Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 8
Текст из файла (страница 8)
6.18 Применяя метод задачи 6.16, получим искомое выражение Й18+йзЯ+йзЯ Я. Здесь йм йз и йз — произвольные скаляры. 6.19 Изучить преобразование компонент обратной матрицы. 6.20 Компоненты искомых тензоров суть дб ы Уь д и ьу ОВн йс7ЗД д' Ву . д"'Во, д" 77™. д' 77' где В = езез..Линейная независимость доказывается „от противного" путем сверток с 8 и В, как в задаче 6.16. 6. Симметрия и теязорные функции 6.21 а) а = гь: б) с = ~га+ ггь. здесь г' и гы гг — произвольные скалярные функции аргументов )Ь| и )а), ~Ь), а Ь соответственно.
6.22 Искомый потенциал имеет вид !Ь| Ф = / т1(т) Ит+сопвг. о 6.23 Использовать зависимость Ф(1ыХг,,Уз) в главных осях тензора Б. 6.24 Раскрыть скобки в формуле Лагранжа — Сильвестра. В общем случае. ЛгЛзГ(Лг) ~- (Л, — Л,)(Л, — Лз) (Лг+ Лз)Е(Лг) (Л1 Лг) (Лг Лз) к(л ) ~, (Л, - Л,)(Л, - Лз) ' где символ 2 „„, означает сумму членов с циклической переста- новкой индексов 1, 2, 3. 6.25 Указанный тензор инерции имеет вид где т = и'е; — радиус-вектор относительно центра масс: р— плотность и И вЂ” объем тела. а) В си,пу симметрии тензор инерции однородного шара — шаровой 1 = Ьи, см. задачу 6.16.
Проводя вычисления в сферической системе координат, получим для скаляра Ь = згг".', = -Мт1г, 1 ', г где М и Н вЂ” масса и радиус шара. б) 1ы = яМ(Ьг+сг), 1гг = ягМ(пг+сг), 1зз = -'М(аг+Ьг), Ц = 0 при г ~ г'; здесь М, а, Ь, с — масса и полуоси зллипсоида. Глава 1. Основные понятия 6.26 Правильный тетраэдр вписывается в куб так, что его ребра являются диагоналями граней куба. Тогда, очевидно, группа симметрии правильного тетраэдра является подгруппой группы симметрии куба.
В свою очередь, группа симметрии октаэдра, который может быть вписан в куб так, что его вершины являются центрами граней куба, совпадает с группой симметрии куба. Поэтому достаточно доказать, что указанный тензор инерции 1, см. задачу 6.25, как инвариантный относительно группы симметрии тела тензор второго ранга, является шаровым в случае правильного тетраэдра. Инвариантность относительно поворотов на угол я вокруг взаимно перпендикулярных осей, проходящих через середины противоположных ребер тетраэдра, дает, что в этих осях все неднагональные элементы матрицы 31о)( равны нулю. далее, инвариантность относительно поворотов на углы 2х/3, 4к/3 вокруг одной из осей, проходящих через вершины тетраэдра перпендикулярно его граням, приводит к желаемому результату.
6.27 В случае 6.14 г) в цилиндрической системе координат 1г, ~р, г) все компоненты любого инвариантного тензорного поля суть произвольные функции аргументов г и г. В остальных случаях возникают определенные соотношения четности по з, а также нулевые компоненты у вектора в н тензора Т. а) н"' = О, Т'"' = Т' = Т'" = Т4" = О остальные компоненты, включая скаляр, — произвольные функции аргументов г и з; б) о', Т"', Т'", Т"", Т'"' — нечетные по аргументу г функции, остальные — четные; от г зависимость произвольная; в) объединение ограничений а) и б); д) о', о~, Т™, Т'", Т''~, Ти" — нечетные по аргументу л, остальные — четные; от г зависимость произвольная.
6.28 В сферической системе координат (г, И, <р), инвариантные скаляр, вектор и тензор имеют вид Ф1г), в = о"(г)е„, Т = Т" (г)е е„+ Т (г)(е~ер+ в1п Ве е„,). Глава 2. Общие законы и уравнения механики сплошной среды 8. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности Е Здесь 1' — пространственный объем; Š— его поверхность; и„— проекция на нормаль к Е скорости в среды. 8.3 б) Ксли (х, у, х) — - декартовы координаты, то уравнение неразрывности имеет вид др др др др /дн дпп дп, 'и — +о — +гп — +н,— +р1 — '+ — "+ ) =О.
д~ дх "ду дх ~, дх ду дз ) 8.4 Для доказательства использовать соотношение, верное, если $' — индивидуальный (материальный) объем, др' 1 — = — ) Л'= о„ее= Ойнв~Л~. Й Ш,/ 8.5 Для несжимаемой среды: пу'~;~р = Ь~о = О; др для сжимаемой среды. "— + п~*(ребр) = О; Чп = дбпу . д1 8.6 См. решение задачи 8.7. 8.7 В произвольной криволинейной си~теме координат верна формула, см. задачу 3.48, 1 до ~(д спч в — —, д = с1е1()дбй. д дх В ортогональной системе дб = О при и ф- й ое$ Одбй = дпдзгдзз. Физические компоненты пф вектора в, обозначаемые ниже для удобства и, определяются формулами о = о'е; = и'е;/)е;); и = о и/д !'лава 2. Общие законы н уравнения 54 суммирования по о нет. В ортогональной системе координат уравнение неразрывности имеет вид др др,/9гздззи др /дсс9ззи дръ/9ссдгзсг 'дС+ дал + д. + д з а) В цилиндрической системе координат (г,у,я) обозначим 1 2 3 и =и„.и =и,и =исо др дрги„ дри дрги, + + м+ — О.
б) В сферической системе г, д (широта), Л (долгота) обозначим ис = и„, ия = иа, иэ = ил, др, дри„г' дрия вСп д дрих г гйпд — +вСпд +г +г =О. дС дг др 1 дри„г' 8.8 — + — = О, где и = О, 1 и 2 соответственно для дС г дг движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией. 8.9 Воспользоваться формулами, связывающими величины Ло и Л' малой частицы в начальном и конечном состояниях, см. ~ 4, и законом сохранения массы этой частицы.
8.10 Эти формы можно вывести из соотношения роз/д = р~(д, где 9 = сСеС'09,;)), д = с1еС'Од,.!), используя равенства сс 'а " " /с -/с д;;=д;,+2е;;=уса(5 +2е) и 9;,=9;; — 2е, =д,ь(6 — 29). В линейном приближении уравнение неразрывности можно за- писать в виде Р = Ро11 1ССй)) = Ро11 1С18)). 8.11 — + = 0 .и 1 с15 до 1 др д д д 8.12 — — + — + — — = О., где — = — + но —. до с11 дя Ро сН ' с11 дС дя' 9. Тенэор напряжений 8.13 Используя уравнение неразрывности, получим — рАЙ' = — +г)К(рАв) П1' = р —, + е ~7 А г11г.
8.14 Вычислить гггч о. Ах а) оэ= — г г~ б) в = 8гад у, поскольку гог в И,х в) уравнение траекторий:— = 0: Ьу=йч в = 0: Ид = —, т. е, х 4х + у г1у = О. пу 8.16 В рассматриваемом случае потенциал скорости у определяется как решение задачи Неймана Ьу = О, — = У(х', 1). дф Оп г Уравнение и граничное условие для р, а также связь скорости с у линейны. Уравнение Ь р = О получено только из уравнения неразрывности. 9. Тензор напряжений 9.1 Пусть ось х направлена вдоль скорости бруса, ось х— вертикально вверх, тогда р„, = — 1 кгс/0.02 мз = — 50 кгс/м~. По закону Кулона сила, трения пропорциональна нормальной силе, т. е. ~р, ~ = 0.3 )р„,(, р„, = 15 кгс/м; р„„= О.
9.2 а) Для декартовых координат векторы и' единичных нормалей к координатным площадкам совпадают с векторами базиса е;, поэтому формула. Коши (9.1) дает р' = 1Р'е,. Таким образом, в декартовых координатах столбцы матрицы компонент тензора напряжений суть компоненты векторов напряжений на координатных площадках. б) ргз — это проекция на ось х~ вектора напряжения, действующего на площадке, перпендикулярной оси.х . 1'лава 2. Общие законы и уравнения в) Используйте то, что в криволинейных координатах векторы единичных нормалей для координатных площадок ал = сопвг могут быть записаны в виде и' = е'/~е'~. г) Физические компоненты рф" вектора р*' суть Р",„/дуу/дп (суммирования по г', у' нет). В ортогональной системе координат дн = 1/д" и Рф =Р ЯЯй =Рф ° В цилиндрической ~истеме координат ди — дзз = 1, дгг = г, поэтому.
например, физические компоненты вектора р* напряжений на площадке г = сопв1 таковы: и *гг гг Рф — Р ~ Рф — 'Р *зг зг Рф — Р 9.4 Рассмотрите малую частицу среды, имевшую до деформации форму тетраэдра, расположенного по отношению к лагранжевой декартовой системе координат в начальном состоянии аналогично тетраэдру, описанному в указании к задаче 9.3. 9.5 а) Используйте соотношения гг„, дав — — Р„На и д~" . д~" рдапй = рсгапя — = ройтойь —., дя дя где п, пя — компоненты и в эйлеровой и лагранжевой системах координат в деформированном состоянии.
Последнее соотношение можно получить, применяя закон сохранения массы к 9.3 а) Используйте соотношение, выражающее закон сохранения количества движения для малой частицы среды, имеющей форму тетраэдра, вершина которого расположена в рассматриваемой точке среды, три грани, лежат в координатных плоскостях декартовой системы координат, а четвертая грань перпендикулярна вектору и. Разделите все члены на площадь четвертой грани н перейдите к пределу когда тетраэдр стягивается в точку. б) Необходимо, чтобы ) р(а — г') И$' был малой выше второго к порядка по линейному размеру малого объема Г. Достаточно, чтобы р(а — г') было ограничено.
9. 'Рензор напряжений 9.7 р~~ 213 Па, рг — 56 Па, рз — — 32 Па, 1р„! 223 Па, рпп 56 Па, Рп, 216 Па; соей = рп„/~рп~ — 0.25, й 75'. 10 4 9.8 рп = — — ег + -ез. 3 3 9.9 ПРежде всего, запишем выРажениЯ Рпп, и Рп,п чеРез тензор напряжений рп,п = р' пг,п, = рпппи; б рпп, =р и пм, гу так как Рб = Р1', то Рпп, = Рп,п. 9.10 а) В главной системе координат для тензора напряжений, например, на площадке, перпендикулярной оси х', по формуле Коши (9.1) имеем Рпг Ры ~ Рпг Ргг О~ рз=рзг=О.
б) рпп = р,,п'гГ; в главной системе координат Р п =Ргпг+ Ргпг+ Рзпз, причем и, + пг+ пз — — 1; г г экстремум рпп достигается при и;, удовлетворяющих условиям д~р„„— Л(пг+ иг + пг — 1)~ — О, 1 = 1, 2, 3. дгп Здесь Л вЂ” множитель Лагранжа. Если р1 > рг > рз, то эти условия означают, что рпп достигает экстремума, когда и параллелен одной из главных осей. То~да (Рпп)шпп = Рг, 1Рпп)пип = Рз. 9.11 а) сфера; б) две параллельные плоскости х' = хс; в) гиперболический цилиндр х'хг = с. индивидуальному объему в форме малого цилиндра, имевшего в начальном состоянии площадь основания Иоо и образующую Иго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
