Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 9
Текст из файла (страница 9)
б) В декартовой системе координат иы — это отношение величины проекции на ось ~" силы, действующей на площадку, которая была перпендикулярна оси ~' до деформации, к площади, которую имела эта площадка до деформации. 58 Глава 2. Общие законы и уравнения иуе', нгаб У 9.12 а) р„= р;,и'е' = р;, = 2, где и = луез, И У = р, и'из, У = сопв$ — уравнение поверхности напряжений.
б) Поверхность напряжений есть поверхность второго порядка. Для любой поверхности второго порядка существуют три взаимно перпендикулярные оси такие, что радиус-вектор и точки параллелен нормали к поверхности и в атой же точке. в) Рп = Р', рб = 0 при г у- 1, где р, главные компоненты тензора. г) Только для сферы и 0 и для всех ее точек. 9.18 а) Главные компоненты суть р1 =- — 8, рз = 4, рз = 16. Направляющие косинусы главных осей суть с ( ъ'2 ъ'2/ )~ъ'3 Л ~!3/ ~ ъ'б ъ'6 ъ'6( б) Компоненты девиатора тензора напряжений р определяются формулой И) р р Зр ьд» где д, — компоненты метрического тензора, равные о; в декартовых координатах. Для заданного тензора напряжений компоненты шарового тензора и девиатора следующие: 0 4 О, 4 — 4 8 9.14 Главные компоненты: р1 = рз — — 1, рз — — — 2.
Векторы 2' 2' ' . б' б' б ' ./З' Л' 3 можно принять за направляющие векторы главных осей. Преобразование к главным осям (у') имеет вид 1 и~ + хз и' — из + 2из и1 — из — хз 2 ' ' 3 ъ'2 ~/6 ъ' 3 9. Тензор напряжений 59 9.15 Из-за симметрии достаточно рассмотреть 0 < 0 < я'. Главные компоненты равны 0'и рцг —— А 1 ~зш — ), Рз = 0; для 0 < 0 < х максимальное из р; есть РП а = (30+ х)/4.
9.16 а) Инварианты тензора напряжений таковы: 1г = Рп + Рг+ Рз 1г = Рзрг+РгРз+Рзрг 1з = Ргргрз' А = Рг + Рг + Рз Аг = Рг + Рг + Рз 1з = Рг + Рг + Рз г г з з з б) Из формул пункта а) видно, что 1г = — (1г — 1г) для любого г 2 тензора, причем всегда 1г > О.
Так как для девнатора 1з = О, 1 то 1г —— — —,1г < 0 2 9.17 Р„„= Реагч г, = (р'и,)' — (р'и.,')'. 9.19 а) Экстремальные касательные напряжения: (р, — Р )/2; п.пощадки, на которых онн действуют, проходят через одну из главных осей тензора напряжений и составляют углы 45' и 135' с другими главными осями. в) Поверхность р„, „„— й = О шестигранная призма. Расстояния равны йз/2 и 46/з/6, соответственно. 9.20 Возьмем декартову систему координат с осями з, у, г, направленными вдоль ребер параллелепипеда, имевших в начальном состоянии длины а, 6, с соответственно.
Тогда а) на торцах ньз — — О, пгз = О, хзз = Р/(а6), Р = ~Р( при растяжении, Р = — ~Р ~ при сжатии. На гранях, перпендикулярных осн з, р„= О, т. е. хы = О, пгг = О, пзг = О. На гранях, перпендикулярных оси у, р„= О, т. е. нгг — — О, пгг = О, пзг — О. б) Все компоненты тензора Пиолы — Кирхгофа равны нулю, за исключением язз = Р/(а6). в) Чтобы найти тензор напряжений Коши, необходимо знать площади граней, на которые действуют силы, в деформированном состоянии.
г) В этой задаче тензор Пиолы-Кирхгофа не зависит от формы поперечного сечения цилиндра. 60 Глава 2. Общие законы и уравнения 9.21 Компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа равны н13 = н31 = и12 — игг = нгз = 1132 = из1 — 1ги = О. ям =о, 9.22 Выберем декартову систему координат так, чтобы ось х1 была направлена по оси бруса. По условию компоненты тензора напряжений таковы: ри = Р/5, остальные рн) = О. Вектор напряжений на площадке с нормалью п(п1, пг, пз) имеет вид р„= р11пге1 — — (Р/5)п1е1. Величины нормальной и касательной составляющих соответственно равны р„„= р п1, р„, = (р ) п1(1 — п1); и г г иг 2 г.
их максимальные значения: Р ри Р ~/2 1рии)п1ах Р ~ п1 ~1~ ~рнх Ниах —, — ~ п1 — ~ Я 2 25 2 0.23 а) Пусть известно, что рб = — рд11. Подставляя это выражение в формулу Коши (9.1), получаем р„= — рп'е; = — рп. Наоборот, если известно, что р„= р„„п для любого и, то, например, в декартовой системе координат имеем РО = 0 при 1 ф 1 и 'по формуле Коши Р (п1е1 + п1е1+ п1е1) = Р п1е1 +Р пгег+Р пзез и 22 зз Отсюда ри = ргг = рзз = р„„= — р.
Последнее равенство есть просто обозначение. 10. Дифференциальные уравнения движения и равновесия 10.2 а) Лагранжева сопутствующая система координат ф') с базисными векторами е, и метрическим тензором с компонентами д, движется и деформируется вместе со средой. Скорость изменения векторов базиса в частице есть де;(~",1) д дг дн .„. (дб" 10. Уравнения движения и равновесия поэтому б) Уравнения движения имеют вид р~ — + 0'о7;0 ) = РЕ + ~.р '.
в) В выражения оу;0" и о7;Рсы входят символы Кристоффеля 1 „ /дд„~ ддя„ддь,'1 2 ~, д~" д~' д~я ( Но д,, = д;, + 2е„, где д;, — компоненты метрического тензора в лагранжевой системе в начальном состоянии; е; — компоненты тензора деформации.
Следовательно, в уравнениях движения в лагранжевой сопутствующей системе содержатся члены с производными сб по координатам ~ . ь 10.3 Закон сохранения количества движения для индивидуального объема может быть записан в виде с1 с1г Ровно'о = Ро™о = ио ного — =/ оо ио но Го где Ъо — объем, который занимала рассматриваемая среда в начальном состоянии, Ео — поверхность этого объема; н = пф, с), о. = Р(с', г), р„Я, 1) — скорость, плотность массовых сил и векторы напряжений в момент 1; ог„о Иио = р„Исс — по определению юао' Ро й'о = Р й' — по законУ сохРанениЯ массы.
Отсюда, используя то, что и„о = ябпо,е;, что объем Ъо произволен и что все функции имеют, по предположению, необходимое число производных, получаем дифференциальное уравнение дп Ро — = Ро Е'+ ~7 Я.меь д1 1 Если начальное состояние не меняется со временем, т. е. выполнено е, = сопяг, то дн дсч . дзой1 — = — е;= еь до до ' до 2 10с4 Е„, = — 131 —, Ео — — — 4у —, Г, = О. Р Р Глава 2. Общие законы и уравнения 105 Р„=д, Є—,О, Р,=О. 10.6 а) Р=О, б) рРг =Ьг — —, РЯ=Р~= О, т' в) рР~ = Ьг+се гйп д — 2 —, рРз = — Ь сфб 10.7 а) Из уравнений (10.1) при и чаются уравнения равновесия жидкости б) Так как го$8гаг)р = О, то го$рР = 0 жив последнее равенство скалярно на Р, д+сип д соа д, рРз = О.
= 0 и рб = — рдб полу- в виде рР— игат) р = О. при равновесии. Умно- получим Р гоФР = О. Вид сверху Риг. ОБКОЛ. Вид сбоку 10.8 Уравнение для прогиба мембраны и можно получить, приравнивая нулю сумму проекций на ось х всех сил, действу- ющих на малый элемент мембраны АВСВ, см. рис. 0.10.1, со сторонами тах и Ьу. Натяжение Т действует вдоль внешней нормали к контуру АВСР в плоскости, касательной к поверх- ности мембраны. Сумма проекций сил, связанных с натяжением Т, действующим на сторонах АВ и ВС, с точностью до малых высшего порядка равна дю Т дю д дгн ~ д дтв — Т вЂ” Ьу + ~ Т вЂ” + — (Т вЂ” ) тлх) Ьу = — (Т вЂ” ) тлх тлу.
дх дх дх дх дх дх Здесь учтено, что Ьх, тау малы. и прогиб мембраны мал по'срав- нению с ее размером, т. е. дгв/дх мала. Учитывая еще сумму проекций сил натяжения на сторонах АВ и ВС, а также распре- деленную нормальную нагрузку д, будем иметь ( — (т — ) + — (т — „) + д) а а ат = и, или, так как Т = сопке, получим Ью = — у(Т. вз 10. Уравнения движения и равновесия 10.9 Проверяется вычислением. 10.10 Из уравнений равновесия в рассматриваемом случае следует, что выражения р11 ву — рпг егх и р21 а1у — ргг ~х суть полные дифференциалы некоторых функций Р и Ф. Из условия р12 = р21 следует, что Еду — Ф 11х также является полным дифференциалом некоторой функции 1У.
Поэтому г' = дП/ду, Ф = дс1/дх, др д2у дФ д2у др' дгП ду ддг Ргг дх дхг ' '12 дх дхду 10.13 б) На боковой поверхности 31 32 пз = О, р„= р" п,ег = 1р' н1+ р пг)ез, п1, пг можно рассматривать как компоненты нормали к конту- ру поперечного сечения стержня. Введем единичный вектор т м 31 и 32че ез касательной к этому контуру, т и = О, и выразим р' и р р функцию напряжений У. Тогда условие р„= О принимает вид дУ дУ дУ вЂ” тг+ т1 —— 1дга11У' т) = — = О, ду дх т. е.
У = сопв1 на контуре поперечного сечения. в) Используя формулу Стокса и учитывая, что У = сопв$ на контуре сечения. получим л Я М,=Д вЂ” с~ддх=О, М = — Л1 дудх,=О, Л д н Я М, = — х — — у — пуух, н где 5 — площадь поперечного сечения. Момент сил, действующих в сечении с нормалью — (;; ), и = (О О 1) имеет только составляющую, направленную вдоль оси стержня, поэтому он является крутящим. 10.12 Уравнения Эйлера имеют вид ра = рР— ~гад р. Глава, 2. Общие законы и уравнения 10.13 Используйте закон сохранения количества движения и то, что в идеальной жидкости р„= — рв. 10.14 Выражение для ускорения преобразуется так: д« „ ; д« а = — + « ~ь«;е' = — + « ~7,«ье' + « ('7ь«, — К;«ь)е' = дг ' дг = — +г7;~ — )е'+2~ьгх «~ е', ьг= — го1«. 10.15 Спроектируйте уравнение Эйлера на линию тока или линию вихря.
Используйте: 1) выражение для ускорения, полученное в задаче 10.14, 2) то, что проекция игам Ф на некоторое направление есть про- изводная Ф по этому направлению, 3) то, что для установившегося движения величины р и р на любой заданной линии Е суть функции только параметра в на Е: р = р(в), р = р(в), поэтому, если др(дв ф О, то р на Е можно считать функцией р, вообще говоря, разной на разных линиях Е. 10,16 Из уравнений Эйлера следует (д~р « нгаΠ— + — + Р— ГГ = О. ~дг 2 'Отсюда вытекает, что д<р « вЂ” + — + Р— и = У'(г), дг 2 10.17 Используйте выражение Г'ь через компоненты метрического тензора и то, что в ортогональной системе координат недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
