Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Контраварнантные н смешанные компоненты тензора Альманси в сопутствующей системе координат равны (1+ )2] ' 2(1+„)г [ (1+ )2 остальные компоненты равны нулю, 4.24 Лагранжевы координаты (0) связаны с лагранжевыми координатами (~) соотношениями и = х(~,1,), т. е. 9 [1 + а(с ~)]1м Ч сг~ 9 сз' Закон движения с использованием лагранжевых координат (0) переписывается в виде 1+а(с) и г з хп ! + а(1,) п1 ~ 22=9; хз=й чк /(еформация, скорость лефорлчации.
вихрь Сопутствуюлцая система координат (О) в момент 1 = 0 точке с пространственными координаталчи и = (хч, хг, хз) ставит в соответствие тройку чисел (П'; ч1~: ч1 ) 1 1+ п(1.) г 3 Ч 1+ а(0) х1, Ч = Уг., ч1' = хз. Таким образом, координатными линиялчи сопутствущей систелчы координат (ч1) в момент С = 0 являются прямые, параллельные осям хл, хг н хз. ее базис: 1 + а(0) ел = ел, ег=ег, ез=ез; 1+ а(л„) компоненты метрического тензора, в ней д д = е ед равны / 1 + а(0) л Чп= (л (,1+ а(1.) / /; Угг = Узз = 1 рад = 0 при о т= 13. 4.25 Координатная линии ~л сопутствующей системы координат является прямой линией хг = О, хз = 0; координатная линия ~~ — прямая хл = а(1) хг, тз = 0 (она изменяется со временем), координатная линия с~ — прямая хл — — О, хг — — О.
Векторы базиса сопутствующей системы координат определяются равенствами е, = ем ег — — а(1) ел+ ег, еч = ез,' компоненты метрического тензора в ней равны йы =Фаз=1, болг=а(1), угг =1+а (1) Йз=йз=0. г 4.26 а) Поперечное сечение стержня ~з = сопа$ остается в своей плоскости.
Окружность (сл) +(~г) = Й~, где Й вЂ” начальный радиус цилиндра, переходит в концентрическую ей окружность р ~.~. ч = вф+7 ьг. г.~. - ° -р - --,...- ется на угоч 13 = агс1д(о~з); продольный отрезок переходит в отрезок прямой, лежащей на поверхности гиперболоида, в которую переходит поверхность стержня. Например, отрезок, для которого ~г — — О, переходит в отрезок прямой хл = Л, хг — — о1лхз. б) Поле перемещения: ял(х,1) = (х,н1п 13 — хгн1п13соаЯеч+(хла1пДсоа|3+хглйп Э)ег, где,9 = агс1я(отз). 1'лава 1. О< новные понятия в) При (о! « 1 компоненты тензора малых деформаций равны 13 31 <и 1<1 13 о епз =ез! = ха< егз =езз = 2 ' ' 2 остальные компоненты равны нулю.
Из материальных элементов с началом в точке х наибольшее относительное удлинение величины з <Я+ х~~ испытая элемент, направленный параллельно вектору с компонентами ( — я1п <р; сов зо; 1). г) В цилиндрических координатах (г; <р; х), см. задачу 3.7< закон движения имеет вид =",<«-((<)*Г, « =.-<-<<(.(<)м), *=*., где (го, <Хо< хо) координаты часгипы в начальном положении. 4.27 а) Тензор деформаций Грина находится по формуле 1/дх дх1 е=е пе е < е' <з= — ~ ~д,,— доз где в рассматриваемом случае используется цилиндрическая система координат х = г, х = <д, х' = х и лагранжевы координаты ~п = го, ~з = <до< Оз = го. Компоненты метРического тензоРа в этой системе координат таковы: д22 — г 2 дзз = 1, д„.
= 0 при 1 ~ пй ды = 1< Величины дх'/д~ находятся по заданному закону движения. Следует учесть, что в общей формуле компоненты д;, вычисляются в точке х(С,1)< и д д и е — в точке ~. Ответ: В частице (го; <до< хо) в момент 1 тензор деформаций Грина задается формулой Е(го, Зов< хо, 1) = — ~( 1 + (го, 1)) — 1) е (го) е (го) + 2 (и< дго + 2 (го+ 1(го~ ~)) го е (го) е (го) где е'. е~ - — векторы базиса, взаимного базису еы ез, ез цилиндрической системы координат.
б) Ковариантные компоненты тензора деформаций Альманси в сопутствующей системе координат совпадают с компонентами 4. Деформация, скорость деформации, вихрь ЗЗ тензора Грина в базисе е (го), ез(го), ез(то), найденными при ре- шении задачи а). Остается найти базис сопутствующей системы координат е = (дт.'/д~ )е; дС' ес(го:~Ро,зо,С) = 1+ — (то С) ес(го+,С(го;С)), дго ег(го; уо, яо; С) = ег(го+ С'(го С)), ез(го, уо, яо С) = ез(то + 1(го; С)) и, даяее, вза,имный к нему базис дС' 1 е'(го ро, го, С) = 1+ — (го, С)~ е'(го+ Ято, С)) дто е'(го, уо, яо, С) = е'(го + ~(го; С) ): ез(то, сро, го, С) = ез(го+ У(го, С)). Ответ: В частице (го, уо, яо) в момент С тензор деформаций Лльманси имеет вид Е(го, уо, яо., С) = г 1+ —,(го, С) е~(то+ У(го, С))е (го+ Х(го, С))+ 1+ (го, С) дго + — ((го + Яго, С))' — го1 е'(го + Х(го, С)) е'(то+ Х(то, С)), гДе е', ез — вектоРы базиса, взаимного базисУ еы ез, ез Цилин- дрической системы координат.
в) Относительные удлинения в рассматриваемом случае легко найти из наглядных соображений. Например, материальные частицы, заполнявшие до деформации окружность радиуса го, в момент С располагаются по окружности радиуса го+1(го, С); поэтому относительное удлинение материального элемента, касающегося координатной линии у, равно С(го, С))то. С другой стороны, интересно вычислить относительное удлинение и по общей схеме. Однако непосредственно использовать формулу е = — '((1+ С ) — 1~ 2 зак. 2369 34 1'лава 1.
Основные понятна нельзя, поскольку она справедлива лишь для компонент тензора деформаций Грина в декартовых системах координат. Чтобы применить ее, нужно сначала найти физические компоненты тензора Грина, т. е. его компоненты в артонормированном базисе е' е2 ез е= —, е,= — е а (е'1' (е'1 (е'1 и для них использовать эту формулу.
Величины (е;( известны, поскольку (е'(з = 1/дн. Ответ: Относительные удлинения материальных элементов с началом в точке (го, '~рв, го), направленных до деформации по координатным линиям го, уо и го, равны соответственно д)' Пггв () †(го.,().
О. дго ' го 4.28 Тензор деформаций Альманси и соответствующий линеаризованный тензор деформаций вычисляются через производные (заданного в эйлеровом описании) поля перемещения е(х) = — — (е1е~+ езез), е(((х) = О. 1 ! 2 Ковариантные компоненты тензора деформаций Грина в базисе е; совпадают с, ковариантными компонентами тензора Альманси в сопутствующей системе координат и, следовательно, отличны от нуля и также являются величинами порядка единицы. 4.29 Компоненты линеаризованного тензора деформаций е( '(ц вычисляются через производные поля перемещения м(~, () = (й (() ~., — ~ )е .
Они равны е й — — —,(й д+ йд ) — б„п и, вообще говоря, являются величинами порядка единицы. В то же время тензоры деформаций Грина и Альманси в точности равны нулю при любой ортогональной матрице 1(й;,)!. Это можно проверить непосредственным вычислением. в чем однако нет надобности: рассматриваемое преобразование, определяемое ортогональной матрицей, не изменяет расстояния между частицами, и поэтому е = е = О. 4. Деформация, < корость доформацип, вихрь 35 4.30 Поле скорости и и тензор скоростей деформаций е в пространственной декартовой системе координат (х;) с базисом е, имеют вид а(1) а(1) и = — х,ем е = — егеы а(1) ' а(1) Ь(1) о = а(1) тге„е = (егег+ еге,); 2 а) б) в) о = Ь(1)(хг — 6(1)хз)е~ + ЬЯхзег, 6(1) Г е = — ~е~е, + е,е, + е,ез+ езе, — 6(1)(е,ез+ езе~)~.
2 4.31 Ненулевые компоненты тензора скоростей и его девиато- ра таковы: Оц 2А — В Оц 2Л вЂ” А 1,ц А+ В а) ем=А, егг=В, еп =, егг = езз = 3 ' 3 '' 3 б) еы — — о1, е,', = -о1, егг — — езз — — — -о1; 1,ц 2 1,ц 1,ц 1 3 ' ' 3 в) е~з = е,з — †, 131. рц '- 2 4.32 егг = 2/1. остальные компоненты е;; равны нулю. Изменение объема не происходит, поскольку сИх о = О. 4.34 а) Траектории суть окружности т = сопв1, х = сопв1.
Величина скорости равна офи = Ь(г, оф — — пф — — О. б) е„, = -1с(г, остальные компоненты равны нулю. в) О. 4.33 Тензор скоростей деформаций е = — (егег+ егег) удобно Ь 2 записать в базисе 1 1 / е, = — (е~ + ег), ег = — (-е~ + ег), ез — — ез, з/2 ъ'2 так, что рассматриваемые материальные элементы расположены ! ! Ь вдоль е„ег. Он предстаачяется в виде е = — '(е,е, — е е ), и компонента ег~г равна, нулю. Следовательно, скорость изменения угла между рассматриваемыми элементами также равна нулю.
1'лава !. Основные понятия г) Главные оси тензора скоростей деформаций имеют направления е„~ — еи и е,. Они поворачиваются со временем в индиви- 1 дуальной частице. д) Движение материального элемента 1отрезка, а не трехмерного тела!) состоит из параллельного переноса, вращения вокруг поперечной оси и продольного растяжения 1шесть степеней свободы). Скорость вращения материальных элементов, расположенных в данный момент вдоль главных осей тензора скоростей деформаций, в этот момент равна нулю. 4.35 Поворачиваются те материальные элементы, направление котоРых не паРаллельно плоскости 1зз: хз) и не паРаллельно оси хм 4.36 ы = — 1 а11) ез. Со скоростью ы поворачиваются материальные элементы, имеющие направление е1 ~ ез.
Скорость вращения материальных элементов, направленных вдоль осей х1 и вз, равна, нулю, а направленных вдоль оси хз, равна 2ы. Таким образом, скорости вращения материальных элементов различны и не обязательно равны вектору вихря, см. задачу 4.34 д). 4.37 Й. 4.38 Воспользуемся декартовой системой координат 1х,). Введем обозначение В декартовых координатах мь = м...
где мь — компоненты вектора вихря, ы;, называют компонентами тензора вихря, значения индексов Й, 1 и 1 составляют круговую перестановку (1, 2, 3). Имеет место тождество дм~, де;. де;ь дя; дхь дя, ' где еб — компоненты тензора скоростей деформаций. Это тождество проверяется подстановкой вместо юь., е; и е,ь их выражений через производные от компонент скорости ьо Из этого тождества следует, что если е; не зависят от координат, то м;, а значит и ыю и и, тоже не зависят от координат.
4. Деформация, <корость деформации, вихрь 4.39 Пусть н(хб ~) — скорость в произвольной точке среды с координатами (х;) в момент времени 1, а н(х;+ дхч, 1) — скорости частиц из бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки в тот же момент. По формуле Коши — Гельмгольца н(х;+ Их;.1) = н(хб~) +е; г1хуе;+ьг х й', й'= е;дхь При е; = 0 вектор ьг может зависеть только от ~, см. задачу 4.38. При фиксированном ~ формулу Коши-Гельмгольца можно переписать в виде дн = ьг х й'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
