Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. > О, «» к< > О. дг С помощью решения задачи 23.24 условие устойчивости преобразуется к виду (П Нг П Нг) >О Если йгйг ( О, то <р меняет знак и течение неустойчиво. При йг > 0 и йг > 0 течение устойчиво, если йгйг ~> Пгниг~. Если йг — — О, то течение неустойчиво; если 01 — — Π— устойчиво. 23.27 Применить операцию го1 к уравнениям Навье-Стокса, см. решение задачи 22.32. 23.30 ф = фее 'м. 23.31 В силу цилиндрической симметрии течения и„= и, = О, нф"' = и(г, С), а<„= а<„= О, а<, = а<(г, 2).
Из уравнения задачи 23.28 следует да< и д(гдаг/дг) дг г дг Начальное условие г гя Г(г, О) = Го = сопа$, где Г(г,2) = 2 шг'<1<рог'. оп 158 Глава 5. Механика жидкости и газа Из факта линейности м по Г и соображений размерности следует вид зависимости ы = (Го/и1) /(С), где С = г2/и1. Для функции / получаем уравнение /(с) + (/'(с) + 4[/'(с) + с /о(с)] = О. Интегрируя, найдем е 4~л, Г = Го 1 — е 4г'с), о = — ~1 — е 4ис~, 8хи1 )' 2хг ~ 23.32 Условие экстремума скалярной функции Х(х4, х2) во внутренней точке М, где хотя бы одна из производных ~;T/[ !М отлична от нуля, состоит в том, что: 1) ~';/[ = О и 2) величина []"7,~Ям знакоопределена.
!М Так как функция ь~ не зависит от преобразования координат х' и х2, рассмотрим декартовы координаты (х, у) плоскости течения. Пусть существует точка М, в которой х7;~ = О. В силу уравнения задачи 23.28 б) выполнено ~7,47'ь2] = О, т. е. М не является точкой экстремума. 23.33 См. решение задачи 23.32. Так как величина ы/г не зависит от преобразования координат х' и х2, рассмотрим цилиндрические координаты г и г, в которых уравнение оси течения есть г = О. Пусть в точке М выполнено ~74(а2/г) = О.
В силу уравнения задачи 23.29 а) выполнено T;~2(ю/г)]М вЂ” — О, т. е. М не является точкой экстремума. 23.34 Запишем уравнение задачи 23.28 б) для функции тока дЬУ~ д2/ дЬФ д~ дЬФ д1 ду дх дх ду + / д4 д4 д4 ( дх4 дх2ду2 ду4) (0.23.1) Представим функцию ф в виде Ф(х, У,1) = Фо(у) + 2д4(х, У,1), гДе 4~о — фУнкЦиЯ тока невозмУЩенного течениЯ, ф4/фо << 1. 159 З;).,(1ииггмггки югзкггй и(г жими( мой жидкости (то фе удовлетворяет уравнению 10.23.1) и Ии 4зг(го =— 1у' Учитывая получим ДЬг~)1 а) + Д1 ДЬф1 Дгр4 И'и и[у) Дх Дх (1уз ; Д4 Д4 Д4 ~, — о~ — +2 + — 4/ф1 = О [ Д 4 ДхзДуз Ду4/ б) ф= — =О при у=~(4. дф Ду [е, — е; )е; (2'к' = Д[о( — о,) „ е,у Дхг о /Д[е, [о~ — о()] 1 г о( ( /ГД, 1 Д = / ~ —. [е, [о, — о;)) — — —, [р(о,' — о4)) (Л' = / [ Дх~ гз г г 214 Дхг = — / 1о,' — о,) [ — р6„+ 2ре( )и ИД = О.
1 (~ г / г г гг ди С помощью тождества 2( ') — 2( ) = 221((4 — 2'2)2'= = 22 1 (2( , '—;;);; 2 (ц; —;;) ( 2 — .О)) гг' и доказанного равенства получаем г ( ') — Л,) = 2„1 (,,', —,ц) (.,', — ...) 22' > 2. 23.35 Выполним очевидные преобразования. Для простоты выкладки проводятся в декартовой системе координат.
161 23. Динамика вязкой нггжимвгмой жидкогти 23.42 Доказательгтво аналогично задаче 23.41. 23.43 Вогпользуемгя результатом задачи 23.42: 1(в') > 1(и), где иг и в -- решения уравнений Папье- Стокса и Стокса соответственно. Из уравнения кинетнчегкой энергии следует Ог1г = г1А', 1(и') = — 'Р', 1(и) = — 'Р, Р' < Р.
'Р = 2Р / е;;е" Н'. 23.44 Поля скорогтей и давлений имеют вид 1 — Л 1г1г 1 г'З Зя'г и, =3нг, н,= — гг~ — —— 45 ' 2 (йз йг) 31ги г а~ г — О~г' Р=, ~ — г, ° ~+Ро = 25 Ь' 2!г где я = Ыг -- уравнения плос костей, Ро —— р~, 11 = сопя1. 1г=й' 23.45 Вне зазора. между дигками течение практически отсутгтвует, а давление можно считать погтоянным, равным рв. Используя решение задачи 23.44, найдем дп, гз — ' 11з Р.. = — р+ 2р —, = 31ги ., — Ро. я=я дз 41г,' д4 Интегрируя, найдем гилу сопротивления К = ййз 23.46 Для тонкого слоя большой протяженности очевидны неравенства. д д — » — и о,»о,. дя дг. Формула для Р в этом приближении Зри(г — ггг ) Р= — +Ро 41г' по сравнению с решением задачи 23.45 имеет относительную погрешность 12 — « 1.
11г Сила гопротивления оказывается такой же, как в задаче 23.45. 6 зяя, яаая 162 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.47 б) С помощью формул д~ д~,д~ дУ дУ,д~ 2 — = — + г —, 2 — = — — 1 —, 1" = Дя, я) дя дх ду де дх ду уравнение Стокса можно представить в виде дзф 41р дядя' дя Проверкой убеждаемся, что это уравнение удовлетворяется. 23.48 Указание: Убедиться проверкой. 23.49 Неизвестные константы находим из граничных условий: е„=ив=О при В=а, ех! =и, р~ =ро. 23.50 а) Решение ищем в таком же виде, как в задаче 23.49. Из граничных условий при Н = а дев ев е„=О, 2е в= — — — =О и е,! =и, дН Л находим аи А=О, В= —, 2 аи Н=О, С= — — и, 2Н ев = — ившд 1— дев Рла = — Р+ 2Р— = дй а з~ е„= исовд 1 — — ), Н)' ра.и сов д Р— Ро— Н Зраи сов д — Ро + Получим решение: иа совд Заи Зраисовд 4Нз ' 4Н ' 2Лз дН / дС з~ / За а ен = — + 1Н вЂ” — С) совд = и~1 — — + — ( совд, дл ~ дЛ,) ' ), ~л 2Н',) ф„, дН дС / За а е4'"' = — + — саед+ Св1п д = — и~1 — — + ( ьйп д.
Кдд дд 4Н 4„з( Заив1пд Г~ ~з (го$е)„,= —,, В=р/ ~го1е~ ~Ь'=бнраи~, г'=бнраи. 2Н Формула для силы сопротивления Е называется формулой Стокса; с = 12/Йе. 103 23, Динамика вязкой несжимаемой жидкости Величина силы сопротивления пузыря равна Е = (ря„сов 0 — ряя ип В) ЙЯ= 2ха ряя сов д тп д йд = 4хра~3, л о что в 1.5 раза меньше, чем для твердого шара; с = 8/йе.
б) При всплытии пузыря его вес и сила сопротивления уравновешиваются силой Архимеда; поэтому где р, и р — плотности воздуха и воды соответственно; Для данного радиуса пузырька получим и = 0.8 см/сек, йе = 0.4. 23.51 Результат следует из того, что Ьр = О. Введем безразмерные переменные у и о р с~с — й= —, б= —, р= —, С= —. К Р' рУ" Т,' Уравнения неразрывности и Папье — Стокса в безразмерных пере- менных имеют вид дб — =0 ду д 1дй Х,' дй — — + — — + —— дх йе доз о'йе дуя ~2 д- 1 дзб 12 дзб + + дй дй дй =+й — +б— д1 дх ду дб дб дб =+й — +б— д~ дх ду оз ду йедх о~йедуз' где йе = ПЬ/и — число Рейнольдса. При йе » 1 и Рйе/Лз 1, получаем уравнения Прандтля (23. 2).
Толщина пограничного слоя равна 6 Ь/ъФее. 23.52 Пусть б «Л. Из уравнения неразрывности следует, что характерная поперечная скорость б ~l — П Ь 164 Глава 5. Механика жидкости и газа //" 23.53 —, +/и'= О, /(О) = /'(О) = О, /'(оо) = 1. Решение краевой задачи находится численно, 1,з дп~ „~ рффи дд я=о х /и(0) 0.332. 23.54 Уравнение 11рандтля можно записать в виде дзц д д(1 д д — и — = — (о' — и) + ((1 — в) — + — (в(11 — и)] + — [о(1б — в)).
ду~ д1 дх д* ду Интегрируя, получим требуемое соотношение. х/2 — 1 1 — г/4 23.56 бб —— , 6 = 23.57 Из соотношений задач 23.56 и 23.57 следует и11о = 1 —— Отсюда — — д — = 0.328 23.58 б) т/'~ — ', ' Я/" = ьч+ /"'. (из+ 1) 2 в) Обтекание клина с углом раствора 2хти/(т+ 1). Этот класс течений получили Фоккер и Скен (1930). г) Граничные условия: ЦО) = /'(0) = О, /'(со) = 1. 23.59 а) На свободной поверхности р„, = О.
С помощью соотношений задачи 23.9 получим до' 2м = (го1в), = — = 2К(11 + и,') при у = О, ду где К вЂ” кривизна линий тока на свободной поверхности. б) Так как и'= — 2 мауно~~ =и' =О,то !я>б к>б о и ° мо ° 1И15 — « К 1 11 1/Йе 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 165 23.60 Как показано в задаче 23.59, в пограничном слое компоненты скорости равны Г д(о'+ и') и = Цх)+ и', о = — / д оу. дх о и' 1 дП Учитывая, что — ° —, положим и = 1Х(х), о = — у — и, ис- ~/Яе дх пользуя уравнение Гельмгольца для вихря, см.
задачу 23.28 а), получим требуемое уравнение. у 23.61 а) Пользуясь соотношением и' = — 2 (м Ну и интегрируя о по у уравнение для о~ задачи 23.60, получим требуемое уравне- ние для и'. б) Подставляя в уравнение Прандтля и = Цх) + и' и учитывая и' 1 оценку — —, получим требуемое уравнение для и'. ъгЯее 23.62 а) Диссипируемая энергия равна П = ~о+~, где величина ьо = 2р ( ео ео, о'г' вычисляется по потенциальному и обтеканию, см. задачу 23.5 в), ~з Х7о — — 2р ~ — Ид = 12кф!~а, а я потому что о = — тяп В ИЯ = 2ха е1п йЮ. Следовательно, 3 з .
2 ь' = 40 ео е';, сЛ'+ 2,и е', е, 'сЛГ, где е';, вычисляется через вязкую добавку к скорости, е';, ° 1 в пограничном слое толщины о ° — и е';, ° О~ — ) вне ~о пограничного слоя. Отсюда следует Х> ° с/Яе б) Учитывая, что г 1Х = Р, см. задачу 23.6, найдем К = 12ку1Ха 1+ О( — ) ), с~ = —. ~, Я,~( — Я. 166 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.63 а) да; б) да; в) 1) нет; 2) да. 23.64 Воспользоваться формулой 1 ~„ОРо1 а1" а1' Й Й которая для функции 1 = Дх',1) следует из определения производной ф/Ж, условия несжимаемости и свойств осреднения; Условие на границе: б~ = 11, где 11 — скорость границы. 15 23.66 ит ' — ' 10 ~ мз(с = 10 иводы.
йй - р д~6 23.67 о1ч и = О, — = à — игай — + АьЬЙ+ А„—, а1 Р дг где Ь вЂ” двумерный оператор Лапласа по горизонтальным координатам, г — вертикальная декартова координата. 23.68 Интегрируя уравнение движения Рейнольдса йт~~ а ай — ~+ри — =0 Ну (~у' и используя гипотезу Прандтля, получим и у — +и В области у > о пренебрегаем вязким напряжением и получаем логарифмический профиль скорости Ю„ 0= — 1пу+с, где о. =,/то(р называется динамической скоростью; с = сопв1. 23.69 При у > о имеет место турбулентный поток, следовательно, см. задачу 23.68, и, о = ит = — 1пу+с.
ж При у < о из уравнений ламинарного движения ай го и — =— Ь Р находим о,.у и 23, Динамика вязкой несжимаемой жидкости Условие йе~ = 1 дает б = —, й(б) = о,. Далее, приравнивая оа' блам(б) = бт(б)~ найдем "*У б = о, + — !и —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
