Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В этих формулах следует положить 5~= ~г=~, иг=нг= — и, тогда В = (Рг — Рг)ло1о+ нгУ где тп — масса жидкости. заключенной между сечениями Ег и Ег, у — ускорение силы тяжести. 12. Уравнения моментов количества движения Учитывая, что У = — дг, где ось г направлена вертикально вверх, и пользуясь интегралом Бернулли (11.4), получим Рг — Рс = Рд'с г — гг).
При движении вверх Ес — верхнее и Ег — нижнее сечения, В, = руЯ(гс — гг) — руР = рд(Б(гс — гг) — И) = ру Яь — Иг). Таким образом, на тело с пузырем со стороны жидкости действует сила Архимеда, направленная вверх и равная весу вытесненной ими жидкости. Если тело движется вниз, ответ тот же.
11.18 В качестве контрольной поверхности, см. рис. 11Л1, взять поверхности лопаток, осесимметричного кожуха, части тела обтекателя вала и круглых конусов Яс и Яг. Момент сил давления, действующих на лопатки ротора, равен гс ос с абсроп сссг гг сссг абсрьсс сссг~ лс л2 гДе нсс,б„осг,б, — абсолютные тРансвеРсальные скоРости сРеды. Скорость есть сумма осевой, радиальной и трансверсальной составляющих.
12. Уравнения моментов количества движения 12.1 Рассмотреть закон сохранения момента количества движения для малого элемента среды в форме тетраздра, см. задачу 9.2, с основанием, перпендикулярным в, и боковыми сторонами, параллельными координатным плоскостям. Разделить все члены уравнения на площадь основания и перейти к пределу при стремлении к нулю высоты тетраэдра. 12.2 Привести закон сохранения момента количества движения для конечного объема среды к соотношению, содержащему только объемные интегралы.
Предположить непрерывность всех функций, входящих под знак интеграла. Использовать то, что это равенство имеет место для произвольного объема. Глава 2. Общие законы н уравнения 12.3 Распределение скоростей точек абсолютно твердого тела, имеющего неподвижную точку О, описывается формулой Эйлера н=ыхг, где ы — мгновенная угловая скорость тела, г — радиус-вектор рассматриваемой точки относительно точки О. Вычислим момент К количества движения тела относительно точки О Я=~,» р»»= )' ),)р»»=1)~~ )'- ) ))р»». В декартовой системе координат г = я'е;, поэтому К = ияер / (')г~~РЯ вЂ” х"лЯ) р )Л»" = 1гчьэ е„, где введено обозначение У" = 1 () ~'б" — *'и) рВ'. Тензор 1 = 1™еяеч называется тензором центральных момен- тов инерции тела.
При вычислениях система координат может быть неподвижной (эйлеровой) или вращающейся вместе с те- лом (лагранжевой). В последнем случае векторы базиса будем обозначать через ер, а компоненты 1 и ы — через 1Я' и ь)я. Оче- видно, РЯ не зависят от времени ~, так как лагранжевы коор- динаты индивидуальных точек постоянны. Так как вектор ер можно рассматривать как радиус — вектор некоторой индивиду- альной точки тела, то по формуле Эйлера)1Е/ог =а)хе. Поэтому — = — (Р'ь) е ) = 1" ~ ' + Р'ь) йь1'., ~ е, = М, Й-й " ~й где М вЂ” момент всех действующих на тело сил и пар.
12А а) р — = рг'+т)' ~-(рб+р") + — с~))уьЯ ), Й ),2 2" где сб" — компоненты тензора Леви — Чивита. б) Уравнение внутреннего момента количества движения дает ~ (р" — р") (е; х е,) = '7Я" е; = О. »С~ 77 12. Уравнения моментов количества движения 12.5 Согласно условию задачи полный момент количества движения сохраняется и равен нулю. Тогда в проекции на ось симметрии стержня Ем+ т7 гМ = О или у = — тМ/(Еш). Отметим, что обычно коэффициент 7 отрицателен.
12.6 Производная Яуманна от тензора Т есть тензор йТ" РлТ= — ее й где ЙГ" /й есть индивидуальная производная, а е; -- базис, связанный с индивидуальной точкой среды и вращающийся со скоростью иг = 0.5 горн. Если среда движется как твердое тело, то и; есть базис сопутствующей лагранжевой системы координат. Так как компоненты тензора инерции 1 твердого тела в сопутствующей системе постоянны, то Ря1 = О.
12.7 а) Материальный отрезок. 6) Й = и х йп/й. 12.8 В силу равенства 1 = Е(и — пп), получим К=1 й= ЕЙ, где 1 собственное число тензора инерции ротатора 1. 12 9 М = оН+~п(М и), о, ~3 = сонв1, Мх Н = ЩМ п)их Н. 12.10 Компоненты тензора моментных напряжений ь1 равны Я' = й~р' ~ ьй + йгт7 й + йз17 й ~7'йг + ~гй' '7'й' — '7' й' = й~у' 7ьй + (йг + йз) 2 + (йг кз) 2 где йм аг и кз — постоянные.
12.11 Компоненты тензора моментных напряжений 1,1 равны: д' = (й до+ йт 'и')'7ьй" + йгч7й!+ йз11 й'+ + (а4Д ~ + 1Сгеп Н)~ и и '7ЬТ + + ("ан ~"й~ + "вн''7 й~ + "ян Ч~й'+ 1вн'%1й~) и'. При замене туй на ~и в силу равенства н"7;н1 = О исчезнут члены, содержащие й4 /с~о, кв и кв. Глава 2, Общие законы н уравнения 12.12 Тензор (3 выражается через квадратичный потенциал с! = 9!%в!) + (я2~» п + аз~7 п!)~7!п + няп'п»!7п %» й/,.
12.13 —,1р! — рч) = е; ь(ауы+ Ьп"и!)(П! — ш!). о ! о 12.14 а) 1 в х — = )З(в.Н)вхН вЂ” 2(ауы+Ьпьп!ИЧ! — щ!)еь. й~/ б) 0=0. в) рб — рч = 2а(п!Р!и, — й,Рлй,). 12.15 рг" = !3(Н и)Н!Чп!. 12.16 а) Компоненты тензора вязких напряжений равны Iс ! т;. = 6!у; + Ьзе;, + Ьзе»яеу. + 64е!ее,!и п + + Ье(е!ьп" п + е,ьп" п!) + 6ап;п,, где коэффициенты 6, о = 1,..., 6 — произвольные функции от трех собственных значений тензора е и двух совместных скаляров е и в. б) В линейном случае Ьз = 64 — — О, Ьз —— сопа$, Ьа = сопа1, ь и Iс ° и 6! — — с!е.я+сзе пап!, Ьа = сзе,», +еяе пап!, где с!, сз» сз и ся — постоянные.
12.17 В силу условий стационарности и однородности поля ориентации в имеем ав/!1! = 0 и, следовательно, 0 = О. На основании уравнения внутреннего момента количества движения М х Н + Л(а! — в(ьз и)) = О, используя выражение для М, получим уравнение ЯН п)и х Н+ Л1оз — и(а! п)) = О. (0.12.1) а) При Н (! а!, умножая скалярно уравнение (О. 12. 1) на а!, будем иметь Л1Ц~ — (а! и) ) = О.
Откуда в силу соотношения (в) = 1 следует, что п !! а! и и (! Н, и векторное уравнение (О. 12. 1) удовлетворяется полностью. 12. Уравнения моментов количества движения б) При Н 1. аг после умножения скалярно уравнения (0.12.1) на Н получим Л(Н и)(аг и) = О. 1) Если Н и = О, то Л(со — п(ог и)) = О, и, следовательно, п Ц аг. 2) Если ог п = О, то получим Д(Н и) (п х Н) + Лсо = О. Ищем решение в виде и = сН+ с1(Н х со). Тогда Дсс1~Н~~(Н х ог) х Н+ Лсн = О. Раскрывая двойное векторное произведение (Н х со) х Н = )Н)гсл — (ог Н)Н = )Н~'и, получим уравнение Дсс1~Н~4+ Л = О.
Соотношение ~п~~ = 1 имеет в данном случае вид сг)Н)г+ 1г~Н~г~ы~г = 1. Тогда с' Лг)ог)г ~др + ))г~Н~в Решение этого уравнения существует только при относительно большой величине магнитного поля )Н~4 > 4Лг~со)г/1)г. При этом возможны два различных, с точностью до направления, положения вектора и, отвечающие корням 1 ( 4Лг)со)г~ 2~Н~г 11~ 1 с)г~Н~4 / ' Для данного течения ненулевые компоненты тензора е и вектора со соответственно равны е1г — — егс = е, с з = — е. В случаях а) и бс) вектор и перпендикулярен плоскости течения, анизотропия среды не влияет на величину напряжений, при этом рсг = И. 2е1г В случае бг), когда вектор и лежит в плоскости течения, эффективный коэффициент вязкости равен 14+ Л/4.
80 улана 2. Общие законы и уравнения 12.18 Из уравнения внутреннего момента количества движения и уравнения для намагниченности следует система уравнений для й и М М х Н = Л(й — аг), й х Н = — (М вЂ” ХН). 1 При разложении решения в ряд Тейлора по малому безразмерному параметру (м(т принимается, что (й)/)аг! = О(1). Тогда в нулевом приближении по ~и~т -ч 0 выполнено М=ЛН, В первом приближении М=уН+тагх Н, й = аг+ — (и х Н) х Н, Л р1г т — = р+ — ~НД, 2е1г 4 где Нг — составляющая Н, перпендикулярная аг, Глава 3. Термодинамика сплошных сред 14. Первый закон термодинамики.
Уравнения энергии и притока тепла. Совершенный газ 14.1 Рассмотреть закон сохранения энергии для малого объема среды в форме тетраэдра, так же, как это делает~я при выводе формулы Коши для напряжений, см. задачи 9.2 и 12.1. 14.3 Этн выражения имеют вид: а) 0; др б) — р 41 ч и й = — р — = р ~Л ', Р Р в) — — т еой, — — е е,й; 1;. 2Р;.
ИР 2Р „ г) 1 — р+ А оп и) — — — е" е;,й. Р Р 1 Р 14.5 а) Уравнение энергии — ~и1Т) + †( + и — ~ и(Т) + — ~ = Р и — — Чь(ри ) + — . д1~ 2( дхя1 2) Р й Уравнение притока тепла / дТ ь дТ '~ Ид Ни с~ — +о" ) = —, с=с(Т)= —. ~, д~ дхь) й' дТ 14.4 Воспользоваться тем, что в актуальной лагранжевой системе выполнено е„= Ф;;/й, если компоненты метрического тензора д; не зависят от времени 1.
Глава 3. Термодинамика сплошных сред 14.6 Если и = и(р, Т), то уравнение притока тепла записывается в виде ди ди р пи = — пТ + — пр = — ар + Лд. дТ др рз При Ъ' = сопв$, т. е. при др = О, получим ди 14 = — дТ, дТ поэтому йт,...„„дт 14.7 Для упругой среды и = и(е,,Т). Уравнение притока тепла имеет вид ди ди р'~ Ии= — ЙТ+ йе;, = — Же; +Му. дТ де;, " р При де, = О получим Ид ~ ди(Т, е;,) Гт),о,„„м дт 148 Ни = с„ЙТ = р —. + ау.
~р Р При р = сопят в силу уравнения состояния Ир = — — ЙТ и Йд = с„ЙТ = (ск + К)ЙТ. При р = сопев выполнено Ид = с1, дТ. Следовательно, с„= с„+ В. Это соотношение называется формулой Майера. Ир т ее й 14.9 Пи = Р— з+ пЧ+ р' При р = сопв1 выполнено ау = с ЙТ = ск е(Т вЂ” г пел о'г. Следовательно, в вязкой жидкости в процессе с р = сопй теплоемкость можно считать равной ск только при условии, что можно пренебречь вепичиной т "ее по сравнению с с ЙТ(й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
