Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2 ! ) ' 2 ~ (1 + 6)з) в) При )6~ << 1 можно записать приближенные равенства е= 6епеы и е= 6езез. В этом случае тензоры Грина и Альманси не совпадают даже при малых деформациях из-за наличия конечного поворота. 4.7 Материальный элемент с началом в точке ~, характеризуемый в недеформированном состоянии вектором И~, в деформированном состоянии занимает положение, характеризуемое вектором Их с компонентами 1х, = 16+ ойсоа(66) 16; с)хз = 4г, 1хз = Жз. Глава 1. Основные понятия 24 Таким образом, малая окрестность частицы ~ испытывает одноосное растяжение в направлении оси яы Относительное удлинение материального элемента с началом в частице ~, параялельного оси яы равно 1 = ак соя(й~г). Тензор деформаций Грина равен е = ой совяд) + — огlсг сонг(цг) егег 2 и обращается в нуль в частицах, для которых 6= —,+ —, гдет=0,~1,...
или 2й /с ' сг = — (~агссов( — — ) +2яп), где — < 1, в=О,+1, й) ) 4.9 Тензор деформаций Грина определяется соотношением и и е = — (е1ег + егег) + — егег, 2 2 его главные значения и соответствующие главные осн суть 2 2 4 2 ° Лцг = — ~ — + —, Лз = 0; ег + — Лгдег, ез. 4 4 16' ' ' а Тензор деформаций Альманси определяется соотношением Ц Я е = — (егег+ егег) — — егег, 2 2 его главные значения и соответствующие главные оси суть 2 2 4 Лцг = — — ~ — + —, 4 4 16' 2 Лз = 0; ег + — Лцгег, ез.
а 4.10 Поле перемещения в лагранжевом описании задается формулой и(ф,1) = аггею в эйлеровом — в(я,г) = аягеы Вычисление компонент тензоров деформаций через производные поля перемещений приводит снова к формулам, указанным в ответе а к задаче 4.9. Тензор малых деформаций е01 = — (е1 ег + егег). 2 4.8 По полю перемещения и = ас е определяются компоненты тензора деформаций Грина й д = (а+ аг/2)е д.
Воспользовавшись результатом задачи 4.3 а), находим, что относительное удлинение всякого материального элемента равно а,. В случае а > 1 происходит растяжение, при а < 1 — сжатие. 4, Деформация, <корость де<рорл<ацнн, вихрь 4.11 Из формулы, полученнои при решении задачи 4.3 а), при известном тензоре деформаций Грина можно найти относительное удлинение всякого лиатерпального элемента, и наоборот, можно найти все материальные элементы, испытывавшие относительное удлинение заданной величины. '1ензор деформаций Грина для простого сдвига найден при решении задачи 4.9.
а) Относительные удлинения всех материальных элементов, параллельных в начальном состоянии оси е< или оси лз, равны нулю< т. е. << — — 1з = О, а параллельных оси тг — отличны от нуля, = л/Г+ аг — 1. б) В момент 1 относительное удлинение равно нулю для всех материальных элементов, направления которых в начальный момент характеризуются вектором <2~ = <2~ е с «сг = 0 или с «с< +аЩ/2 = О.
Другими словами< это материальные элементы, лежавшие в момент < = 0 в плоскости ~г = сопвС или в плоскости (< + асг/2 = сопв1. Гще иначе: это материальные элементы, лежащие в момент < в плос'кости тг —— сония или в плоскости и< — атг/2 = сопв$. 4.12 О. 4.13 Относительные удлинения находятся по формуле, полученной при решении задачи 4.3 а). Воспользоваться свойством главных осей и главных значений: наибольшее и наименьшее значение квадратичной формы е„пИ <1д на векторах << единичной длины достигаются, когда <л направлен по одной из главных осей тензора, и равны соответствуюшим главным значениям.
Наибольшее и наименьшее относительные удлинения равны 1,„,„= 0.04 и 1,„;„= — 0.02< их испытывают материальные элементы с направлениями е< + ег -е<+ е, «" пах— Ап«< = л/2 л'2 Относительное изменение объема равно 0.03. Глава ! . Основные понятия Компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси в е; образуют соответственно матрицы 6 Ь 6г О О 4. 14 базисе Ь 2 Ьг 2 6 2 6г 2 4.15 Поле перемещений: по(х,!) = 6(хг — 6хз)е, + 6хзег, тензор малых деформаций: 6| е' ' = —, ~е,ег + еге, + е,ез+ езег).
2 4.16 Рассмотрим элемент, положение которого в деформиро- ванном состоянии характеризуется вектором дх!'). Его положе- ние в недеформированном состоянии характеризуется вектором д(!') = — дх ' е = — 61дзе = — е Нз. д6' О) д~, , д~„ дхь дхь дх, Скалярное произведение д~!') д~О) = — — ~Ь~ = (6; — 2е; )дз~, с другой стороны, равно д~!О, „~~(!) (1+ ! )(1+ ),) ~, ~ г огсюда и следует доказываемая формула. 4.17 Главные значения тензора деформаций Грина Л„равны значениям его компонент й в ортонормированном базисе гпавных осей. Из равенства е~„= —, [(1+ !о) — 1], где ! — относительное удлинение материального элемента, который при ! = О направлен вдоль соответствующей главной оси, вытекает соотношение 1+ 2й„> О.
Здесь учтено, что 1 > — 1 в силу определения относительного удлинения. 2 6г 2 6 2 2 6 2 2 -(1+6 ) 6 2 — (1+ 6г) 2 — — (1+6 ) 6 2 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 27 Неравенство для главных значении тензора деформаций Альманси устанавливается аналогично с использованием равенства ~1+1 )г+1~ полученного при решении задачи 4.16. 4.18 Пусть 1л,) — пространственные декартовы и 1с ) — соответствующие лагранжевы координаты; Г = 'йг'; (! — матрица дисторсии. Матрицы компонент тензоров деформаций Грина и Альманси имеют тогда вид е,уд = — ~ ГьоГьл — бид), еб — — (бб — ЕЕ.~,Н.ут), где йН.„тй — матрица, обратная к матрице йГ; Й.
Пусть Л вЂ” главное значение тензора Грина и т1 — компоненты соответствующего главного вектора, а Л и у, — главное значение и компоненты соответствующего главного вектора тензора Альманси. Это эквивалентно выполнению соотношений 1 2 Гьи Гид бид)утт = Лт1а~ ) б Н тЕЕ )ут = Лу -( 2( или, что то же самое, соотношений Гя Г~дт1т = 1т + 2Л)тт, Нз;Н у = 11 — 2Л)у,. 10.4.1) Если материальный элемент до деформации был направлен по вектору т1, то в деформированном состоянии он будет направлен по вектору Р т1 с компонентами Г; тт . Пусть т1т и Л удовлетворяют первому из равенств 10.4.1). Для доказательства утверждений а) и в) остается проверить, что у, = Гихть и число Л, для кото ого Р 1 1 — 2Л = 1+ 2Л удовлетворяют второму из равенств 10.4.
1), т. е. что справедливо соотношение 1 НтЛзЕЕ Еа 9~ — Г и Цд. 1+ 2Л В силу того, что матрица йЕХт;)! обратна матрице йГЕ 'й, это соотношение эквивалентно равенству 1 .Г;„ц, 1+ 2Л 28 1'лава !. Основные понятия или, что то же самое, равенству 1 О = . Е; Гчдт1д, 1+ 2Л которое выполнено по условию. Утверждение б) доказывается аналогично. 4.1В Рассмотрим симметричную матрицу 11, определенную своими главными осями и главными значениями.
Пусть главные оси матрицы совпадают с главными осями тензора деформаций Грина, соответствующего дисторсии Г, 1т Ф„д = — 1 К,Гчя — ©„д). 2 а ее главные значения равны /с; = Л/1+ 2Л;, где Л; — главные значения тензора Грина, причем 1+ 2Л; > О, как показано при решении задачи 4.17. Матрица П невырождена, поэтому из соотношения г' = йо' однозначно определяется матрица Л. Покажем, что она ортогональна. Для этого достаточно указать тройку взаимно ортогональных единичных векторов, остающихся взаимно ортогональными и единичными при преобразовании с матрицей В.
Очевидно, оно оставляет взаимно ортогональными направления главных осей тензора й, поскольку таким свойстном обладает дисторсия, см. задачу 4.18, а преобразование с матрицей П вЂ” в силу его определения. Проверим, наконец, что преобразование с матрицей Н сохраняет длину каждого из векторов, имеющих одно из этих трех направлений. Действительно, пусть еы ез, ез — ортогональный базис, составленный из векторов, имеющих эти направления. Матрица компонент тензора й в этом базисе диагональна с компонентами с = Л . Рассмотрим, например, материальный элемент, имеюгций до деформации направление еы Его относительное удлинение 1~ при рассматриваемой дисторсии Г определяется соответствующей компонентой тензора деформаций Е: й.
<<~еформациа, < корость деформации, вихрь 2Э т. ь-. - «---е г ° < «, = <<< -«„= << < ~й, р . И. в такое же число раз й| = ~/1+ 2Л1 он растягивается и при преобразовании с матрицей У. '1аким образом, преобразование с матрицей Л не изменяет его длину. что и требовалось доказать. 4.20 Воспользуйтесь утверждением, доказанным при решении задачи 4.18 а). Взаимно ортогональными после деформации остаются три материальных элемента, один из которых в начальном состоянии направлен по оси хы а два другие — по любым двум ортогональным направлениям в плоскости (хз, хз).
Относительное удлинение максимально для материальных элементов, направленных в начальном состоянии по оси хм 4.21 Сравните главные значения тензоров деформаций, которые не изменяются при совершении дополнительного поворота или переноса. 4.22 Представьте матрицу дисторсии в виде Г = ИУ, где Л вЂ” ортогональная матрица, а с< -- симметричная положительно определенная матрица. Для этого можно сначала найти матрицу У вЂ” ее главные оси и главные значения определяются по главным осям и главным значениям тензора деформаций Грина, см. задачу 4.18.
Матрица Л находится затем как Л = Л<' с1астица ( переносится в точку с координатами х1 — — ~1+а(з, хз — — ~з, хз = ~з. Преобразование ее малой окрестности состоит из растяжений вдоль трех взаимно ортогональных направлений с последующим поворотом. Матрицы трехосного растяжения н поворота в системе координат (х;) имеют соответственно вид 30 Глава 1. Основные понятна Поворот происходит вокруг осн хз на угол — агс13а/2.
1'астяжение вдоль оси хз происходит с коэффициентом 1., т. е. длина направленного вдоль нее материального элемента не изменяется. Два другие главные направления матрицы 11 суть а+ ъУ4+ а' и — ь/4+ аг еп+ 2 ег, е, + ег, 2 вдоль этих направлений происходит растяжение соответственно с коэффициентами аг 1 4иг+ид 1+ 4.23 а) 4' = . ~'=хг с =хз. 1+ а(1) б) Координатными линиями сопутствующей системы координат ЯвлаютсЯ пРЯмые, паРаллельные осЯм хм хг и хз1 ее базис: е, = [1+ и(1)]ем ег = е„ез = ез1 компоненты метрического тензора в ней равны ды = [1+а(1)]', дгг=дзз=1, дб =0 при 1ф 1'. в) Ненулевая компонента тензора деформаций Грина, см. задачу 4.2, равна еы = 2[(1+ п) — 1], остальные компоненты равны нулю. С ними, как всегда, совпадают ковариантные компоненты тензора деформаций Альманси в сопутствующей системе координат е а = е д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
