Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(~+ ~')). Равенство нулю работы сил, действующих на муравья, дает ра; венство его начальной, при у = 1, и конечной, при у = О, кинетических энергий, что выполняется при оп — — оо/2. Полное время движения и конечное относительное удлинение резинки равны соответственно 1(е' — 1) оо1о 1о = н — = е — 1 6.39. оо 5.17 Пусть оо и пп — соответственно величины максимальной скорости потока и скорости пловца в системе отсчета наблюдателя; (х, у) — — декартова система координат с началом в точке старта и осями, направленными вдоль н поперек потока. Тогда законы движения пловца и точек указанной материальной линии соответственно равны х„ = О, у„ = оп1 и хл = оо1уо(1 — уо), уа = уо, где уо Е 10; 1) — лагранжева, координата и 1 — ширина потока. Отклонение Ьх = у~(1 — у)оо/оп максимально при у = 21/3.
б. Относительное движение 5.18 а) Винтовь1е линии. б) — — г) Семейства прямых с различными углами наклона к оси 1. 5.19 Пусть х'(~ь,1) — закон движения среды, д д еха д где о = 1, 2, 3, 4: и — вектор четырехмерной тельный к мировым линиям частиц среды. тогда д =и дх'" скорости, каса- 5.20 В координатах (у') выполнено В произвольных координатах последнее условие выглядит как условие нормировки вектора и: д1 и =1.
дх 5.21 В инерциальной системе отсчета (х') с постоянным базисом е, о = 1, 2, 3, 4 и х4 = 1, имеет место ди д, ди' и = е4+ о' е;, а = и — = — (е4+ и е;) = — е„1 = 1, 2, 3. дх й Й В любой другой системе четырехмерных координат (у (х',Е)) д1 равенство а" = О имеет вид а — = О. () д Я ~ ду дх откуда и, = 1, о = 1, 2, 3, 4, х дх дх" и я'= опм или и, = е4+г,е,', а ~ а где е,' — компоненты переносной скорости в инерциальном базисе е,'.
Четырехмерное ускорение имеет вид вс — (е4 + ис е1 ) — цс е; д1 у' =сопи 5.22 с1етырехмерная скорость данной системы отсчета определяется условиями Глава ! . Основные понятия где а', — компоненты переносного ускорения. Прп заданном поле скоростей и~(х ) координаты и'!х ) определяются системой уравнений в частных производных и !х~ ) = О.
ду Г д о Если у'(х ) — решение, то у" = У'(у" (х )) также будет решением при произвольных гладких функциях 7" (у"'). Однако больший произвол не допустим. Любая зависимость у" = ~'(у, !) уже не д7"' является решением при — ~ О. д! 5.23 хв = Л'х!+г"!+!', Р = !+но где а, 1, У, К вЂ” постоянные параметры, причем К вЂ” ортогональная матрица. 5.24 Проверить равенства =О дх" дх дхд в декартовой инерциальной системе координат, в которой х4 = 1, а координаты х' = х' (х") получены с помощью преобразования Галилея. 5.25 В силу равенства 17„ип = е'и + м'о + а," !7 ! и определения четырехмерного ускорения а, выполнено и (с'~+и'П) = О, и поднятие индекса о с помощью тензора 7 не приводит к потере информации; всегда вместо 7 можно взять невырожденный тензор вида 7+ сии.
е и = -Я ив+ Я7пи ) м Д = — (~7"ип — 'Чпи ). 1 1 2 2 5.20 Использовать результаты задач 5.19 и 5.21. 5.27 Проверить эти тензорные равенства в декартовой системе координат некоторой инерциальной системы отсчета. 5.28 Расписать четырехмерные коэффициенты связности Г~ и использовать результаты задач 5.20 и 5.22. 5.29 а) Й„и, = — Ь„,и = О; дп', дп' ди,', дп,' б) — + и~~ — = — + из —, где и' и и,' —.
трехмерные комд! дх' д! дх' ' поненты векторов и и и,, х~ = !. 47 5. Относительное движенее 5.30 Верхняя и нижняя производные Олдройда тензора Т: ИТ" . /дТсз — е; е = ~ — — Ть' ~7ь и' — Тгь ~7ь п~~ е, е, — е'е' = ~ — + Ть ~7; и +Тсь ~ п ~е'е'. 1Т..., ~ 1Т,, 11 ~а Неь Использовать соотношение = 7~ 6'е„см. задачу 5.7. Й 5.31 Искомые производные равны — ее =2е;;ее~, — ее е =~не, пду' -~-~, ~' пгоь -~-~'-ь Й " ' Й ~ -о ~-оа — е е = — 2е' е е — е е еь = — ~ о е д „; С а '' '' а где е, — компоненты тензора скоростей деформаций. 5.32 Искомые производные равны — д~(~~)е'е' = О, — (д„дг'д'*) е;е; = — 2(д~ь~е"'+д~',ье~')е,е,, где е*."е;е, — тензор скоростей деформаций.
5.33 — е;е = ) — — Т ~мь', — Т' мь', )е;е, где и, е'е' — тензор вихря, ы„= с; ьь~". Использовать соотношения ь ь ~1па - у я е;=-а, еь и 3 Й =й;~а . 5.34 11роверить равенства покомпонентно. 5.35 а) Преобразования компонент скорости и ускорения имеют соответственно вид Нл' о Й 1 -1- п~~7ь~р' и'(а~7".~р+ о~о'~7,Я~у) г и и и' 48 Глава 1. Основные понятия где о' = Их'/й и ц' = Ип'/й. Отметим особенности зтих формул. Равенство 1+ о" ~7ьд = О отвечает невозможности определения н" и и" при специальном движении среды, когда Й'/Й = О. Отличие а" от а' ведет к появлению своего рода сил инерции. б) Величина $' отвечает скорости движения синхронизатора времени 1', устанавливающего часы с одинаковым масштабом времени на одну и ту же начальную отметку. Для солнечных часов $' -- местная линейная скорость вращения Земли, ось х' направлена вдоль параллели.
5.36 а) Использовать переменные 1 ~ х/с. Ит с б) й И' г в) Исследовать график о = с з как функции о. с — п$' 6. Элементы симметрии и тензорные функции 6.1 Л1 г = е+'", Лз = 1. 6.2 В', = и'и + (Б' — и'и.) сову — а',,ип" я1п у, где с', и — компоненты тензора Леви — Чивита. 6.3 Для матрицы третьего порядка существует хотя бы одно вещественное собственное число Л. Пусть и — соответствующий ему единичный собственный вектор. Тогда, свернув дважды условие ортогональности матрицы Льй~~д; = дн с вектором и, получим Лз = 1.
Значение Л = — 1 отвечает отражению в плоскости, перпендикулярной вектору и. 6.4 Компоненты всякой ортогональной матрицы представляют собой набор компонент трех ортонормированных векторов, выбор ориентации которых исчерпывается представлением Н',. = ~п пй + (и; — и пу) сояф — г'.„ьп е1пф. б. Симметрия и тенэорные функции 49 6.5 Два мнимых, отличающихся знаком, и адно нулевое. 6.6 Искомые тензорньте функции определяются равенствами 0О о ~ 1)~+1 со е =) —,Я", 1п(6+ Я) = 2 Я, (6 — Я) =~ ~Я", а=о в=1 и=О где я — метрический тензор.
6.7 Свернуть степенной ряд ЦЯ) с собственным вектором тензора Я. Собственные векторы Я и Р(Я) совпадают. Собственные числа связаны тем же степенным рядом. 6.8 Равенство не зависит от выбора базиса и, очевидно, выполняется, если матрипа, Я приведена к треугольному виду (возможно, с помощью комплексных преобразований). 6.9 Использовать приведение Я к диагональному виду. 6.10 Использовать приведение Я к диагональному виду. 6.11 Использовать приведение Я к диагональному виду.
6.12 При Л1 = Лг —— Лз. Г(я, Я) = я Г(Л1). Я вЂ” Л,Я Я вЂ” Л,Я При Л2 —— Лз ф Л11 Г(6, Я) = Г(Л1) + — Е'"(Лг). 1 2 2 1 6.13 Ортогональные матрицы с определителем. равным 1. 6.14 а) Повороты вокруг оси яз, см. задачу 6.1, отражение в плоскости (х2, яз) и их всевозможные произведения. б) Преобразования задачи 6.1 с добавлением их произведений на отражение в плоскости (т~, яя). в) Объединение произведений преобразований а) и б). г) Преобразования задачи 6.1. д) Преобразования задачи 6.1 с добавлением их произведений на поворот на угол х вокруг оси т..
6.15 В главных осях тензора Я группу симметрии составляют всевозможные степени и произведения отражений в координатных плоскостях. В случаях двух совпадающих собственных значений тензора Я вЂ” группа симметрии задачи 6.14 в), трех— полная ортогональная группа. бо рлава 1. Оснонньп понятия 6.16 а) Условия инвариантности тензора Т = Т"е;е, второго ранга имеют вид бфТ"' = То, где бь — компоненты произвольной ортогональной матрицы. Достаточно рассмотреть инвариантность относительно некоторых частных преобразований. Инвариантность относительно отражений в координатных плоскостях дает равенство нулю всех недиагональных элементов матрицы ~ОТО(!. Далее, инвариантность относительно поворотов на угол я/2 вокруг координатных осей приводит к искомому выражению Т = к8, где к — произвольный скаляр, которое уже инвариантно относительно полной ортогональной группы.
б) Возможны три комбинации: дбд~~, дым', дпд"~. Линейная независимость соответствующих тепзоров четвертого ранга доказывается „от противного": пусть существует линейная зависимость вида, одбд~~+ цд'яд~~+ удпдьу = О при о~+ ц~+ у~ > О. Тогда, путем сверток с дм, дпо дн, получим систему уравнений Зо+Д+у=О, о+За+ у=О, а + уу + 3'у = О. Откуда следует, что а = Д = у = О, т. е. предположение о линейной зависимости не выполняется. 6.17 Применяя метод задачи 6.16, получим, что инвариантный симметРичный тензоР втоРого Ранга имеет виД Й~8+йзезез, инвариантный ненулевой антисимметричный тензор существует в случаях б) и г) и равен йзе ез. Здесь км 1зз и кз — произвольные скаляры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
