Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Линии тока: Ф = Цг — аз/г) в1пс = сопв1, г = ге". Уравнение обтекаемого контура г = а. б) Течение — суперпозиция поступательного потока и течений, создаваемых источником, расположенным в точке я = — а, и стоком в точке г = а. Функция а1У/ал имеет полюсы в точках Г *,д=-~~Я'ГЮ ~ Л.Л Ю 2ау 4 = Уу — — агс$8 = сопв1. 2х аз + уз — а~ Обтекаемый контур ф = О представляет собой овал, проходящий через точки г1 и гз. При а — ~ О и Яа = сопв$ получим функцию тока Ф=иу1 —,, Ь= соответствующую обтеканию кругового цилиндра. 22.18 В полярных координатах (г, с) функция тока имеет вид а ~ Г г ф= (Пв1пе — Усове) г — — (+ — 1п —. г( 2х а Линия тока ф = О есть окружность радиуса а.
Скорость на бесконечности имеет компоненты П и У. Произвольная постоянная Г имеет смысл циркуляции скорости по контуру, один раз охватывающему цилиндр. Критические точки находятся из уравнения а2 гз 2х1о аг/ где е е' = У+ЛУ. При Г <1 4хае они лежат на окружности радиуса г = а и для них выполнено Г в1п(с — о) = 4хае 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 131 22.19 1) Существование и единственность аналитической функции /(~) вытекает из теоремы Римана о существовании и единственности конформного отображения при заданных уелових нормировки. Вид ряда Лорана функции 1(с,) следует из однолистности функций х = /(с",) и обратной к ней ~ = ус(х) в окрестности точек с, = оо и х = со и условия с(1/с1с,) = Й. 2) Функции Дг), Й'(с",) и их суперпозиция И'(х) = И'Ях)) являются аналитическими функциями во внешности контура С и Ц ) 1.
На контуре С выполнено с,(х) = е'", функция тока имеет вид сд = 1та И'(г) = 1т Й'(е™) = О, следовательно, контур С является линией тока; скорость на бес- конечности определяется формулой — — — = о (саво — 1в)п о). 22.20 Функция г(~) = Йс, + Йо+ )с~/~ отображает внешность единичного круга Ц ) 1 на внешность эллипса (х — хо) (У вЂ” Уо) аз + = 1, а = )с + )см 6 = 6 — йч, хо + гуо = йо~ 62 Комплексная скорость на бесконечности равна с ИИ' ~ 11+ А' ь.,) — ( = о (совсс+ гв)по) = к Критические точки определяются из уравнения -ге дс — а) е 1 м <~ гз 2хггйо,,) При )Г/4хко ~ < 1 две критические точки х„+1у„= х(е"") расположены на границе эллипса ха — хо = а сове„, уа — уо = 6в)не„, значение е„определяется из уравнения Г в!п(еи сс) = 4х)со см.
решение задачи 22.18. Глава о, Механика жидкости н газа 132 22.21 Из решения задачи 22.20 при к = й~ = Ь/2 и ко = 0 следует, что функция г= — ь+— йФ' и'1] /1~ Иг,, с~г/И~ конечна. Это возможно, только если И,Й' — = О. Отсюда находим, что Г = — 2хйи яп а, см. решение задачи 22.20. Следовательно, И'(г) определяется формулами И' = ИГЯг)), Й~(ь) = — и ~е ' ь + — + 2)япа!пь' 2 (О— Распределение скорости на пластинке имеет вид 1Й~/1~ Нг/И~ в!п(е — а) + в)п а сов(е/2 — а) — и — и яп е сов(е/2) Значениям е Е [О; х] соответствует верхняя сторона пластинки, а значениям е Е [х; 2х] — нижняя сторона.
На задней кромке и = исова. В точке е = 2а+ х, (г = — осов2а) на нижней стороне пластинке выполняется о = О. Подстановкой сове = г/6 в формулу 1 — сове ! и=и совахв!па 1+ сове находим зависимость о = о(г). отображает внешность единичного круга Ц > 1 на внешность пластинки. Точке ~ = 1 соответствует г = гн (задняя кромка). Согласно постулату Жуковского — Чаплыгина скорость в точке В 22.
Динамика идеальной несжимаемой жидкости 133 22.22 Чтобы удовлетворить граничным условиям, решение, по методу зеркальных отражений. ищется в виде 1 И'(г) = И'о(г) + И'„(г), где Ио(з) = — Я 1п(г — гд), 2н И',(г) — комплексный потенциал дополнительных источников или стоков в точках, положение которых следует найти: эти точки лежат вне области, занятой жидкостью. а) Дополнительный источник той же мощности расположен в точке гд, являющейся зеркальным отражением точки гд относительно прямой у = О, 1 И' = — Я(1п(е — яд) +!н(е — Уд)), О < асбе < я.
2я' б) Дополнительные источники той же мощности расположены в точках Тд, — гд и — Уд, являющихся зеркальными отражениями точки гд относительно прямых у = О и х = О, И' = — Я!п((г — яд)(г — гд)), О < агнг < —. 1 г г г — г х 2н 2 в) В этом случае комплексный потенциал имеет вид (я гд) (г гн) 2яИ' = Я!и г — го где г ~д гВ =а !гд( ! -"!>. Рнс. 0.22.1.
Проверим, что у = 1тн И' = сопнФ во всех точках границы круга. Имеем 4(С) = — Я(~СА Р+ ~СВР— !СОР) = — ЩЕСАР+~ОСВ) = —, 1 1 Ю 2н 2я 2' так как ПОСВ и НОАС подобны, то ОВ ОА = ОС', ~ОСВ = ~ОАС, ~САР+ НОАС = х. Глава 5. Механика жидкости н газа 134 22.23 Указание: Использовать формулу Эйлера Я / . ягх'1 а) И'= — !п ~яп — ); 2х ~, а)' Г /, ггх1 б) Иг = †, 1п ~в1п †) ; 2яг С, а)' Я /, х(г — а) .
гг(г+а) в) И' = — 1и 1яп впп 2я )г. 26 26 Г /. п1л — а) . х1л+ а)1 г) И' = —,!п ')яп вгп 2гг! ~, 26 2Ь ) 22.24 В цилиндрической системе координат х' = л, хз = г, хз = е кравнение г11я в = О для осесимметричного движения принимает вид 1 (дг о, дг н„'! г 1, дг дг отсюда 1 дф 1 дф г дг' ' г дг Компоненты гоС!где/г) можно вычислить по формулам 1 /дал да ~ (гоСа)' =— ггд С,дхд дхь) ' где д = г1еС1д, ) = гз; индексы г, у и Й составляют круговую перестановку из чисел 1, 2, 3; аь суть ковариантные компоненты вектора а. Для а = 1Ье/г имеют место равенства аг = О, аз = О, аз = гд, позтому, если и, = О, /фелюг о,е,+п,е,=гоС~ — ) =о. б) и 3гаг116 = О. 22.
Динамика идеальной не< жимаемой жидкости 135 1 д~ Н2 ЬЬ2Ьз дх" 1 дд 22.25 а) н2 ——— Ь2Ьз дл2' где Ь, = lдн — параметры Ламе, б) В этом случае Ь1 = Ь2 = 1, Ьз — г: 1д2Ь 1дФ о» = — —, ос г дг гда 1,(дз,с дгл, 1 д,Ь'~ + г дз2 дг2 г дг в) В этом случае Ь2 = 1, Ь2 —— й, Ьз = йзшд: 1 д4 йгйпд дй' 1 д2Ь йзгйпд дд' дг,Ь 1 д 1 д~ йгйпд дй2 йз дд гйпд дд 22.26 а) В осесимметричных течениях в = и(х',я2) поэтому потенциал скорости может зависеть от угловой координаты яз только линейно со = у(х', и2) + Сиз. для однозначных потенциалов выполнено: С = О и оз — — ~72~о = О. б) Для потенциала скорости у справедливо уравнение Лапласа 1 д ( ггддд (д~Р/дж )) Ь~р — — — О, д = с1е1 Од,;((; /д дил уравнения для функции тока 2Ь получаются из формул (О.2. 26), если в них положить оо = О.
22.27 2иф(22, г2) — 2Ь(зм г2)). 22.28 Функции ф и ~р являются решениями уравнения Лапласа и называются шаровыми функциями. Соответствие потенциала и функции тока проверяется непосредственным вычислением компонент скорости. 138 1'лана б. Механика жидкости и газа 22,29 а) Функции у и 1Ь представляют собой суперпозицию решений, рассмотренных в задаче 22.28 при и = 1 д 1 аз д 1'х ,е аз ~р = н< — Вз — — — — — — ) = н„созд1В+ — ): дзВ 2 дяВ( ~, 2Вг/: аз дгВ и (Вз аз) з1нг д 2 дхг 2В где В и д — сферические координаты. б) В этом случае н а соад 2В 3 ' гд 2В н = — К где У вЂ” скорость шара, который движется в направлении д = О. 22.30 Ищем л в виде, см. задачи 22.28, 22.29, 1 со = АВсозд+ Всозд —, Вг где А и  — постоянные, определяемые из граничных условий с1ВЗ ' 11ВЗВЗ вЂ” з з  — з з.
Вг 21В1 Вг) д /1 а 22.31 а) ~р = р — ~ — — — (, д. 1,В ЬВ,( ' где аг Ь„= —. ь, у 1 а 1 б) — = — + — — — / Я В ЬВ, а/ о 4> з — Ь а(з — Ь„) В Я В ЬВ. — Ва а д и.= ~5'тзте. Здесь В1 радиус шара, Вг — радиус оболочки; шар движется в направлении д = О. 22.
Динамика идеальной несжимаемой жидкости 137 22.32 К уравнениям Эйлера, записанным в форме Громеки— Лзмба применить операцию гог и использовать тождества го$1е х Ь) =1Ь Я)а — '1а ~7)Ь+аб1рб — Ье11ра и 61ррз= О. 22.33 Проверяется вычислением.
22.34 а) Так как 1ш 17)н = ы, ди/дг, то из уравнения Гельмгольца получается требуемое уравнение. Вго также можно получить непосредственно из уравнений движения. б) Из части а) следует, что ю постоянна на линии тока, которая характеризуется определенным значением функции тока ф. Отсюда следует, что а = м(гд). 22.35 а) 2и = — гав = — 2А 1н з + б з); б) Для переносного движения гз Фпер— 2 гз оп,р — — ~ое х и = го$ — а —,е), 2 )' Для относительного движения А/1 1'1г з ~'~отн = О~ грота = гб Фпер = ~ ) 1е у )~ 2 г,нз бз) ~ /1 1~ У,„=А[ — — — )хУ, н,„=гогф,не)=бгадУ,„, ~ б2 н2) 22.36 Поле скорости имеет вид Г 7 ~ — и Г я ор — — — / 4х / 71з 2 гг' Г 7О-У ГУ о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
