Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Линии тока в момент 1 = 1е такие же, как при установившемся движении с А = А(~е) = сопв1 и В = В(1е) = сопв1. а) Нельзя: для каждой частицы известна кривая, по которой она движется, однако это движение может происходить с разной по величине скоростью. б) Нельзя: в каждой точке известна прямая, вдоль которой направлена скорость, но величина скорости может быть разной.
1.10 Укаэание1 а) На вращение с угловой скоростью ю вокруг оси хз наложено поступательное движение со скоростью и вдоль этой оси. б) Траектории определяются по закону движения среды х1 = — соБЫ+ с1~ жг =' 81п ~Л+ сг~ хз = сз У К . М ю путем исключения времени 1. Ответ: а) Линии тока и совпадающие с ними траектории суть вянтовые линии на цилиндрах яг1 + х~ ~= сг, с = сопв$, с шагом 2яп/ю.
б) Линии тока и совпадающие с ними траектории — эллипсы хг яг + =с ~ хз=сз~ с=сопвФ. 1 . г г А В Глава 1. Основные понятия 10 в) Траектории — окружности (х~ — 6) + (хг — сг) = ( — ) линии тока в момент 8е — прямые хз = сз; х1 — с1 = — (хз — сз) 16(Ле, хз = сз, сы сз~ сз = соп81. 1.11 а) Могут; б) могут. 1.12 Может. 1.13 Поле ускорения а имеет компоненты 2хз 61хз а) ая = О аз = з з аз = з 1 + т 1 + т б) ад = А(1)хи+ А(1)В(1)хз, аз — — В(1)хе + А(1)В(1)хз, аз — — О. йТ ( 6 — а~ 11 з Ь 1 14 =То 2м — — е и. ас ~ а6 т~ 1.16 О. х = Л(6+И,6,6з), аргументы функций Д через х: 1=1,2,3, 6 + И = дз(х), сг = дз(х), 1з = дз(х). Тогда в эйлеровом описании компоненты скорости равны и;(х, 1) = дед~(х), дз(х), дз(х))У и, очевидно, не зависят от времени. б) Поскольку движение установившееся, линии тока совпадают с траекториями.
Траектория индивидуальной частицы с коор- динатами ((о~,(ог,1оз) — зто геометрическое место точек, для 1.16 а) Надо проверить, что компоненты скорости н;(х,8) в зйлеровом описании не зависят от времени, х = (хы хз, хз). Компоненты скорости равны дхфы ~з, (з, 1) д1 где д~Л вЂ” производная функции Д по первому аргументу. Чтобы перейти к эйлерову описанию, выразим из соотношений 2. Тензоры. Декартовы координаты которых найдется момент времени 1 такой, что выполняется равенство х1 = Л (С01 + ы 1~ С02 ~ Соз) ~ т.
е. кривые хг = ~;(т, сог соз), где т — параметр. 1.17 — ( — ) — — ~4ит~б) = О. д1 1,р) дс 1 ) 2, Тензоры в евклидовом пространстве. Декартовы координаты а) 111 + 122 + 133 б) Первые два выражения равны и представляют при 1 = 1, 2, 3 соответственно суммы Рыиг+Р12иг+Ргзиз Рни1+Рггиг+Ргзиз Рз1и1+Рзгиг+Рззиз. Третье и четвертое выражения равны и при 1' = 1, 2, 3 представляют соответственно суммы, вообще говоря, не равные предыдущим, Р11и1 + Р21 иг+ Рм из Рггиг+Рггиг+Рзгиз Ргзи1+Ргзиг+Рззиз.
в) Первые шесть выражений равны, седьмое выражение пред- ставляет сумму, отличную от них. 2.2 а) 3, 3, 3; б) и, п, и. ИА дА дА(х, 1) й дг ' дх1 2.4 а) Указание: Наборы тб и т~1 для ортонормированных базисов и; и е,' связаны тензорным законом преобразования. б) Ответ: т1.и;и = 11 и;и;; свертки т; иго и Ц и;ог, вообще говоря, не равны. 2.6 Свертка не зависит от того, какими буквами обозначаются индексы, по которым производится суммирование. Поэтому в; а; = в,;а 1.
Остается заметить, что в,; = в; и а; = — а;, и, таким образом, в; а; = — си аб = О. 12 Глава 1. Основные понятия 2.8 Произведения В,.ыс „и их суммы В; ысы преобразуются по тензорному закону. Чтобы показать это, выразите В, ы и сы через их компоненты в другом ортогональном базисе, например, еы = АьрА~гс'„~ и используйте формулу Аь„Аьр — — д,ю верную для матрицы ортогонального преобразования ОА, О. 1;+с; 1; — г; 2.9 Ц = ' ' + ~ ~; представление единственно.
2.10 Указание: Заметьте, что з; (и; + и;)(и. + и ) = и, и;и + з;,и;и. + з, и;и + зби;и . 2.11 См. задачу 2.9. 2.12 а) О; б) О. 2.13 Если е; — ортонормированный базис, то и базис / 1 / е, = еы ег = ез, ез -- ег ортонормирован и г'1г — — О. Выразить 1'гг через г; и заключить, что багз = О ° Аналогично показать, что г;, = О при г' у'= г, и, следовательно, матрица ((с;Д диагональна. С учетом этого подобрать еще один ортонормированный базис е,', для которого условие 1*гг = О приводило бы к равенству 1ы — — 1гг. Показать, что 1ы = сзз. Ответ: Во всяком ортонормированном базисе матрица ф;.!) компонент тензора Ф пропорциональна единичной, Ц = сй;,, число с не зависит от базиса. 2.14 а) Главные компоненты суть Л1=-2, Лг=1, Лз=З Соответствующие главные оси направлены вдоль векторов тГ2 е, + ег, -~Л е, + ег, ез. б) Главные компоненты суть Л1=-2, Лг=Лз=2.
Соответствующие главные оси тензора направлены вдоль вектора тГЗег + ег и вдоль произвольной пары ортогональных векторов, лежащих в плоскости векторов — ~/3 ег + ег и ез. Обратите внимание, что тройка главных осей не является единственной, если среди главных компонент имеются равные. 3. Тензоры. Криволинейные координаты 13 2.15 а) Указание: Функции 11, 12 и 13 получены в результате свертки тензоров, поэтому они являются скалярами. Их независимость от выбора базиса может быть доказана так же, как в задаче 2.8. б) Указание: Функции 11, 12 и 13 выражаются через 11, .12 и 13 следующими формулами: 11 '11 ~ 12 ('~1 "2) ~ 2 2 1з = — (А — ЗА 12+ 21з) з 6 2.16 Да, являются.
Они инвариантны, поскольку могут быть определены как корни уравнения третьей степени с инвариант- ными коэффициентами. 2.17 Если Л1, Л2 и Лз суть главные значения тензора, то 11 = Л1+ Л2+ Лз> 12 = Л1Л2+ Л1Л3+ Л2Л3~ 13 = Л1Л2Л3~ 11 = Л1+ Л2+ Лз~ 12 = '1+ Л2+ Лз~ 13 = '1+ Л2+ Лз. 3. Криволинейные координаты 3.1 а) Взаимный базис можно искать в виде е~ = Хь1е . Коэффициенты Х"1 определяются из условий е" е; = б,". б) е'.
е' = у™еь у1'е1 = деьд11еь е1 = у'"у"ум= д11. г) Проверить, что е; е1 = б;1. 3.2 а) Базис, взаимный ортонормированному, совпадает с ним. б) Да. в) е' = Зе1 — е2 2 1 Зн — Ь— 2 — ез 2 3ез — ез — е1 2 е' = с 2 ЗЬ вЂ” с — а з о 2 о 3 3ЕЗ вЂ” Е1 — Е2 и = 2 ! Зс — а — Ь 2 Глава 1. Основные понятия 3.4 Закон преобразования величин д;.
находится с использованием выражения базиса еь~ через базис еы Чтобы найти закон преобразования величин д", достаточно проверить, что матрица с компонентами тп д Дя~ Дай т та т1 ° т в.п=д ля=У 3.6 а) Вообще говоря, нет. б) Да. 3.7 а) Векторы базиса цилиндрической системы координат: е1 = сов уе'1+ 31п уе'2, ег = — сяв ке'1 + г сов уе'г, ез = е'3, Позтому в точке М1.. 2 Е1 =Е1, 2 I е2=5ег, ев=е31 /з, в точке Мг. е1 = — е1+ — ег, ег = — 5е1+ 5чЗе г, ез = ез. 2 2 б) Компоненты метрического тензора в цилиндрической системе координат таковы: 2 .У11=1) У22=г ) У33=1) У12=У13=У23=0~ 1 2 . 1 3.8 е'1 = сов у е1 — — яп у ег, е'г = яп у е1+ — сов у ег. г г обратна матрице 11д'11)(. 3.5 а) Например, пусть в; = в,„тогда 11 22 1 33 12 13 23 =1 у = д =1 д =у =д .2 Это соотношение справедливо в любой системе в) е =е1, е =ег/г, ез=ез. г 3.9 Ненулевые компоненты тензора: р11 — — асов у+6яп у, 2 р'12 — — р'21 — — (а — 6) сову яп у, р 22 = аяп у+ 6 сов у.
г 2 =О, д'., =б'. 1' координат. л, Тензоры. Криволинейные координаты 15 3.10 Базис сферической системы координат: ег — — я п В сов Л е'г + я п В в1п Л е'г + сов В е'з, ег = т сов В сов Л е г + т сов В Яп Л егг — т Яп В егз, ез = — тяп дяп Лег+ тяпдсовЛе г, гг У 3.11 Воспользуйтесь ковариантным законом преобразования. Такой метод годится для любого векторного поля. В частных условиях этой задачи есть и более простое решение.
Заметьте, что н = т/[т~, где и есть вектор с компонентами [х', х™, х'з) в базисе е'ы е'г, е'з. Ответ: ог=1, ог =из=О. тгтг 3.12 Вв~ = [тг+и яп~~о) +Йр~ +Вг~. ~тг+ ог г ( 3.13 Вв~ = [т +огсовгВ) + ИВ~ + [тг+и )вш ~Му~. ~тг + ог 3.14 а) ег/[ег[; б) косинус угла равен ег ег/[е~)[ег[; в) е'/[е'). 3.15 Искомый базис: йЛ Ин ВЬ Л ИЬ Ы ег = 1+ — ) [х — е + — е„], ег = - — е„+ — ею Л,] [,В.
* В. ",] ',Ь ",Ь " где В = Й[в) есть радиус кривизны заданной кривой; х-г 3.18 а) [х~] = А, [хг] = [хз] = 1; б) [ег] = 1, [ег] = [ез] = Ь, [е'] =1, [ег] = [ез] =1 в) [уы] = 1, [угг] = [узз] = А~, [у"] = 1, [дгг! = [узз] = Х г) [о~] = ЕТ ~, [ог] = [нз] = Т ~, [ог] = 1, [ог] = [оз] = Ьгт '. Компоненты Угг = 1~ 11 д =1, тензора 3 в сферической системе координат: г г гВ угг = т , узз = т яп , угг = угз = угз = О~ зз гг гз гз у = . у =у =у =О~ тгяп гВ Глава 1. Основные понятия Здесь через Ь и Т обозначены размерности длины и времени соответственно; размерность любой величины обозначена квадратными скобками [], например, [и] есть размерность скорости и, [и] = й/Т; [1] = 1 означает, что 1 безразмерна. 3.17 б) и и = иф,иф, + иф иф + ифзифз.
в) Например, 1Ф, = 1гг[ег[]ег[ = 1гг[е'[]е~[ = 1',г[е1[[е~[ = 11г[е'][ег[. 3.18 а) Искомое выражение физического базиса имеет вид е„= е1 = сов ре'1 + яп ~ре'г, ег 1 е„= — = — яп уе 1+ соз уе г, / е,=ез=ез. г б) ифг — — О, ифг — — ил, ифз — — О, аф, = — огг, афг — — ~'г, пфз —— О. 3.19 Если бы физический базис е„, е, е, был локальным базисом системы координат (у"), то базис е; цилиндрической системы координат был бы связан с ним соотношениями ду1 дуг дуз е1 = — е„+ „е„,+ „е„ дг дг дг дг дг дз ег = — е„+ е„+ — е„ д~р" ду 'е ду" дуг дуг дуз ез = — е„+ — ем+ е,.
дг " дг д» В силу связей между базисами е; и е„, е„, е„ см. задачу 3.18, первые два из этих соотношений несовместны. 3.20 а) Проверьте, что о, = Ъ(е;, е ) и воспользуйтесь этим. б) []дб[]. 3.21 а) Проверьте, что а', = е'. ае и воспользуйтесь этим. б) Элементы матрицы ][а'., [[ оператора равны а'.1 = Б' — и'и,. 3. Тензоры. Криволинейные координаты 17 3.22 Тензор $ может быть лишь шароным, см. задачу 2.11. Однако равенство 112 = О, в отличие от ситуации задачи,2.11, теперь должно сохраняться не только при ортогональных преобразованиях. В частности, рассмотрим систему координат Из формул преобразования компонент тензора и условия 2'12 = О найдем 211 = 222 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
