Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 12
Текст из файла (страница 12)
14. Первый закон термодинамики 83 14.10 Учесть, что и = 4 — —, и рассмотреть уравнение притока р тепла. Р 14.11 Для идеальной жидкости из уравнения притока тепла при Ыд = О и соотношений и = и(р, Т), р = р(р, Т) следует ИТ = — — — — Ир, поэтому Т = сопв1 при р = сопвФ, т. е. Т = Т(р).
Для вязкой жидкости уравнение притока тепла дает при нд = 0 ди / р ди'Л т" — ЙТ = ~ — — — ) Ир — — е;.Й, дт 1р др) следовательно, изменение Т связано не только с изменением р. 14.12 а) Используя результат задачи 14.11, получаем (0.14.1) где т = с„/с~ = Л/с~ + 1 — показатель адиабаты; ро, То, ро — значения р, Т, р в некотором состоянии частицы. Второе из соотношений (0.14.1) называется адиабатой Пуассона. б) Нет, не верны, если членом тбе;,й(р в уравнении притока тепла нельзя пренебречь. 14.13 Рассматриваемое соотношение имеет вид о(ЗЛ+ 2р))~(е)То Р где То — температура, при которой е; = 0 при р, = О. В изотермических процессах: Ре) = Л11 (е)д;, + 2Ре;,", в адиабатических процессах: о~(ЗЛ+ 2,ы)зТо рб = Л л11Яд; + 2ра,, Л д = Л+ рс 84 Глава 3.
Термодинамика сплошных сред 14.14 1) Для процесса при неменяющихся деформациях уравнение притока тепла дает Ид = с, 4Т = 4и = — ЙТ, ди дТ следовательно, ди Т с, = — = с — с. дТ То 2) Рассмотрим процесс при постоянном давлении р, т. е. условии, что компоненты рб не зависят от времени ~. Из закона Гука следует, что пеб = оу; пТ. Из уравнения притока тепла следует Йд=с„ЙТ=с~и — — рой', = ~ — +ау, ~~ — ) — — ) 4Т, таким образом, с, = с+ Зол(ЗЛ + 2р)То. Этот ответ не зависит от вида напряженного состояния и величин р; . м' = Тес зсмл 14.16 Используя уравнение адиабаты Пуассона (0.14.1), получаем а =,~~ —" = ~/У~АТ. у Р 14.17 Обозначим массу газа через М.
В рассматриваемом процессе пс „„= О, поэтому А~') = -АО); параметры р, р и Т одинаковы для всех частиц. Для участка (1) уравнение энергии, см. рис. 0.14.1, имеет вид Р ЬУ~ = Мс., ЬТ~ = О = Я~~')+ А)', Рис. 0.14.1. где ЬУ~ — изменение внутренней энергии газа за процесс (1); Ч вЂ” количество тепла, переданное газу в этом процессе; (е) 14.
Первый закон термодинамики А~ — работа внешних сил над газом. Учитывая формулу для (е) работы внутренних сил из задачи 14.3, получим Р2 Р Р2 Р! 4') =-А(') >О, А,=-А(') >О. Здесь через А1 обозначена работа газа над внешними телами в процессе (1). Газ получает тепло Я~1'~ и производит работу Аь В процессе (П) газ не получает тепла извне, Яп — — О; в адиа(е) батическом процессе р = Ср, С = сопе1, ( = с,/си = 1+ А/с,, поэтому ез Ь1111 = — А11 = М( — ор = (рз — Рз ) = Мс~~(Тг — Т1); О) /СР МС Р 7 Рз А~ — — А~~ — — Мс„(Т1 — Тз) > О. о) Газ совершает работу Ап.
Формулы для процессов (1П) и (1У) аналогичны формулам для (1) и (П) соответственно, причем р1/рз = Р4/рз. Всего за цикл: Ь11 = О, Я(') = МЯ(Т, — Т ) 1п —; А = Ц('); Рз' КПД равен А/Я~' — — 1 — Тз/Т, и не зависит от М и степени (е) расширения в изотермическом процессе. Й~~'~ Йч д зе 14.18 а) — = — = — ЬТ; (( Р Р ( (е) зс 1 ~Ьс б) — = — Йч(к8гас(Т) = — ЬТ+ — — (8гаЬТ) .
й р РИТ 14.19 Уравнение энергии имеет вид а) — и(Т) + — + пь и(Т) +— = — ~'; ( — рп'+ зсдб —.) + Р и+ —; Р '(, 8.1) ' а ' 86 Глава 3. Термодинамика сплошных сред б) — о,Т+ — + пь — оТ+†Итак, — + 1 — 11( = О, где г = и+ —. 2 ( р д РЧ дхь Если дг направлен вдоль линии тока, то н~ = А Нх", тогда Их — „— +1 — 11 = д — + г — 11 = О, т. е. вдоль линии тока выполняется соотношение ог — + ~ — 11 = сопвс.
2 = — T; ~( — р+ Л йч о)н' + 2ребп + асуб —.) + Р и+ 1 / О 1' дТ ~ ~ймасс Р дх1) й Уравнение притока тепла: /дТ „дТ~ м а) с(Т) ~ — + о — ) = — ЬТ; 1, д~ дх" ) р Р + 1 41ч и ° 2Р О ~с, 4масс Йчп+ — еде; + — ЬТ+ ~~Чмасс Й Уравнения притока тепла и энергии для рассматриваемых сред сводятся к классическому уравнению теплопроводности, если ьимасс н =О, — =О и — =сопй.
пс Рс 14.20 Уравнение энергии для адиабатического стационарного движения: рп — 1 — + и) = рп — — 7~(о р). дхь ~, 2 ) дх" Используя уравнение неразрывности, получаем Ч~(о"р) = '7~(рп" — ) =Ч~(ро~) — + роЧ~( — ) = ро"Ч~( — )~. Р Р Р Р 14. Первый закон термодинамики 87 14.21 Уравнение притока тепла для процесса теплопроводности в неподвижной среде имеет вид рсдТ/д1 = иАТ.
Очевидно, что Т = ТЯ, ось з перпендикулярна граничным пластинам, поэтому для стационарного процесса теплопроводности в покоящемся слое йзТ/Ы = О. Граничные условия: Т = Т~ при г = О, Т = Тз при л = 6. Ответ: Т = Т~ + (Тз — Т~) —. 6' 14.22 Направим ось я декартовой системы по скорости движущейся пластины, ось г перпендикулярно пластинам. Очевидно, что все параметры среды не зависят от у; ья — — о, = 0; р, о, Т не зависят от з, ускорение частиц равно нулю. Иэ уравнений Навье-Стокса — уравнений движения линейно- вязкой жидкости, см. задачу 10.19, получается с использованием граничных условий для скорости, что оо ох — по ежив 6 6 Уравнение притока тепла дает Т /ло Изз хЬз ' Обозначим а = ноо/.кЬ~, ЛТ = Тз — Ть Интегрируя уравнение притока тепла и используя граничные условия Т = Т~ при г = О, и Т = Тз при з = Ь, получаем зз — яЬ зЬТ Т=Т~ — н + —.
2 Ь В найденном решении ЙТ/Йз = 0 при г = Ь~+ Д = глэ. Если зы < 6, то (ИТ/Иг), ь < О, т. е. поток тепла на горячей стенке направлен от жидкости к стенке (или равен нулю при зм = 6). Следовательно, при зм < 6 горячая стенка не будет охлаждаться жидкостью, имеющей на расстоянии 6 от стенки температуру Т~ < Тз. Этот эффект связан с действием вязкости. Условие зм < 6 имеет вид ров~ ) 2хЬТ. Максимальная температура в потоке при гм < Ь есть Т + Тя 62 (ЬТ)2 Т,„= +а — + —.
2 8 2аЬ Глава 3. Термодинамика сплошных сред 88 Численные значения Т„„„равны а) 30.02' С; б) бб' С. В течении теплопроводной невязкой жидкости процесс теплопроводности протекает как в покоящемся слое, см. задачу 14.21. 14.23 Граничные условия в этой задаче таковы: Т=Т1 при я=О, д„=п, = О при г=о, 3Т т.е. — ) =О. Пользуясь решением задачи 14.22, получаем т, Рис. 0.14.2. т=т+ (5-2), где а = до~о/мЬ~. Температура у теплоизолированной стенки равна "о Тз — — Т1 + а — = Т1 + р —.
2 2м а) Тг=30005С в) Т2 = 22430'С. б) Тз = 39'С. г) Нет. 14.24 Уравнение, описывающее процесс нестационарной теплопроводности в покоящейся среде, имеет ви дт — = хит, д1 где Х = и/рс. Начальные н граничные условия: Т = То при ~ = О, г > 0; Т = Т1 при г = О, 1 > О. т, Рис. 0.14.3. д) В установившемся состоянии поток тепла от жидкости к тер- мометру отсутствует — между термометром и жидкостью име- ется тепловое равновесие, т. е. термометр показывает темпера- туру Тг вместо Ты 14. Первый закон термодинамики Следовательно, Т может зависеть только от 1, я, 1г, То, Тг, поэтому по П-теореме, см.
з 38, получаем Т = Тг Д~, То/Тг), где ~ = я/,„/Г~. Подставляя это выражение для Т в уравнение теплопроводности, получим для / уравнение /" + с/'/2 = О, решение которого есть г/2 / = с 1 е ~ д~г + сг, с, сг = сопв$. гг о Используя краевые условия и то, что получим ггпу 2 Г т — Т =(Т вЂ” Т) ~ е Г'г6. ,/-./ и о Функция — 1 е Г! Щ обозначается его(х), поэтому реше- М о ние можно записать в виде Т вЂ” Тг — — (То — Тг) его Решение, в котором искомые функции зависят от я и 1 только через одну их комбинацив вида г/1, называется автомодельным.
Решение рассмотренной задачи автомодельное. 14.25 Процесс нагревания слоя описывается уравнением дТ вЂ” = уЬТ, дг где т = зг/рс — коэффициент температуропроводности, см. задачу 14.24. Следовательно, время гг достижения температуры Тз на верхней границе зависит только от толщины слоя 6, а также от Х, Тг, Тв, Тз. 'гг = 11(п, Х, Тг, То, Тз). Применение П— теоремы показывает, что гг — — Бз/(Тг/То, Тз/То)/т, Таким образом, пРи оДинаковых 1г, Тг, То, Тз вРемЯ гг пРопоРционально йз.
Поэтому прожарить одну сковороду толстых котлет требует в два раза больше времени, чем последовательно прожарить две сковороды в два раза более тонких котлет. 90 Глава 3. 'Гермодинамнка сплошных сред 14.26 Плотность внутренней энергии равна и = снТ, внутренняя энергия воздуха в комнате объемом У равна У=сор рР'= с„рр В Так как давление не меняется, то У также не меняется.
14.2Т Уравнение движения пули в стволе имеет вид Н* т — (р — р,)Я, где х — расстояние вдоль ствола; Я вЂ” площадь поперечного сечения ствола; р, — давление впереди пули, считается равным атмосферному; р — давление сзади пули; тп — масса пули. Процесс расширения газа позади пули — адиабатический, поэтому р = рорз/ро, причем р = Мо/Яи, где Мо — масса пороха, превратившегося в газ.
Обозначим через 1 длину ствола. Скорость пули в конце ствола достигает максимального значения, если р(1) = р„т. е. РО Ч О где Ъо = Мо/ро. Начальное давление ро можно оценить следующим образом: начальная внутренняя энергия единицы массы газа, образовавшегося при сгорании пороха, есть с то, она равна Ч вЂ” удельной теплоте сгорания пороха, поэтому к9 ро = роВТО = Ро — = РОЯ(7 1) с1, Вычисление дает 1 = 110 см. 14.28 Масса воздуха составляет около 144 кг.
14.29 А = 400 Дж. 14.30 Температура находится из соотношения Своды ' Шводы(~' ~Оводы) = Скамня ' Шкамня(Токамак т) ° Ответ: 24.5'С. 14.31 900 К. 16. Второй заков термодинамики 14.32 Для оценки величины требуемой работы будем считать, что объем первоначально имеет форму шара. Тогда 4 з 4 з !'Π— иВе— 3 3 где Вп — радиус первоначального объема, г — радиус капли, и — число капель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
