Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Рассмотрим произвольную точку хл, лежащую все время на плоскости Е. Она движется в пространстве со ско остью Р Нхл д1 уд~ Й дгг дх' см. задачу 18.1. Вычислим скорость изменения и в точке хл Если считать точку хл принадлежапгей стороне 1, то д — д +д 1 — д +Рд Если же считать, что точка хл принадлежит стороне 2, то — — +Р Но так как и(х, ~) непрерывна на Е, то иг = из во все моменты времени, поэтому (Ни/й)г — — (Йи(гГг)з или — +Р— = — +Р Это и есть кинематическое условие на Е. С использованием обо- значения Ц = юг — рз его можно переписать в виде 108 Глава 4.
Поверхности разрыва 18.3 а) Отметим индексами 1 и 2 величины по разные стороны Е. Запишем систему уравнений для точек, стремящихся к точке на Е со стороны 1 и со стороны 2. В пределе имеем — +ау — +6;=О, — +а; — +Ь;=О. Значения коэффициентов аб и 6; в этих системах одинаковы, так как они зависят лишь от ~, х и и;, непрерывных на Е. Отсюда получаем динамические условия на Š— + а;~.
— — — О. б) С использованием кинематических условий, см. задачу 18,2, динамические условия приводятся к виду (а; — РБ;,) — ~ = О. Эти соотношения можно рассматривать как систему уравнений для нахождения [ди /дх], определитель которой должен обращаться в нуль, если не все ~ди /дх] равны нулю. Таким образом, с1еЦа, — РБ;,) = 0 и Р есть собственное значение матрицы а; . 18.4 а) См. решения задач 18.2 и 18.3. Кинематические условия: %" Л= ~$!" Динамические условия: — =О, — +Р— =О. +р —" =О, +7р =0 Р2 = и+ )/ ~ Р~з = и )/ /ур Л~р Р Р б) Применяя результат задачи 18.3, получаем, что возможны слабые разрывы, движущиеся со скоростями 109 !8. Условия на поверхностях разрыва 18.5 б) Рассматриваемые условия имеют вид (опг — Р)Р2 —— (нп2 — ЦР2 — т, или (Р(и — Й)) = 0; т(вг — в2) = Р г — Р 2, или (р(н„— Р)и — Р ) = 0; / 2 2 + и~ — — — в~) = Рпг ' вг Р„2 ' ьа — Ч„г+ Чп2 2 или Р(ип — В) ~ — + и — Р„в+Чп = О.
Здесь ст — скорость поверхности разрыва (по нормали к ней). 18.6 а) На тангенциальном разрыве выполнено Опг — И =вп2 — И=О, т. е. опг — — нп2. УсловиЯ на таком РазРыве: Рпг Рп21 Рпг(итг Втз) Чпг + Чп2 б) На контактном РазРыве выполнено п,г — — ьт2, поэтомУ Рпг = Рпз 18.7 То, что среда не протекает через поверхность у = О, означает, что разность между скоростью точек среды, находя- Шихся на поверхности и скоростью точек поверхности по нормали к пей равна нулю, т. е.
оп = О„, или н ягайло' = Р 8гай г = — —, де' дг ' см. задачу 18.1. Поэтому дУ,Ю вЂ” +н — =О, дГ дха где н — компоненты скорости среды в точках, расположенных ь на поверхности У = О. Если 2" = Π— поверхность тангенциального разрыва, то это условие должно выполняться для скорости среды по обе стороны поверхности. 18.8 Запишем требуемое условие в системе координат, в которой уравнение поверхности разрыва есть хз = С = сопвФ, а координатные линии х' и х2 лежат на этой поверхности.
Очевидно, что производные дгн/дх, а = 1, 2, непрерывны, так как 110 рлава 4. Поверхности разрыва этому (0.18.1) Учитывая тождество дгв я дав — +о — =в д! дхь = и непрерывность производных дав/дх", а = 1, 2, получим [о]+ (Рз — оз) +(о ) — = О. Это и есть требуемая связь. Если (х') — координаты точки в начальной лагранжевой системе координат, то зта связь имеет вид непосредственно следующий из (0.18.1). 18.9 Будем обозначать индексами 1 и 2 значения параметров на границе, относящиеся к средам по разные стороны границы раздела. Кинематические условия во всех случаях имеют вид д) — + нцг ' бган г = О, д! см. задачу 18.7.
Динамические условия таковы,см. задачу 18.6: Рг рг Ч ! Ч г~ а) ц' — ргп' = — ргп + тг п), Чвг Чаг! б) ! = 1, 2, 3; если вторая жидкость — - линейно-вязкая изотропная, т. е. подчиняется закону Папье-Стокса (13.32), то — ргп' = — ргп' + ЛО)еогп'+ 2!гег пг, д,*,! —— чвг, на поверхности непрерывен вектор гв(х',хг,С). Если векторы базиса е" системы координат непрерывны по разные стороны от поверхности разрыва, то можно заключить, что непрерывны и компоненты ~7 гвя, и = 1, 2, 3.
Отсюда следует непрерывность компонент е д, о, () = 1, 2. Из непрерывности гв следует непрерывность производной дю ядю — +Р „=О, д! дх" где Р— - компоненты скорости точек поверхности разрыва, по- й 18. Условия на поверхностях разрыва 111 — р1п'+ т1 и. = — Рзп + т2 п,", в) м п)(11т11 от21) Чи1 + Чиз О~ 11с д) Р1 п) = Р2 пь:. Р1 п1(от11 от21) Чи1+Чи2 = о! если среды — линейно-упругие изотропные, т. е. подчиняются закону Гука (13.
35), и температурные напряжения не учитываются, то первая группа из этих условий принимает вид Л1(е",1)1п'+ 2Р1фп) = Л2(с",1)2п'+ 2рзфп,. 18.10 Условия на поверхности сильного разрыва в идеальной жидкости при отсутствии внешних воздействий на этой поверхности имеют вид (1'1и 2))Р1 = (ози О)Р2 = 2~ 1(О1и О2и) Р2 Р1~ И1т — В2т~ 2 2 )[ — + — —,— )="""- "+ - —- При у ф О последнее равенство можно преобразовать к виду 2 * Ч ози Ч вЂ” +11+ —. = — +12+ —., 2 ) 2 где 1 = и + р/р — энтальпня единицы массы.
18.11 а) Уравнение адиабаты Гюгонио ря (7 + 1)р — (7 — 1)р Р1 (7 + 1)Р1 (7 1)Р2 с, 7= с„ (7+1)Р2 — (7 — 1)Р1 (Р1~у) б) в2 — я1 = с„ 1п ( (7+ 1)Р1 (7 1)Р2 Р2 в) Если либо 1) скачка нет, р1 = р2, р1 = р2, либо 2) 7 = 1. р ° Р ° [о) — [т) = О, [о) — Р [у) = О, [о] = о2 — о1, (0.18.2) 18.12 Соотношения, выражающие сохранение у-составляющей потока импульса и непрерывность у-перемещений среды на разрыве, имеют вид 112 1'лава 4. Поверхности разрыва где р = сопв1 — плотность среды; Р— скорость разрыва относительно среды; и = диги/д1 — у-составляющая скорости среды.
Из этих равенств следует ( (уП (0.18.3) р' ы' Следовательно, необходимо, чтобы было (т(у)]/[у) > О. Из формулы (0.18.3) следует, что скорость разрыва Р определяется наклоном секущей к кривой т(у), а скорость бесконечно-малого разрыва (малого возмущения) — наклоном касательной. т(у) — г Уг Рнс. 0.18.1. Упомянутые в задаче соотношения скорости разрыва и малых возмущений (условия эволюционности) имеют геометрическую интерпретацию и определяют взаимное расположение касательных и секущей к кривой в точках у = ум перед разрывом, и у = уг, за разрывом.
На рис. 0.18.1 показаны эволюционные разрывы при различном виде т(у). В силу того, что напряжения т по условию задачи не зависят от энтропии л, внутренняя энергия и разделяется на механическую и тепловую, см. формулы задачи 16.9, дй и = й(у)+ й(в), й(у) = — ~ т(у) ау, — = Т > О. (0.18.4) дв Для нахождения знака изменения энтропии запишем на разрыве непрерывность потока энергии 1 рР(и) + — рР(и ) + (ти) = О.
18. Условия на поверхностях разрыва 113 Ув У б) У2 У Рис. 0.18.2. Условие неубывания энтропии на разрыве совпадает с условием неотрнцательности соответствующей площади. На рис. 0.18.2 а) и 0.18.26) показаны скачки у~ -+ уз с возрастанием и убыванием энтропии соответственно. Разрыв, показанный на рис. 0.18.2 б) не может существовать, так как он противоречит второму закону термодинамики. 18.13 Для течения с обеих сторон разрыва выполняются со- отношения и рИ" = с, — = т, (0.18.5) Р И где И = 1/р; о -- скорость газа относительно разрыва; с и т — постоянные.
Из соотноше- )+,У ния для потоков импульса на разрыве запишем [р] + т [И] = Х (О. 18. 6) тв, тв, На плоскости (р; ~') при эадан- Рис. 0 18.3. ном т и заданном начальном состоянии (точка А) кривая р1'з = с пересекается в двух точках Отсюда, полагая для простоты о~ = О и исключая [о] и [т] с помощью первых двух соотношений на разрыве (О. 18. 2), получим [Ри] = — (т~ + тз)[У] или [Рй] = [У] — [Рй]. В силу соотношения между й и т, см.
формулы (0.18.4), заключаем, что [й] — площадь (с соответствующим знаком), заключенная на плоскости (т; у) между кривой т(у) и секущей. Глава 4. Поверхности разрыва 114 Вг и Вг (нли ни в одной) с прямой (0.18.8), имеющей наклон — тг. На кривой рт'з = с выполнено ар 1 ар а д; рг ~, 1тг' где а = /Йр/Ир — скорость звука. Из сравнения с равенством т = о/И получаем 18.14 а) Рассмотрим течение с полем скорости при — 6<у<6, 1х — ) при у> 6., рг 1 — ) приу< — Ь, ссг — у ро т т1 — у+ тЬ~ —— 1 т т1 — у — тЬ) —— рг ро где т = т „= сопв1 — напряжение трения на площадках у = сопвг.
Разность скоростей г1о = о(6) — о( — 6) = 2тЬ/ро. Считая, что одновременно т и г) о не стремятся к бесконечности, получим при Ь вЂ” ~ 0 следующие граничные условия при у = О: < Ло — ~ О при ро/6 — ~ оо, аЬо — + 2т прн ро/Ь вЂ” е а, т — ~ О при ро/Ь вЂ” ~ О. (0.18.7) б) Пусть уравнения плоскостей суть у = ~Н, на ннх выполнены условия прилипания о(Н) = — о( — Н) = оо, и имеется тонкий слой маловязкой жидкости прн — 6 < у < Ь, 6 — ч О, ро — ~ О. Используя уравнения Навье — Стокса, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
