Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При Н, = (ахая)/(49) < Н получим 2гРН гь =Н вЂ” Н,+ —, р=р,+руь,хь — г). а Если Н, > Н, то свободная поверхность пересекает дно сосУда пРи г = гьь где гь: — аз(1 — ь/Н(Н,,); < 2Н„(г~ — г~) ~2Н„(г~ — г~~) гь = з, Р=Р+Ру~ з — г пРи г> гм а а яь = Оь р= р, при г < гь.
б) Величина силы Р = 1р, + РуН)ьгаз. в) Сила, действующая на тело объема г'ь погруженное во вращающуюся жидкость и покоящееся относительно нее, равна г, = — 1 р(д-;.е' )й'. 21.11 На рисунке 0.21.3 показаны случаи расположения свободной поверхности г = гз(г) и поверхности раздела я = хь(г). Рнс. 0.21.3. 21. Гидростатика 123 1) Если Н„ = Г1за (4У < Нм то гз г; = Н; — Н, + 2̈́—, г' = 1, 2. *а'' 2) ЕслиНз>Н >Нито 2 хз = Нз — Н*+ 2Н.—, *а2' ~з 3 х~ — 2Н„при г > гм г~ — О при г ( гм "1 а 3) Если Н„> Нз, то гг х,=2Н. а приг>г,, г;=О приг<г,, ГЙ, м, и+и, где = . ~1 — — Н = — г: 3 1Н.') р~ха ряха 21.12 Поверхности р = сопв$ совпадают с поверхностями г Н = — ах+ — 1х + у ) = сопвс, 2 2 2 ось х направлена по оси вращения, ось х — вертикально вверх.
21.13 Потенциальная знергия П плавающего бревна равна — РДг'о+ Р~ ДР~ х~ = Р9г 1х~ — хо), где ры 1'„х, и р, г', хо — плотности, объемы и координаты центров тяжести бревна и вытесненной им воды. Ось г направлена вертикально вверх.
Положению устойчивого равновесия соответствует минимум П, что осуществляется, если бревно плавает горизонтально. Здесь предполагается, что длина бревна много больше его диаметра, а р~ ~ р. Дх) = с'(х) = с"1х) = О при х -+ оо. 21.14 Выберем систему координат так, чтобы ось х была перпендикулярна поверхности линейки, ось х направлена по линейке вертикально вверх.
Уравнение поверхности линейки есть х = О, а уравнение свободной поверхности жидкости 1границы раздела жидкости и воздуха) х = С(х); кроме того, 124 Глава 5. Механика жидкости и газа Динамическое граничное условие на поверхности г = !,(х): Р~ =Ро— где ро — атмосферное давление; а — коффициент поверхностного натяжения; Н(х) — радиус кривизны свободной поверхности.
Учитывая, что 1/В = ~л/(1+ ~'з)з!л, из уравнения равновесия н граничного условия находим (и рдь(~) + (1+ !чз)з/з Интегрируя один раз с учетом условий при х + сю, получаем — рд!, (х) + — = о. 2 /1 1+ ~гг Замечая, что ~'~ = — с!нд, находим !х=о 6=~~ 2сг(1 — в!и д) ! ю! (2~т Величина а = — имеет размерность длины и называется капиллярной постоянной. Для границы воды и воздуха а = 0.4 см. Таким образом, относительная погрешность измерения глубины р Б=цн= /7 — БВ(н, д и — уб Сравните решение этой задачи с решением задачи 39.11, полученным с использованием только теории размерности.
21.15 Интегрируя уравнения равновесия, получаем барометрическую формулу -д1— Ыл нт р(х) = рое 1 а) р=рое нте, — = —; р= — ро при х=5.65км; Ро Ро' 2 б) р = ро(1 йх)йьте 100д Здесь и = — показатель политропы; п = т = 1.4 100д — Ллт при ЬТ = 0.98'С. 2!.
Гидростатика 125 21.16 Рассмотреть баланс сил. действующих на частипу жидкости при ее вертикальном сл»ещении из положения равновесия. 21.17 Решение аналогично предыдущей задаче. 21.18 Поскольку лт = игаб ~У, из уравнений равновесия имеем /1 ' йе '( — игаса р = — 4нС'р. р В случае сферической симметрии зто дает 21~Р з И г — — = — 4яСг рог. а) р= — нСр (а — г ), М=4х~ рг Иг=-яра, 2, з,, Г з 4 з з ' 1 з о где а — радиус звезды; б) Подставляя р = Сре/з в уравнение равновесия, получим уравнение для р(г).
Оно имеет частное решение р = Ь(Л + г~) где й/9СЛ» Ь=Лг ( — ) и Л=сопа~. (,2х6) Зто решение соответствует звезде бесконечного радиуса, но ко- нечной массы 4нЬ 6Лг' из последнего соотношения находится Л; 5 27ЛзС1 ((Л + гг) ъ/2тС) 12В Глава 5. Механика жидкости и газа 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 22.2 Известно, что если на жидкость в течение малого промежутка времени т -+ 0 действуют большие давления р' -+ оо, импульс которых конечен и равен гг рг — — !пп / р'Й, -+о е т.
е. происходит удар, тогда ягаг1 рг н = нов Р где не и о — поля скоростей до и после удара. Если не — — 0 и р = сопвФ, то после удара возникает потенциальное поле скоростей с потенциалом ~Р = -рг/Р. а) Постановка задачи: Ь~Р = 0 при л>О; (дг) прил=О,г(а1 прил=О,г>в; у = 0 при л = оо. Здесь г = х/яз+ у~, ~р = ~р(г, г). б) (У вЂ” У 3 = — /риал, д Я вЂ” д д 5 22.1 В каждый момент времени 1 значение у определяется пз решения внешней задачи Неймана Ь<Р = 0 всюду вне тела, — ( = Г/ ° а, 1дгаг1 1Р), = О, дд~ дн аг где дг' — — поверхность тела; Г/ — скорость поверхности дИ, и поэтому зависит лишь от формы тела и нормальной составля- ющей скорости точек его поверхности. Последнее утверждение справедливо также для о = игаг1 1в, но в общем случае не спра- ведливо для Ин/Й, а следовательно, и для р.
127 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 22.3 Пусть Š— кинетическая энергия потенциального течения с полем скорости н = игай ~д, а Е' — кинетическая энергия другого течения, со скоростью н~. Тогда / 3 Š— Е' = р — + ~н — н') и ИК Поскольку ( — ') а'=йь(4-.Юле'=!м..— пыл=0, Ъ' У то Е < Е', если и' ф и. 22с4 Пусть у1 и уз — — два решения одной из трех краевых задач.
Тогда из тождества (н) — пз) (П' = / М1 — аког) ~ — — — ) ~Бо' = О, 2 /д~о1 даря'~ дн дн справедливого для односвязной области следует, что н1 = нз, где н1 — — бган рм нг = игам уз. 22.5 В системе координат, связанной с сосудом, возникает добавочная массовая сила инерции, в результате имевшееся сначала состояние с зависимостью р только от вертикальной координаты не удовлетворяет уравнениям относительного равновесия. Возникающее относительное движение не может быть потенциальным, так как в силу теоремы единственности для задачи Неймана решением для потенциала было бы у = О.
Если жидкость однородна, то выполняются теоремы Томсона и Лагранжа о сохранении вихрей, поэтому вихревое движение, а следовательно, и вообще движение, не может возникнуть. 22.6 а) Внутри области в точке минимума было бы выполнено неравенство Ьу > О, а, в точке максимума — неравенство Ь~р < О, что противоречит уравнению Ьу~ = 0; проекции скорости о, = ду/дх' также удовлетворяют уравнению Лапласа. б) Из уравнений движения с учетом Жч и = 0 следует Ьр = — р ~байи'~й) = — рК,(и'К; и') = — рЯчУ~~р) ЯтУ'~р) < О, поэтому во внутренней точке р не может достигать минимума, так как в точке минимума Ьр > О. 128 Глава 5.
Механика жидкости и газа 22.7 Воспользоваться тождеством оа Ьо/ — о/г Ь~р = гОо(у 8габ ого — гд игад у) и формулой Гаусса — Остроградского. 22.8 Воспользоваться формулой Грина, см. задачу 22.7, для области И с вырезанным шаром с центром в точке и, или для области Р с вырезанным шаром с центром в точке и, затем перейти к пределу, устремив радиус шара к нулю. 22.9 а) В предположении, что ор(г) + О при г — > оо, справедливость разложения с нулевой аддитивной постоянной следует из последнего тождества задачи 22.8, если подставить в него ряд Тейлора 1 1 1 = — — (га Ч) — +.
1 о — и! !и! И Из условия ~р(оо) = О следует (игаг(~р) = О. Обратное, вообще говоря, неверно; б) Так как д дх" дх' дх1 ~ дх" — .д' =О и —. ~х' — „— бьдо д =О, где (х') — декартовы координаты, то поверхностные интегралы 1 = / — дд 1' = 1 ~~х' — — Я~р( ИЯ г д~р 11; дно дп дх" ( * аг а~ не меняются при непрерывном деформировании д1г к поверхно- сти сферы до радиуса г с центром в начале координат. Под- ставляем разложение для оо в интегралы по поверхности сферы, тогда в 1 даст вклад только слагаемое С/г (источник), 1 = — 05 = — — п5 = -4я С.
ао ао В !' даст вклад лишь слагаемое уа = Сг д(1/г)/дх1 = — С'пг/гз г з (диполь). На поверхности сферы Ье, дадон/дп = 2С1п /г, следо- вательно, (( г досл, '~ ! ЗСгп,п' яо ао 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 129 в) 1 — это поток жидкости через границу тела, он равен изменению объема тела, т. е. и'Ъ' 1= —, пг 1 о$' С= — —— 4н й Из соотношений следует Ч', 1г 1' = — (г*$")'+ —, С' = —.
Й р' 4н 22.10 Воспользоваться формулами задачи 22.8. 22.11 Решение аналогично предыдущей задаче. 22.12 а) Существование функции тока ф(х, у) следует из урав- нения неразрывности. б) То, что Ь4 = О, следует из условия аг = О. 22.13 Скалярное произведение векторов дф д4! в = — е — — е„и 8габ ф ду дх равно нулю. Поэтому линии ф = сопв1 суть линии тока. 22 14 Я = Ф(хг,уг) — Ф(хм у~). 22.15 Г = ~р(хг, уг) — у~(хм у~).
г) ег= г" сонно, ф= г" вшие, где г и н — полярные координаты. Величины Я = у в вй = у и'р и Г = у в Л = у йр — соответс с Е ственно расход жидкости через контур и циркуляция скорости по контуру Е, охватывающему начало координат, где помещен источник Я > 0) или сток (Я < 0); число п определяет угол о = х/и, внутри которого происходит течение. 5 Змо 2369 22.16 Потенциал а) ~р= — 1и г, 4~ Я 2т 1 в) р = — (Я!пг+ 2я скорости и функция тока имеют вид: Я Г Г = — с; б) у= — с, ф=- — !пг; 2х ' 2х ' 2п 1 Ге), 4 = — (Яе — Г1п г); 2и 1ЗО Глава б. Механика жидкости и газа 22.17 а) Течение является суперцозицией поступательного потока и течения от диполя, помещенного в точке г = О. Функция ЫИ'/Ыг имеет полюс второго порядка в точке г = О, нули — в точках я = ~а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
