Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 14
Текст из файла (страница 14)
16.11 Воспользоваться тем, что скорость производства энтропии за счет вязкости представляется в виде И;л 31+ 2р,, 2р, л, л дЯ(е;,) 4л Й 3 ' " " ' " " 3 ' Й зз(е .) + —,Уз(е") е: — е. — о о — ' > О. 16.12 Неравенство диссипации р т а) йУ' — — Ир — — 1~~,о й + Р Р примет вид л Ит — Нд"" + й < О; /с~„~ т рт б) Й вЂ” — — — ало й — Т~Ь вЂ” Йд**+ Й < 0; с1р т ~"ч,т Р Р Рт в) ИФ вЂ” — — — 'ало Й+лЙТ вЂ” Й1" + Й < О. о'р т д" 17,Т Р Р рт 16.13 Неравенство диссипации имеет вид ди „ть дел +,Ид — — еь Й<0. дал р ( — — — г)~1Р+ ( — — Т) "в+ ди р ди ди др рз дв дел 16.10 Абм = АО1л, Аии1 = А"л', так как рб и еы — симметричны; Абы = Аыо, так как др"(даы = дры(де,, — это следует из формул задачи 16.9 с учетом того, что при малых деформациях в этих формулах можно заменить р на ро.
1ОО Глава 3. Термодинамика сплошных сред Так как дел и Ыд входят только в подчеркнутые члены и прил том линейно, то эти члены могут иметь любой знак при услови- ях, что ди/дел ф О и ди/дд" ф О. Это противоречит неравен- ству диссипации. Поэтому и = и(р,л). Для квазистатических процессов величиной г" еь Й можно пренебречь, а р и л могут меняться независимо.
Поэтому ди р ди — — — =Т, др р дл причем последние равенства выполняются в любых процессах, так как и, р и Т не зависят явно от еь 16.14 Первый и второй законы термодинамики дают ди ди ди , ди ,. р рр' дл+ ~Р+ др+ -с~р г ~р+ г ~р+ Т'1л др др др Рг Рг где обозначено р = др/Й. Так как Ир =Р Й входит только в член, подчеркнутый одной чертой, и может меняться независимо от величин Ил/Й, Ир/Й и пгр/Йг, то должно выполняться равенство ди/др' = О. Далее, Ир = р'Й входит только в два члена, подчеркнутых двойной чертой, поэтому ди ИР р рог — — т. е.
и = — + /(р, л). др Рг ' ' ' 2рг 16.15 Выводы получаются так же, как в задаче 16.14, из соотношений первого и второго законов термодинамики дУ дУ', дУ' — Ир+ —, пр+ — „пр'+ ° ° + др др др + пр~"~ + — йТ = — л иТ+ Й1 . и ~~ Р'1Р дрОО дТ рг 16.16 Пусть и = и(е;, 17ье;,л), ТсЬ = с1д, тогда ди ди ди рз — Ие;, + Илье;, + — ~Ь = — Жео+ Йд**+ Т~Ь. де;, " д~7ьеб " дл р Далее, Н~7ье; = 17ьЫ;,, поэтому с1Кке;; = — ~7ь ~р ~ й',. + ~7~ ~р Ыг дале;, ~ Я,е;,/ ~ д17 16. Ограничения на вид определяющих соотношений 101 Следовательно, можно принять, что О моделях, в которых среди параметров состояния имеются выс- шие производные перемещений по координатам, см. в 6 17. 16.17 Неравенство диссипации н данном случае имеет вид дУ' дУ', дУ вЂ” др+ — Ит+ Неь др дт деь у'ч,т — р — — тое;,.— — 2реое„,— + едет+ й < О.
рт Отсюда, как в задаче 16.13, получается, что дУ р дУ др рг дт ь д г„т — т е„. — 2ре ем+ Т < О. дУ' деь я е =ну, оя — О, е,=О, е „=е„= —, остальныее; =О. Тогда тоеюй+ 2ре"е;. = (ты+ рй)lс. Если т'~ > О, то при — т'Я(р < я < О это выражение принимает отрицательные значения. 16.18 21. 16.19 6. Из этого следует, в частности, что должно быть выполнено соотношение (тб+ 2ре")е; > О, но так как е, могут иметь любой знак и любую величину, а тб = сопвФ, то левая часть рассматриваемого неравенства может иметь любой знак, что противоречит неравенству диссипации.
Например, пусть для такой среды рассматривается течение Куэтта, см. задачу 14.22, в котором 102 Глава 3. 'Гермодинамика сплошных сред ~гас) Т гсРг — Рг — -Т,ггдгад ~ 7г 'л Т нгас) 7' ~ /рг рг ,7 = — Т,гл „вЂ” г ггКгасг ~ Т '1, Т (0.16.1) На основании принципа Онзагера Ьгг — — Ьгг. Далее, р ь'1 рлигас)Т игас)рь Т/ Тг Т вегас) рл = — ль вегас) Т + ~ — ( вегас) с, ~, дс (т,р поэтому соотношения (0.16.1) можно переписать в ниде 6гас) Т вЂ” (7 гг + АТгг) — ЕггВ вегас) с, КГЫ Т вЂ” (1гг+АТгг) „— ТггВига4с, 1 д(рг — рг) рг — рг + Т(вг — лг), В =— Т дс (0.16.2) Эффект Дюффора определяется коэффициентом сг, а эффект Со. ре — коэффициентом,9, где (7 гг + А7 гг) сг = ВТ!г, Тг Так как Ьгг = Ьгг, то сх = В()З7ег — АЬгг).
Из (О. 16.2) следУет что коэффициент теплопроводности смеси равен (7 гг+А7 гг))Т~ а коэффициент диффузии равен ВЬгг. 16.20 Предполагая линейную зависимость лсежду термодинамическими,.силами" и «потоками". получим 17. Среды с внутренним моментом количества движения 103 17, Термодинамика сред с внутренним моментом количества движения 17.1 а) Используя распределение скорости и = о, +ы х и, где в, — скорость центра масс, и — радиус-вектор относительно центра масс, из теоремы живых сил в дифференциальной форме с1(оз/2) р = рГ'о, + о,чу р", Й с учетом е;, = 0 интегрируя по объему тела Г, получим 1И вЂ” — (Мо, + Цы'ю~) = рР вА'+ р„вот+ роы;, с1к', к Е где М, 1, ию — масса, тензор центральных моментов инерции и вектор угловой скорости вращения тела, ~, = е; вы .
л б) В силу уравнения внутреннего момента количества движения ~М' = ео"рул указанная работа равна нулю: ром, И$' = Ъ~,Я"м,) сЬ'= Я„ыйт = О, и Е где учтено, что '~„ш = О. ~дг в) Для ротатора с„,„= —. 2 17.2 а) Уравнение имеет вид — р — (в + 7й ) = рР в+ рй. й+ ~ (рбо; + Я" й,)— 2 2 2 Й 3 — рсуе; — Яб'[7;Й; — р" е,"ь(й — ыл). б) — р" е,,в(йв — м~) = 0 при рб = ф', либо й~ = ю~. в) В соответствии с теорией к настоящему параграфу, изменение суммы кинетической энергии среды и кинетической энергии внутреннего вращения равно сумме работ внешних массовых сил и пар, внешних поверхностных сил и пар, внутренних поверхностных сил и пар, а также внутренних поверхностных сил на изменении ориентации среды.
Глана 3. Термодинамика снлопшых сред 104 17.3 Уравнение изменения функции й имеет вид р — = руЕсй+ ЯОT;Й;+ р" бмя(й — М") — 1~д'+ р ™сс. 17,4 Рассмотрим бесконечно малые ортогональные преобразования системы координат в" = и'+ бб~л аа, причем ~а~ -+ О. Функция й, как скаляр, не должна зависеть при преобразовании своих аргументов от а. Дифференцируя по а,' соотношение инвариантности функции й й(п", (T,п')', дб) = й(п', T;п', дб) и полагая затем а = О, получим с дй дй дй —.и.
+ .~ьп — — ~,п ( со = О, дЫ ' д1~~~' ' д1дпь ' ( где с"~ — компоненты тензора Леви-Чивита. 17.5 а) Компоненты тензоров равны р р д, д О, др' дй; я з дй;,. дй;ы 2) ро = — р Я'и — р — д", Чо = — р с' пь д'7 и" др ' д~1 п" Здесь также использовано, что И бй — яп ) = Ч,(сзыя"~~') — К;иьК~п . б) п1 = собст. Г«пз —— а1пот,Д пз = О, сс = 2, 3.
17.6 Величины р',~бр и Добр определяются формулами предыдй дуШей задачи, Т = —, I р — = рисса,(ей+ 'бь(11 -'~' )) + Ю'«сб,1У "б аг + (Рн~ «бр(сб + СЕЬ( 1 )) + ~необр 111') ' а рт рт ~ "'-"" 105 17. Среды с внутренним моментом количества движения 17,7 а) Составим соотношения — T,т= — ', и Рмеобр Лд е ° /с + 2Ре +» (~» ~р) 2 я„' ояр —— тд'Уе.»+ пеО+ с»' (Йя — »оя). В силу принципа симметрии Онзагера пг = и = с = О. Тогда ~ ~г и = + — (Л(е~л) + 2ре"е;. + Ь!Й вЂ” аг/ ).
рт рт б) В рассматриваемом случае получаем — К,т = — ' + а(Й; — м;), 2 — (ро+рг')к„ер — — Лд' е.~+2/хе', р'„'„»»оя = — +Ь(йл — »ая); а = + — ( Л(е. ) + 2ре" е;;+ — д'(Й; — »о;) + Ь(й — »и( ) . рт рт(, в) Величина — (р + ф )„„ер определяется линейной формулой », 2 задачи 12.16, где сг — — сл. р'„„,е»мя = — + Ьг(йк — ргя) + пяп; — + Ьг(й' — »о ) — Ч;Т = — + а1(й; — »р;) + и;и;( — + аг(йг — ю )) . д» /д' 3 г»1 мг 17.8 Функция диссипации имеет вид 1 г 1 У маг'1 г т = ~д+ка(й — аг)~ + — (Ь вЂ” — ) ~й — »а~ + р~~тг рт( т) + — Л+ — р (е.~) + 2реое;.
где е;, = е; — — д; е. я — компоненты девиатора тензора е. Выполнены неравенства г»а г г»>0, Ь вЂ” — >О, 1ОО Глава 3. Термодинамика сплопюных сред Я," п; = О и дифференциальных й выполнено 17.9 а) В силу равенства условий скалярности функции й %~~я оер Роеребе) дй ( д~у п' гзб оо б и 'ъоеп ойп1 Роапебьп 'й~пь+ К;п )е тн = О. дй д~ьпг б) Ограничения на коэффициенты а1+ иг = О и 61+ 6г — — О; Рнеоарсбл (5о П ПЬ) + й(П~ ал) 17.10 Из уравнения изменения й имеем геТн(хг) + е (4р + А(1 — пгз)) = О. Тогда, если хг = ~6/2 отвечает границам потока, то е г т Т = Тп — — (49+ А(1 — п )) ~х 2гс ( 3) 'г 4 1 егй и„= — (4р + Л(1 — пг)), где в случаях а) и'61) выполнено пгз —— 1; а в случае бг) — пз — — О.
Приток энергии пд'*/п1 = О в силу равенства Й = О. 17.11 а) Подставить в уравнения притока тепла величины ди сЬ Йу';;;;, Л вЂ” ~,д = — — — р —, р = — ру + 2ре + — е (Пь — мь), дл и'1 и'1 ' 2 ййь М ИМ 1 — = (М х Н)ь — рме;,ь, Н = — + т ~ — — й х М Й Х и использовать условие несжимаемости ~ ю' = О. б) Уравнение притока тепла с учетом первого приближения по ~агат -+ О дает геТп(у) + е (41г+ т~Нд~)) = О. Тогда, если у = *Ь/2 соответствует границам потока, то Т = Те — — (4р + т~Нг ~ ) ~у — — (; / йг1 2ге 4/' еу~ г г1 г ~' г дг =уз =О, дг = — (4р+т~НД 1~у — — г). ) Приток энергии од**/п1 = О в сияу равенства пМ/пг = О: Глава 4.
Поверхности разрыва в сплошных средах 18. Условия на поверхностях разрыва 18.1 Обозначим через Р скорость поверхности Е. Для точек поверхности выполнено Нх';, дУ д)' — =Рг и Цх',Ф) =О, т. е. — +Р; —. =О. гО ' ' ' ' ' д1 'дх' Единичный вектор нормали к Е есть в = 8гаг1 и 8га4 Д, поэтоду ду Р„= Р в= Р; —./)8гаг1Д = — — /)8га6Д. 18.2 Будем отмечать индексами 1 и 2 значения величин по разные стороны от Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
