Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Следовательно, /1 1 ~ Зго е Š— Ее=Зло~ — — — ) — =6 10 см; Ь В1 А = о(Š— Ео) = 43.8Дж., А, А Т вЂ” То = — = 0 01'С, ЬЬ = — = 4.46 м. тс ' тд 15. Второй закон термодинамики. Энтропия. Тождество Гиббса 15.1 Из равенства Ь5 = Я!'!/Т и решения задачи 14.17, получим Ь5~ = МВ!и — ) 0; Ь5ц = 0; Ь5рц = МВ!п — ( 0; Ь51у = О.
Р1 Рз Рз Р4 Ь5 = Ь5~+ Ь5ц+ Ь5~ц+ Ь5р~ = О. Т р л = ск !п — + сопМ = с„!и — + сопят = — к фУ и Т вЂ” + сопв1 = с„!и — + сопвФ, Рт = с„ )и где т = -а = — + 1 — показатель адиабаты. с В с„ с„ 15.3 Нет. 15.2 Выражение для плотности энтропии совершенного газа имеет вид Глава 3. '1'ермодннамнка сплошных сред 15.4 я= (ЗЛ+2Р) ~ +с +яо, ,У,(еб) т — т, Ро То где яо есть величина энтропии при Т = То, е; = О. Л Уэ и,Уэ(е; ) су(ЗЛ + 2Р), 2 Ро Ро Ро с(Т вЂ” То) ~ — яо(Т вЂ” То) + сопя!; То и = Л д,Уу + — Уэ — — а(ЗЛ+ 2р)(я — яо)Уу + 1 2 и То 2Ро л Ро сРо То(я — яо) + + То(л — яо) + сопя1, 2с (ЗЛ+ 2Р)эсугТо где Л д —— Л+ рос 15,5 Выражение для плотности внутренней энергии и совершенного газа имеет вид и = скТ+ сопяФ = А,рэ 'ес + сопяФ = — + сопя! = Аэр э е'в + сопя!; 7 1Р Выражения для свободной энергии У, энтальпии г, термодинамнческого потенциала Гиббса УР таковы: Т у-1 У = су Т(Ву — 1п — ) + сопя! = Вэр~ е'к (ск — я) + сопя! = -) 1 ру — ~Вз — 1п — ) + сопя! = В4р 'У е'в (Вя — я) + сопя!; 7-1Р с,Т+сопМ = Сурч .
е' +сопя1 = у-1 у — + сопя1 = Сэр ч е'в +сопя$; 7 — 1Р Т вЂ” '~-у с с Т1УРу — 7!и — ) + сопяФ = Рэрч е'и (с„— я) + сопяФ Р 7 Р/ р — ( Рз — !п —,„) + сопя$ = Рэр 'у е'в (Ря — я) + сопя1. 7 1Р Р Здесь А;, В;, С; и Р; — константы. 15. Второй закон термодинамики 15.6 Испольэовать уравнение энергии и второй закон термодинамики. 15.7 Для несжимаемой жидкости л = а(т). Это следует из тождества Гиббса и того, что,,н = и(Т). Поэтому л = сопаС при Т = сопМ. В адиабатическом движении Ив = 4л > О.
15.8 При изотермическом сжатии совершенного газа выполнено и = сопвс, тогда из тождества Гиббса следует Т~Ь вЂ” — < О при Нр > О. Рор Р 15.Э Для несжимаемой жидкости и = и(Т), йи(ИТ = с > О. Уравнение притока тепла по второму закону термодинамики для адиабатических процессов дает: — для идеальной жидкости Ыи = сНТ = О, г еь Й вЂ” для вязкой жидкости Ии = сйт = > О. Р 15.10 Энтропия каждой частицы и всего слоя не меняется, так как при стационарном процессе в покоящейся среде состояние каждой частицы не меняется. В силу необратимости происходящего процесса теплопроводности в единице массы в единицу времени производится количество энтропии — = — — о К~т = зс — РТ = зс где Ьт = Тз — Т1.
Производство энтропии максимально у холодной границы, минимально у горячей. Полное производство энтропии в слое на единицу площади пластин в единицу времени равно о Плотность притока энтропии есть Н,л 1 ~~' (Ьт) з г я~О й р т рт'5' Глава 3. 'Гермодинамика сплошных сред 94 т. е. от каждой частицы уходит энтропии больше, чем поступа- ет. Ко всему слою от каждой единицы площади горячей пласти- ны в единицу времени поступает количество энтропии в свою очередь от слоя среды к единице площади холодной пла- стины передается в единицу времени большее количество энтро- пии ЬТ м —. ЬТ, В итоге во внешнюю среду уходит количество энтропии в точности равное произведенной энтропии 45/Ю.
15.11 Энтропия каждой частицы и всего слоя не меняется; б) - 7 10з эрг/град. а) - 17 эрг/град, 15.12 При таянии льда в термосе энтропия увеличивается на величину Я/Т - 150 квл/град, при замерзании энтропия уменьшается на ту же величину. 15.13 Энтропия возрастает на величину Я/Т- 700 кал/град. 15.14 Выражение для плотности энтропии линейной термо- упругой среды, см.
задачу 15.4, имеет вид ЕоУ1(еб) с(Т вЂ” То) 8= "+ + ло, (1 — 2о) р То При гм < Ь энтропия от жидкости передается как холодной, так и горячей стенкам. При Тз = Т, через единицу площади каждой из пластин в единицу времени уходит количество энтропии, равное хан/2Т,. Численные значения для площади 1 см за 1 сек: 16. Второй закон термодинамики 95 где То — температура, при которой в отсутствие напряжений деформации равны нулю. Если длинный стержень растягивается силами, приложенными к его торцам. то можно считать, что напряжения и деформации в нем не зависят от координат, причем р11 = У/Е, остальные компоненты тенэора напряжений равны нулю; здесь У' — величина растягивающей силы, Š— площадь поперечного сечения, ось з1 направлена по оси стержня.
при сы = 0.001 получаем 1 Е 2 10з Изменение энтропии стержня равно У1(е;т) = 5 10 ~. оЕ ЬЯ = тЬл = 1 Е У,(с;,) = 0.24 Дж/град. 1 — 2о б) При адиабатическом растяжении энтропия сохраняется, температура уменьшается ЕсеТо Т вЂ” То = —,, У1(с11) (1 — 2<т) р Изменение температуры вызывает температурные деформации; при адиабатическом простом растяжении, см. задачу 14.13, Р11 Еада11~ а22 — азз — Стада11 ° аАдиабатическиеа моДУль Юнга Еад и коэффициент ПУассона о д свЯзаны с аизотеРмическими" Е и 1т соотношенилми Еад = Е(1 + 211) ~ 1тад — 1т(1 + 112)1 где б Ь1(1+ о) Езо'То Е аа2— + б( + ) ст (1 — 2<т) рс 2(1 — 2<т) В этой задаче б - 2 10 кгс/см2, Е д —— Е 1.0025, Уад 2 005 10 к1 с, (Т вЂ” То) - — 0.2'.
а) При изотермическом растяжении при Т = То = сопв$ согласно закону Гука ры = Е-ы; е22 = сзз = — 1теп; Глава 3. Термодинамика сплошных сред 15.15 Так как в рассматриваемом процессе приток энергии к газу извне отсутствует, то полная энергия газа не меняется. Это значит, что температура газа в конце процесса равна его начальной температуре. Конечная плотность газа в 2 раза меньше начальной, поэтому давление равно 0.5 атм. Изменение энтропии газа равно утр'- ~ у — 1 Ь5 = М ск 1п ( — — ) = МЛ 1п2 = Во!п2 = 1 38 кал То рч град поршень Рис.
0.15.1. 15.16 Решение, удовлетворяющее законам сохранения массы, количества движения и энергии на разрывах 1 и 11 и граничному условию о = оо на поршне, см. рис. 0.15.1, имеет вид Р, Т(Ь+ 1) оо г Ро 4ао ао Рт и (7 — 1) + (7+ 1)Р~ и/Ро ро (7+ 1) + (7 — 1)Р~ и/Ро РГн=~ где ао = —; -~ = —, знак,,+" относится к области 1, а „вЂ” з Тро се в ро с — к области 11, Р~ и — скорости разрывов 1, 11 в направлении движения поршня относительно стенок трубы. В рассматриваемой задаче: р~/ро = 1 496, р~/ро = 1 331, Р~ = 402.1 м/с, рн/ро = 0 652, рп/ро = 0 738, Рц = — 282.1 м/с. 15.
Ограничения на вид определяющих соотношений 97 Изменения энтропии единицы массы газа при переходе через скачки 1 и П равны соответственно: ЬЯ! = с„!и ~ — — ~~) = 0.00045 !Р! Ро 1 кал ~,ро р~ч) г град з5н = -0.00054 ( О. г град Следовательно, данное решение для области П противоречит второму закону термодинамики. Для области П существует другое, непрерывное, решение, см.
задачу 25.30 д). 16. Ограничения на вид определяющих соотношений, вытекающие из законов термодинамики и принципа Онзагера 16.1 Воспользоваться тождеством Гиббса и условием того, что Ив — полный дифференциал я(р, Т). 16.2 На основании первого и второго законов термодинамики для упругой среды выполнено тождество Гиббса ой е!и = — Ис; + Т~Ь. Р Выписывая условие того, что гЬ есть полный дифференциал функции е(е;,Т), получим требуемую формулу. 16.3 Тождество Гиббса можно преобразовать так: Ии=р — +Т~Ь=Т~Й вЂ” +~Ь =ТЦК!пр+я)=ТНр, !Р ~ 1Р Р Р где у = я+ В !пр. Отсюда и = сопя!, если ~Р = сопв1, т. е.
и = и(!о), Т = $ = Т(~Р), поэтому Р = ~о(Т), т. е. и = и(Т). Этот вывод верен, если заранее предполагается, что я и и могут зависеть от Т и р, но не зависят от производных Т и р по времени. При р = сопя!, Ыи = йд и е1и = (г1и!г1Т) ИТ, йд = с„йТ, поэтому Ыи — =.,~т), =/.лг~ ~т. йТ 4 Заю 2369 16. Ограничения на внд определяющих соотношений 99 получается следующая формула, связывающая компоненты тензора скоростей деформаций и производные по времени от компонент тензора деформаций в эйлеровой системе координат И~;. — о = е„р(б; од — н он — е; 3~~) + ш„р(еЯ~ + с; од).
Подставляя эти выражения в равенство ди ди р Р— сЬ+ — дуб = — е рй+ Т~Ь Р и пользуясь тем, что величины е р и Ив независимы, а также тем, что (ди/дс; ) Фе;, не должно содержать членов с ш р, так как внутренняя энергия не меняется при повороте среды как твердого тела, получим требуемые формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
