Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 10
Текст из файла (страница 10)
10.18 В цилиндрической системе координат (г, у, я) введем физические компоненты скорости и„, им и и„пользуясь равенством «=«е;=и —, ; е, )е;(' где обозначено и' = и„, из = и, из = и,. Аналогично введем физические компоненты плотности массовых сил и градиента 10. Уравнения движения и равновесия давления. Пользуясь формулами для компонент ускорения из задачи 10.17, запишем уравнения Эйлера в виде ди„ди„и ди„ди„и~ 1 др — +и, + — — +и,— — — =Ä— — —, д1 дг г д«р ' дя т рдг' ди ди итди ди и„и 1 др — и+и„— + — — ~+и,— ~+ =Г, — — —, д~ " дг г ду ' дя г ргд<р' ди, ди, и ди, ди, 1др — +и„— + — и — +и,— =Г,— — —.
дв " дт г д1в ' дя ' р дя В сферической системе координат г, В (полярный угол), Л (долгота) уравнения Эйлера таковы: ди„ди„ив ди, ил ди„ив з+ илз 1 дР +и,— + — + дв ' дг г дВ гяпВ дЛ г " рдг' див див ив див ил див и,ив сСнВ з 1 др — +и, + + + ' — ил=Гв — — —, дк ' дг т дВ тяп В дЛ г г рдВ' дил дил ив дил ил дил и,ил сааб В д, +Ъ дг + г дВ + г.!ПВ дЛ + г + т в л— 1 др = Гл— ргяпВдЛ 10.19 Используйте формулы еы = зЯо~+ ~~оь).
10.20 Используйте формулы еы = 1~яич+ лк)юь). ) Р Р б) О. 10.22 а) В сферической системе координат имеем сг = о(г,в), ов = ил = О. Уравнения неразрывности и движения имеют вид днгз ди до 1 др — =О, — + о — = — — —. дг ' д~ дг р дг Граничные условия: и = к1г„(й, р = 0 при г = г„р + О при г — л оо, где г, — радиус каверны. З зкк. 2369 10.21 Умножьте скалярно уравнения движения на Нт = инг и проинтегрируйте полученное равенство по объему И. Плотность работы внутренних поверхностных сил равна Глава 2. Общие законы и уравнения 66 Начальные условия: Е = 4нгз — йг — ~ Ео р' -+О при 1 — р О.
г, б) Искомые параметры равны 1 = (-, '~) — „р= —,(г — ( — ') ),, = 12.Ра1Р, С Зрсз ЗРсз 11 г =ъ4г. — хг- З— 1р „— З с. "с 8 ~ф 4(5с/2) 5 г) о = о(~, г Ео р) р = Р(~ г Ео р)' на основании П-теоремы, см. з' 38, в) 1 з У(6' Р з Р'Р(с)' 1Де 5 Еслир ~О,то 1 с Е01 5 = "р'- — ) 'РЫ О) Де О= —,, Р1' Ео ЗЕо 1стах— ~( 4ир после этого начинается ее схлопывание.
е) Нет, потому что для осуществления такого движения на единице площади плоского заряда или на единице длины заряда, распределенного по прямой, в начальный момент должна быть выделена бесконечная энергия. В этом можно убедиться, подставив выражение для о, следующее из уравнения неразрывности, в формулы з ОЭ з Г Ро / ро Е=2/ дг и Е= ( 2яг — 1рг 2 соответственно для взрыва на плоскости и длн взрыва на прямой. т. е. задача не автомодельна.
д) Если р ~ О, то возникают колебания: сначала радиус каверны возрастает до 11. 1[рнменение интегральных законов 11. Применение законов сохранения массы, количества движения, моментов количества движения в интегральной форме для определения сил и моментов, действующих на тела, движущиеся в жидкости (метод контрольных поверхностей) 11.1 а) Написать соответствуюшие законы для индивидуального объема среды и воспользоваться формулой (8,10) дифференцирования интеграла по подвижному объему. б) Закон сохранения энергии (7.4) для установившегося движения имеет вид 11.2 Воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского. 11.3 а) Обозначим через ГА и ГВ поверхности тел А и В, через Гт — внутреннюю поверхность стенок трубы Т. Используя также обозначение ~ = ~А + 1'В + с'Т~ по определению главных векторов сил В и момента М и притока энергии И', запишем В= — р„йг, М = — (~ х р„+Я„) Йт, И'= — (р„в — д„*) 4т, Е Е е где и — нормаль к поверхности, внешняя по отношению к жидкости.
Возьмем в качестве контрольного объем жидкости, заключенный между сечениями Е1 и Гз, тогда контрольная поверхность есть ~1+ ~2+ 1'А+ 1'В + ~Т. Используя законы сохранения количества движения, момента количества движения и энергии, см. задачу 11.1, а также условие Глава 2. Общие законы и уравнения непротекания жидкости через Ел, Ев и Ет, т. е. условие н„= 0 на Ел, Ен и Ег, получим В = / (р„— рее„) )))р, Е! +Ег ( р„ р и„ вЂ” р\ ° р р р),„) р, Е)+Ег (р„-р„' — р( р — "),„) р . Е)+Ег б) При учете силы тяжести в формуле для В прибавится член руИУ = тд, в формуле для М вЂ” член рг х у дУ = ргЛ' х у = тго х д = го х ту, 1 где т — масса жидкости в объеме У; у — ускорение силы тяжести; го — радиус-вектор центра тяжести в объеме У.
в) Отметим индексами 1 и 2 параметры потока в сечениях Е) и Ег. Жидкость втекает в контрольный объем через поверхность Е1 и вытекает через Ег, поэтому Р1 1'1 и) — — — о)в), (р„), = — р,в, = —, 01 Рг иг ег = нгвг) (Р„)г = — Ргргг = — —, ег где в1 и вг — нормали к Е1 и Ег, внешние по отношению к контрольному объему. Пусть 51 и Яг — площади Е) и Ег, г1 и 1'г — радиусы-векторы геометрических центров этих сечений. Тогда р)н)51 — — ргнгЯг в силу закона сохранения массы, и "Рг = (Р1 + РМо) (Рг + Ргнг)ог —, 01 1)г м = (р)+ р)е,')5)г) х — — (рг+ рг))г)Ягг', х —, Н1 ег = (11 гг))г ср = Рги) о) = Рг"гог) Глава 2.
Общие законы и уравнения б) Для плоской струи рассмотрим контрольный объем $", граница которого включает, кроме Еш Е, Е1, Е , еще два продольных, т. е. параллельных плоскости течения, сечения, расстояние между которыми равно единице. Так как по условию все параметры потока на этих сечениях одинаковы, а внешние по отношению к $' нормали к ним противоположны, общий вклад интегралов по этим сечениям во всех используемых соотношениях равен нулю. Поэтому формула для В, полученная в п. а), может быть испочьзована и для плоской струи, причем Яо = 1 1. Следовательно, В: ро1ео ип о. . Для получения ответов на другие вопросы задачи введем декартову систему координат с началом в точке О, направив ось з по нормали к стенке 1по и ), а ось у вдоль стенки в такую сторону, чтобы проекция ве на ось у была неотрицательна, на рис. 11.2 — вверх, вдоль стенки.
Обозначим через ом оз, 1м 1з скорости и толщины растекающихся по стенке „вверх" и „вниз" струй, вдали от точки О, о~я — — пы нзя — — нз. Используя законы сохранения массы и количества движения в проекции на ось у, получим соответственно 1оо =1~о~+1явз, 1носоеа+1~о, =1зез. 3 ,2 3 Интеграл Бернулли (11.4), записанный для линий тока, идущих по поверхности струи, где р = ро = сопе1, дает о~ = ео и оз = оо. Поэтому 1 + сов а 1 — соз а 2 ' 2 Точка С приложения суммарной силы В определяется условием, что момент В относительно любой точки равен сумме моментов сил, составляющих В, т. е.
г,х В= ~ гх 1р — ро)пйо. В общем случае такой точки С может не существовать. Глава 2. Общие законы и уравнения 11.10 а) Рассмотрим контрольный объем, показанный пунктиром на рис. 11.7, его ширина в направлении, перпендикулярном плоскости течения, равна единице. Сечения АВ и РС параллельны вектору периода!, а контуры АВ и РС вЂ” это одна и та же кривая, сдвинутая поступательно на один период.
Законы сохранения массы и количества движения дают ИЛН О!п = И2п Оп~ Ргнгп = Р1нгп = С где 22 1 1; В = (р1 — рг)122 + йи1 — вг). Циркуляция Г по контуру АВСР в силу периодичности течения равна Г = (ог1 — нм)1. Поэтому Л1 = С(н11 — н21) = — рГнп; используя интеграл Бернулли, получим, что рГ(н11+ н21) В = ~~Р1 Рг) = 2 Отсюда видно, что В -~- (01+ нг), ~В~ = рГ, т. е.
В = р х Г. ~91 + 92) 61 + 62 2 2 б) При 1 — > оо и Г = сопв$ имеем н21 — + нм, вг — 1 и1 = и „ поэтому В=ри х Г. 11.11 Известно, что при движении тела в несжимаемой жидкости, и во многих случаях — в сжимаемой жидкости, вызванная движущимся телом скорость жидкости быстро стремится к нулю при удалении от тела во всех направлениях, кроме направления назад, где образуется течение в сторону движения тела, называемое с~уткой струей.
Предположение об отсутствии вязких напряжений в жидкости и о выравнивании давлений вдали от тела позволяет не учитывать расширения поперечного сечения спутной струи вдали от тела. Рассмотрим контрольный объем в виде прямоугольного параллелепипеда с гранями, соответственно параллельными и перпендикулярными скорости тела и расположенными достаточно далеко от тела. В способе а) этот контрольный объем движется 73 11. Применение интегральных законов вместе с телом, движение является установившимся в системе, связанной с телом, метод контрольных поверхностей дает, что сопротивление равно В=/рп Нгт — /ри Нгт, лг яг где Яг и Яз — передняя и задняя грани контрольного объема, перпендикулярные скорости тела; и — скорость спутной струи относительно тела вдали от него.
Используя закон сохранения массы роНтт = риНе =- Нтп, ог получим ог Яг В способе б) тело движется внутри контрольного объема, движение неустановившееся относительно системы, связанной с контрольным объемом. Позтому при вычислении гг надо учитывать скорость изменения количества движения внутри контрольного объема, которая равна ) ров, Нгт. Следовательно, ~г гг = ров, Нтт, где ге — скорость в спутной струе относительно окружающей жидкости. Так как и = о — о„то две полученные формулы для Л совпадают.
11.12 Действуя аналогично методу а) решения предыдущей задачи, получим, что сила, действующая на ракету, равна разности потоков количества движения через Яг и Яз. В случае, когда можно пренебречь потоком количества движения и массы через Яы получим В = — / риггНтт, где и — скорость газа в струе, вытекающей из ракеты, относи- тельно ракеты. Если и не меняется по сечению, то гг = ти. 74 Глава 2. Общие законы и уравнения 11.13 В = — Ир' — ро)Б+ ригБ)п; В = — ригБп. Здесь о — площадь выходного сечения сопла.
11.14 а) В представляется вектором, являющимся диагональю параллелограмма, построенного на векторах иг нг (Рг + Ргнг)ог и (Рг + Ргнг)ог нг гч см. решение задачи 11.3. б) Если линии, параллельные ог и нг и проходящие через геометрические центры входного и выходного сечений трубы, пересекаются в точке О, то эту точку можно рассматривать как точку приложения равнодействующей сил, действующих на трубу со стороны жидкости. в) 6.75 кгс.
11.15 Отметим индексами 1 и 2 параметры во входном и выходном сечениях трубы. Закон сохранения массы дает нг — — нг, так как Яг = Яг. Из интеграла Бернулли (11. 4) получаем, что рг = рг. Используя для В формулу из решения задачи 11.3, находим, что сила, действующая на трубу со стороны жидкости, направлена под углом 45' к иг и ог и равна ~(25г(рг + рогг)/2. 11.16 Применить закон сохранения количества движения к жидкости между сечениями А и А', указанными на рис. 11.1О. Р(нг — нг) Ответ: р~г — рг = 2 11.17 Для вычисления силы В перейдем в систему отсчета, движущуюся вместе с телом; в этой системе имеется стационарное обтекание неподвижного тела и можно воспользоваться формулами задачи 11.3, рассматривая сечения Ег и Ег потока далеко впереди и далеко позади тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
