й1). Это решение представляет собой быстро затухающую с ростом у поперечную волну; и = О вне „пограничного" слоя толщины о, в идеальной жидкости всюду и = О.
б) т = т „]„о = — ио'Ярусов (Й1+ — ). в) Среднее за период колебаний значение диссипации знергии, отнесенное к единице площади пластины равно (Р) = — / / тоге; дуй = — ]/ —, Т = —. оо Среднее значение работы силы трения равно Т (ти) = — / тий = — — ~/ — = — (Ю). Т/ 2~/ 2 о 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 151 23.12 Решение ищем в виде суперпозиции волн, соответствующих 6 = й, и /с = — /с,, см. решение задачи 23.11, т, е. 1 и(у,() = //е (((С~е'~'к+Сзе '~'") е '~'~, 6„= 1/2н/'й С учетом граничных условий ил = и(0, С) = //е(ио е '"'), ин = и(6,() = 0 получаем )' вЬ[/с,6(1 — у/'6)) еЬ(/с.6) тл = тк„~„о = — рио Ве )([/с с(Ь(6„6)! е '~'~, -спс « .
и = — ~кк(с-ь = /с о /(е Ь(~ 6) шах тн — + 0 при й » н/'6~; шах тв[ шах тл + 1 при Й << и/'6~. 23.13 а) Из линейности задачи и соображений размерности следует, что с и(у, с) = Е/(0)Š— + г с/т. о Последний интеграл называется интегралом Дюамеля. ок = и = (/о,/'(с)., где ~ = уъ/Й. Задача является аетномодельной. Для функции /(~) получим задачу О'(~) + 21н(() = О, где /'(()) = 1 и / -+ 0 при ~ — > оо.
Таким образом, для скорости и получаем выражение с/2 ° =еф- — ' /'.— *а„) =е,[~-.е( ' )) =ее( — "'). о к Функцию его(х) = — ( е е с/с/, называют интегралом оисибон. б) Аппроксимировать зависимость Ц/) ступенчатой функцией и использовать результат пункта а) 152 23.14 По существу зта задача совпадает с задачей 23.13 а). Отличие в граничных условиях: ('(+со) = 1, 1( — со) = — 1. а) о =и=УегГ( ). 2 ~/Й б) Так как егЦ2) = 0.99, то толщина слоя о - 8х/Й.
В любой ко- нечной точке течения величина скорости ~и~ с ростом времени 1 уменьшается, так что ~и~ — ~ 0 при 1-+ оо; л2 ю,=— е 4еС. 2х/тй в) из = юх —— О, Для всех 1 > О, величина Ц максимальна при у = 0 — на месте первоначального разрыва.
23.15 Для о = и(у,1) можно записать уравнение ди дги — = и —, Д1 Дуг ' соответствующие начальные и граничные условия: и -+ 0 при у — ~ — оо. Обозначим т = д Ди/Ду, тогда дт д'т — =и— Д1 Дуг и граничные условия примут вид т=то приу=0,1>0, т -~ 0 при у -~ -оо, 1 > 0; т=О приу<0,1=0. Согласно решению задачи 23.13 а), т=то 1 — — е " Й1 о и(у,1) = 0 ди И =то ду 1'лава б. Механика жидкости и газа при у< 0,1=0; при у=0,1> О; 23. Динамика вязкан не< жимаемой жидк<хти 153 Отсюда и = 1 — Ну+С(1).
,/Х Интегрируя по частям с учетом условия и~„= О, получаем Р ЯЯ. где Ф(С) = ~/я~(1 — егЦС)) + е с, 2~/И Па свободной поверхности выполнено 2 ге )И и(0,1) = — ляЛ вЂ”. я Толщина слоя равна Б = 2ал'йЧа - -5.7а/И, где са — корень уравнения Ф(фа) = 0.01. иа ья' 23.16 а) а = — е а, ~лла б) Е„„=, Ю.
= )( —:Яа, гдео=1+4ЬИ. Риг Л риа /т 4алл2Ьо 2 Ч Ь н) Е„„„ -+ О, Я = Яа. При 1 — ь 0 скорость равномерно стремится к нулю, а количество движения Яя остается неизменным! А(1) Нг А(1) = К,Кг = НгНг, Нзг — Нл~ — — —. 4яр Уравнение кинетической энергии дает — РН Н 11 — — ) = 2Н Кл (рл — рг) — 8ллКлК ~1 — — !. з глл 'гл а ' '(, Н) г г 23.17 Очевидно, аа = а(Н,1), а, = ся = О.
Из уравнения неразрывности с учетом кинематических условий на границах следует 154 23.18 Из уравнений задачи 23.17 Лг Л1 = — « 1, В1 Л1 получим М - В ЬВ = — ирЛг, В+ 12и — = О, 4 Вг ВоКо где Йе = и при р«=рг=О 1 Йе — 12  — 12и — = и  — «оо при 1 — «со; Во В „„=В*= 1 — Йе/12 Кп«в = В* ° 23.19 При взрыве в жидкости образуется расширяющаяся сферическая каверна радиуса Л„(1); А(1) па= —, о ° =ил=О, В = он~~, р~ =О, А(1) =Л„Вг. Из уравнения задачи 23.17 при В1 = В„, Вг — «оо, р1 = рг = О получим уравнение л1Лз Лг) 411 имеющее интеграл з 1 ЛгК„+ 8иВ~ = сопв1.
Начальные условия: В„(О) = О, 2-трКгКз~ = Ео. Отсюда "и=о В„= Ео — 8 —. 2ирВ~ Л. При 1 — «оо выполнено ˄— «О, „— « Ео 128и риз В отличие от аналогичной задачи для идеальной жидкости радиус каверны остается конечным при 1 — «оо. Давление определяется из интеграла Коши — Лагранжа Р-Р Л 2Л4 . Если Йе > 12, то если О < Йе < 12, то если Йе = О, то если Йе < О, то Глава 5. Механика жидкости и газа 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 23.20 Для ламинарного течения и = о(х), и„= о, = О. Здесь ось х параллельна, а ось х перпендикулярна дну; ,1г р — = — дяпо, ~ — ) =О, о~ =О; г1х о = — япо (26х — хз), о „„= о(6) = — япо, о,р —— -о а) о „„= 1.25 см/с, о,р - -0.83 см/с.
б) о „„= 12.5 км/с, о,р — 8.3 км/с. Абсурдность результата б) связана с неверным для этого случая предположением о ламинарности течения. др . го гоН б) — = — го = сопвг, о = — у(Н вЂ” у), тд = — — — тн, дх ' ' 2гг 2 иу го / и гоН'г / и го Нг В) от= + у(Н у), ТА =1г~ — + —, ТВ =гг~ — — + — / ° Н 2гг ' ~гН 2 г) (, Н 2 ( 23.22 В цилиндрических координатах с осью х, направленной вдоль трубы, справедливо и„= о = О, гоа / т~'г 2Я гоа, а) о = — (1 — — (, о =2о к— 4гг (г а /' гга 41г г(~ мах — ср— б) г>,= — ~Ь вЂ” т +(Ь вЂ” а) го г' г г г г 1"("/6)г 4гг (, 1п(6/а) ) ггго а 6 Я= — =о, каЬ. 41г а +6~ ) ь 2гг(, аг Ьг) аз+ Ьг го а гоа 2 4 23.23 о „„= — /(ог), Я = — уг(оп), где а — характерный 1г 1г размер поперечного сечения трубы; аи — безразмерные параметры, задающие его форму.
23.21 Составляющие скорости будут иметь вид о = о (у), ор — — о, = О. Здесь ось у перпендикулярна пластинам, ось х направлена по вектору и; иу ~ 1ги а) о,= —, тл=тхр = — = — тв,' Н ' ~к=о Н 13В Глава 5. Механика жидкости и газа 23.24 В цилиндрических координатах с осью г. направленной вдоль оси цилиндров, е„= е, = О, еф"' = е(г) и р = р(г). Из уравнений Навье — Стокса ег,!ге и Р + — — — — =О 11гг г юг гг и граничных условий е(Л1) = Й1В1, е(В2) = Йгйг находим Й21-" Й1 В1(Й1 112)о ~~2 е = Аг+ —, где А =, В = се — 1 о — 1 В1 Моменты М1 и Мг, действующие на внутренний и внешний ци- линдры (в расчете на единицу длины), равны М1 = — 4л'РВ = — Мг. В предельных случаях: При Вг — 1 со и Йг = О возникает потенциальное течение с распределением скорости Вгй е= при Н1 = О и Й1 — — О поле скорости определяется равенством е = Йгг.
23.25 Для скорости е сохраняются формулы задачи 23.24, го ( 2 г !п(г1'Л1) 2 21 . др е, = — ~(В2 — н1) — г +В11 1о= — —— 4ы ~ !п(йг/В1) '1 ' дз Вг — В1 При = с « 1 введем новую переменную у равенством В1 г = В1(1+ су). Тогда имеют место формулы: 1ос т11 и, = у(1 — у) как в плоскопараллельном течении Пуазейля, 2Р е = п1[Й1+(Йг — Й1) у~ как в плоскопараллельном течении Кузтта. 157 23, Динамика вязкой несжимаемой жидко< ти 23.26 В невозмущенном движении каждая частица движется по окружности г = сопа$.
На нее действует градиент давления и уравновешивающая его центробежная сила инерции Л Е ин — з < рг где п(г) — азимутальная скорость; Л(г) = рог = рггу — момент импульса, сохраняющийся в частице и при возмущении ее движения. Пусть малая частица смещена с окружности радиуса ге на близкую окружность радиуса г > ге. В смещенном положении др Лг(г) Лг(го) дг гз ' "" гз Для устойчивости движения необходимо и достаточно, чтобы было др дЛ2 д(Фгг) — > Е„„, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
