Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 16
Текст из файла (страница 16)
задачу 10.19, непрерывность т „ н граничные условия (0.18.7), получим при 6 — ~ О при — — > оо, Ьо = о(6) — о( — 6) = О, т = НЯрг + 1/рг) ро 2т 2 во при — + ав Ьо = —, т = 6 ' а ' Н11/рг + 1/рг) + 2/а' при — -ч О г1о = 2оо, т = О. ро 6 ов, >ав, ов <ав.
г г г Если приток импульса 7 меняется непрерывно, а т = сопв1, то при монотонном изменении з возникает течение без перехода через скорость звука. 18. Условия на поверхностях разрыва 115 18.15 ."Запишем соотношения на поверхности раздела дождь— вода в системе координат. связанной с этой поверхностью 2 Роп = Роопо 1= А~ Роп + Р = Роопо + Ратм~ от = От»~ с0.18.8) Здесь величины с индексом пба относятся к дождю, без индекса -- к воде. Плотность внутренней энергии принята равной сТ. Давление в среде, моделирующей дождь, считается равным атмосферному.
Работа сил атмосферного давления, которая входит в соотношение 10.18.8), равна р оп, а не р „о„о, так как она производится над каплями, а общий объем капель, который притекает к единице площади поверхности в единицу времени, есть оп. Из выписанных соотношений получаем величины скорости, давления и температуры в воде за поверхностью раздела , (1 — )' оп = опос~ от = от»~ Р Ратм + и» ~ 3 = 30+ опо Ро " 2с где и = ро/р 18.16 Попытаемся построить решение следующим образом: считаем, что граница раздела „дождь — — вода" — это две плоскости, проходящие через ребро крыши.
Скорость течения за каждой из плоскостей всюду постоянна, направление ее задано, поток параллелен крыше. Рассмотрим одну иэ граней крыши. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось х была направлена по скорости дождя оо, ось х перпендикулярна оо и ребру крыши. Обозначим через а и 33 углы наклона крыши и поверхности раздела к направлению оо.
Из условий на поверхности раздела, см. предыдущую задачу, запишем оп — опое, о» = ота, т. е. о»с1$33 — и» = — ео»о, о»1833+о» = о»о, где н = ро/р. Отсюда, учитывая, что и,/о, = с18а, получаем уравнение для определения 1833 ! — е 1 18з)3 — 1813 с18а — + — = О, Е Е т. е. 1 218,9 = с18а( — — 1) ~ 116 Глава 4. Поверхности разрыва Если с18 о > 2х/е/(1 — с), то полУчаетсЯ два возможных Угла наклона поверхности раздела и соответственно два значения скорости и давления.
Выбор одного или другого решения зависит от условий, определяющих дальнейшее течение воды (например, условий на кромке крыши) н в рамках рассматриваемой постановки не может быть произведен. При увеличении угла а между крышей и скоростью дождя два решения для д сначала совпадУт, а потом исчеэнУт. Таким обРазом, пРи с$8 а < 2х/с/(1 — с) решения рассматриваемого типа не существует. 18.17 Из закона сохранения количества движения в проекции на горизонтальную ось для всего объема бочки, включая только что упавшие и разгоняющиеся до скорости бочки частицы дождя, следует, что абсолютная скорость тележки (с бочкой) равна скорости вытекающей струи по отношению к тележке.
Ге найдем, с помощью интеграла Бернулли для линии тока, начинающейся под поверхностью, отделяющей воду в бочке от дождя, и попадающей в вытекающую струю. Ответ: оа,„„„— — )/2дй+ о~ос, где е = ро/р; р — плотность воды. 18.18 Для гладкой функции у(р) имеем (ось х направлена по движению автомобилей — направо) — + =О или — +с(р) — =О, др д Р(Р) дР дР дг дя д1 дх где с(р) = уг'(р) — убывающая функция р. Это уравнение выражает закон сохранения количества автомобилей (обгон и съезды отсутствуют).
Оно имеет характеристическую форму, см. задачи 25.26, 25.28 и ответы к ним. Решение этого уравнения находится методом характеристик: р = ро при х = хо + с(ро)1. Характеристики не пересекаются, если дро/дх < О. Соотношение, следующее из сохранения количества автомобилей на разрыве, имеет вид (Рг Рг)О = У(Рг) — ~Р(Рг), где рг и рг — значения р слева и справа от разрыва,  — его скорость. 117 19.
11оверхности разрыва в лагранжевом описании Считая, что разрыв поддерживается различными значениями р, приносимыми к нему по характеристикам, мы должны принять (чтобы характеристики приходили с обеих сторон к разрыву), что с(р~) > О > с(рэ) (условия эволюционности, см.
~ 25). Отсюда рз > р~. Решение, описывающее остановку однородного потока у светофора, содержит один разрыв, движущий~я налево навстречу потоку машин. Слева от разрыва — невозмущенный поток, а справа о = О, р = Р,. Движение от светофора, начавшееся при включении зеленого света при 1 = О, описывается „центрированной волной разрежения", см. задачу 25.30; р(х,1) и скорость автомобилей о(х, 1) находятся из соотношений юМ) т = с(Р)1 при О < Р < Ртоак~ Р = Ртах прн * < с(Ртах)11 и = Р 19. Условия на поверхностях разрыва при лагранжевом описании 19.1 Рассмотреть гладкую функцию, которая равна разности гладких продолжений левой и правой частей функции Р за поверхность разрыва.
Пусть в произвольной системе координат поверхность разрыва определяется уравнением 1(у') = О. Тогда ду' ду' дуу дуз дул ду' 19.2 ~ —.~ = Р—.; 1(у') = 0 — поверхность разрыва. 1др1 д~ ду' ду" дзу ) ду ду' 19.3 . ~ = и —,—.; 1(у') = 0 — поверхность разрыва. '1ду'ду~~ ду' дуз ' 19.4 В квадратных скобках стоят алгебраические дополнения элементов матрицы (ду'/дхь), которые в свертке с ду/дх' содержат только производные вдоль поверхности разрыва и, следовательно, непрерывны. 19.
Поверхности разрыва и лагранжевом описании 19.13 Пусть (х') — декартовы координаты, тогда дз 1 д~с Г" дада,а дл1 Используя результат задачи 19.3, где 1 = /(фа) — — уравнение поверхности разрыва, получим 19.14 Используя указание к задаче 19.13, получим [а;] /дл1 д/ ди1 д/'1 2 1,д~~ д~~ д~~ д~'(' [а1] /дх' д/ дл1 д/') 2 ~,д~~ д~а д~а д~г/' Использовать результаты задач 19.6 — 19.8. Т,"'пьп1[о1][о1] Т,'пь[н'] Т~™па[ой] (1.1п оп1) Т1п нп1 Рп нп1 19.15 19.16 Пусть сплошная среда занимает в данный момент времени в окрестности поверхности разрыва объемы 1'1 и $~з, разделенные куском материальной поверхности а, с границей Ь.
Тогда — р~Л'+ н115 = О. Е Согласно теории сильных разрывов, первый интеграл в пределе при И1 и 1~а, стремящихся к нулю, дает /[ао„—.з)'ы Е Нормаль направлена в сторону с индексом 1. Второй член равен /+Й' '. "'/--"'=/ЪЙ' ' "'0" Е Ь Е где С = 11ес(С д); па — вектор внешней нормали к Л, перпендикулярный и; е '7 — ковариантая производная на поверхности. В пределе при стягивании Е к точке, получим М = — — (аУСн) + гУ(ни ) = — [ р(0„— н„)~ .
1 д ,/С д1 1 Глава 5. Механика жидкости и газа 21. Гидростатика 21.1 Используя тождества гог(са) = сгоса+ (бгадс) х а н го$3гайс= О, из уравнений равновесия получаем игаса р х г гог. Р =— р Отсюда а) Р госР=О; б) игаса р х игас) У = О, т. е. р = р(У). 21.2 На глубине 6, отсчитываемой от линии АВ, р = р, +рд6, поэтому 1 с У=с(р — р,) ия= рдд я, Й = — ~~ы, я/ Е Е где и — нормаль к Е, внешняя по отношению к жидкости. По теореме о моменте равнодействующей Р Ьо — — /~р — р,)ссссо, т.
е. ссо — — „, где 1= ( 6 сс5. Нлс Е Е рда' а 21.3 Сила: 'Р = в — ', глубина ее приложения: Н = —. 2 3 Здесь а — сторона квадрата, и — - вектор нормали к стенке. Н сфб о'с 21 4 С ) р сгрдиг Л ) сгио. 3 Н,'+ Н,иг+ и,' 3(иг+ И,) 2!. Гидростатика 121 21.6 Силы, действующие на плиту в момент ее отрыва, изображены на рис. 0.21.1:  — главный вектор сил давления, действующих на единицу ширины плиты, В = рдНг(2; Р— вес плиты; Ж вЂ” сила реакции дна, Дг = Р; à — сила трения, Р = ЙМ.
Плита не сдвинется, если.'кР > В. Плита не опрокинется, если т ото Р > тото В. Учитывая, что 6 > Н, имеем три условия: Рис. 0.21.1. Ь а о= —,,3= —. Н' Н оД > —, ггпу > Р г Р 2/сра' Зра сг > 1, а о = агс$8 —; Рис. 0.21.2. д б) В этом случае ускорение цистерны равно а = дгйп0 — ксене; поверхность жидкости образует с горизонтом угол а сов 0 о = агсГ8 д — агйпд см. рис.
0.21.2. Свободная поверхность горизонтальна, если и = 18 О. 21.7 а) Воспользоваться тем, что равновесие окружающей тело жидкости не нарушается, если заменить объем твердого тела объемом покоящейся жидкости с распределениями плотности и давления, удовлетворяющими условиям равновесия. 3 В 1 21.8 р„= — р; 4 ' Р 3 21.9 В равновесии свободная поверхность должна быть ортогональна вектору плотности массовых сил Р. В относительном равновесии Р = д — а, где а — ускоре- В ние цистерны. а) В этом случае 122 Глава б.
Механика жидкости и газа 21.10 а) Рассмотрим цилиндрическую систему координат, связанную с сосудом. Ее начало расположим в центре дна, а ось х направим вертикально вверх. Из уравнений относительного равновесия в этой системе координат найдем 2 р = -Руз+ Раз — + сопв1 2 Далее учтем, что р = р„на свободной поверхности х = яь(г), а объем жидкости известен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
