Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 22
Текст из файла (страница 22)
гс и Ю 23.70 — =,)'(у, р, то). По П-теореме ду отсюда о = с Ю/Ну = с = сопвФ, то((руг) то — !п у+ сы Р т т 23.71 с — = — — е!!ч(й+ д ), и = рсТ'и'. р Здесь д — средний поток тепла, с — коэффициент теплоемкости. В среде выполено соотношение ,((- +,т) =о, ф 23.72 дя — — а —; а. = аи = ожгу т твТ, т т г "о 1у ' 1у ' В турбулентном потоке, рассмотренном в задаче 23.68, имеет место равенство Ю оа ф зсу Пренебрегая молекулярной теплопроводностью и интегрируя, получим Чко Т=сопИ+ !пу, где о,= Омо„ 6Т где дк —— — а —; а — коэффициент молекулярной теплопроводноНу' сти; Глава 5. Механика жидкости и газа 168 24.
Волны на поверхности тяжелой жидкости 24.1 Для решения задачи требуется найти потенциал скорости ~р(х, у, з, г) и форму свободной поверхности Дх, у, Г). Потенциал скорости определяется уравнением Лсо = О. Граничные условия на дне и на свободной поверхности имеют дп =-л ' й дг д р (угас$ у)з '~ дг 2 (,†.
Второе уравнение — это кинематическое условие на свободной поверхности; третье — динамическое условие, оно следует из условия р~ = ро и интеграла Коши-Лагранжа. м=г Начальные условия при г = 0 задаются равенствами Дх, у, 0) = ~о(х, у) р(х у, ~о, 0) = ~ро(х, у), функции ~о(х, у) и ~ро(х, у) заданы. 24.2 Линеаризация условий на свободной поверхности дает Поэтому а для потенциала скорости ~р получается следующая задача в области с известной границей Ь~р= О; функции ~ро и ~о заданы. Вместо ~ро может быть задана производная ьо(~~У) = (д ) дг„ 24.
Волны на поверхности тяжелой жидкости 169 24.3 Потенциал скорости ~р будем искать в виде ~р = 1т ф, где ф = /(х)ень '>. Уравнение Ь~р = О дает дс = (А, е~' + Азе ~') е'~ ~* "О. Из граничного условия при х = — а следует А~е"" = Азе "" = 2С, и, если С и и действительны, то ис = Ссп(й(сс+ г)) вш(1сх — сА), аналогично получается решение ~р = Яе Д которое отличается сдвигом фазы (Йх — иЛ) на я/2. Используя граничное условие при г = О, получим диснерсионное соотношение ыз = дйй йа.
Свободная поверхность определяется уравнением ь = асов(нх — сос), где а = С~ ~оп йи/д. б) Р = дьй~, с = ъ/Ф. 24.4 а) И'(Я) — аналитическая функция, поэтому это течение несжимаемой жидкости, причем 4И' с1И' 1т— =О, Ле— = с. 47,, а, Функция тока есть 4 = 1гп И' = с(х — ае~'совйх), Уравнение линии тока 4~ = О есть х = ае 'сояйх — асовйх(1+ айсовнх+...). Если ф = Π— свободная поверхность волны, то вдоль нее справедлив интеграл Бернулли г 2 2 2 д 2 — с — сса1с соя йх + да сов йх + с~О(а й ) = сопв$, откуда с и х = асов/с(х~+ сс), х~ = х — сй, б) где а — амплитуда, с — скорость волны.
Для периодического движения должны быть заданы амплитуда а и длина волны Л = 2я/Й или частота ш, что соответствует двум начальным условиям. Точки ~ = сопв1 перемещаются со скоростью с = си/Й, которал называется ф зовов скоростью. Ло 1'лава Гз. Механика жидкости и газа 24.5 а) о = 1)+и', о, = о'.
Из результатазадачи 23.61 при условии 0(х) = с и ай « 1 для и' получаем краевую задачу: ди' дзи' ди' с — = и —, — = 2сай~совкх, и'~ = О, дх доз ' дх,-о ! -+- е решение которой ищем в виде и' = Ве1Аем' 'ь 1. В результате о = — Й(1+ 1))/Ре/2, А = сан(1+ 1)~/2/Ре. Из уравнения неразрывности следует о о В пограничном слое толщины о ° 1/(йз/Ре) величина о' изменяется от о = О при х = О до о = — саа совах при х = о. / 2 Ре б) Вне пограничного слоя вязкая добавка имеет потенциал ф, так что и = цгас1(~р+ ф). Из условия сращивания асимптотичедр' ских разложений: внешнего —, при г -+ О, и внутреннего о', при г †) б, устремив о к нулю, получаем краевое условие для у': д~р' д...
~.=б При х — ) — оо имеет место ф -+ О. Таким образом, ~р' = 2(са/Ре)е"'совах. С учетом решения задачи 24.4, найдем ~р = с (х — ае ' в)п ах] + ~р'. 24.6 Производная по времени от работы силы тяжести равна г1хз) хз г(х О ',Х = - /Ис / .. * = - — „у * / Н*) = -л — ь х2 — — — ~ 4х — (хг — х1))з ~1 Здесь учтено, что )" х(о„— В) 4а = О, где дИ вЂ” граница объема ви И, а Π— скорость этой границы. 171 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 24.7 Воспользуемся решениями задач 24.4 и 24.5. а) В системе координат, в которой скорость жидкости равна нулю нри х †> — оо, для идеальной жидкости выполнено И ( -мя'1 и — гп = — — саге =и~ ! гк/й а сое йв пг сХх = — Рагс (1+ 0(ай)), о — сс Р9 г Ен, = — па =Е„„.
2к б) В вязкой жидкости и = 8габ ~о+ в', где у = Ве И'(Я). Здесь ~н'~ ° сне ~г~ внутри пограничного слоя толщины б Лйе ~г~ и (и'( сЯе ~ вне его; на поверхности волны и„' = О. Следовательно, выполняется равенство Е „„= Ео+ Ег + Ег, где Ео = — /(игарку) ~Л' = — нпгс, 22 2 Е1 = р йч(~он') сП' = р уп„'ао = О, а~ Р / (пг)г ~р Ве-зХг 2,/ в) Для идеальной жидкости Е„+Е„„„= сопв1, для вязкой жид- кости с~(Е„, + Е„„„) = — Р й. 24.8 Представим н = игарку+ в'. Диссипируемая энергия Равна Хг = 'По+ О', где Рп = 2а е",;е;, (Л~, Р' = 4а е', ео.
аЪ'+ 2а е;',е;'; ИК Здесь ео вычисляются по потенциальному обтеканию, а е,'" вычисляются через вязкую добавку и'. По формуле задачи 23.5 в) Хго = 2гг (бгги3ф'!~ сЬ, с где,С вЂ” профиль одного периода волны, определяемый уравнением х = ~(х) = а сових, К ал = ~айх. 172 Глава 5. Механика жидкости и газа Согласно интегралу Бернулли на свободной поверхности имеем (~гаг1 ср) = сопе$ — 2д~с поэтому зл/Гс Юо = — 4ад ~~о Нх = 4крда~й. о Учитывая, что 1 е'; ° 1 в пограничном слое толщины 6 ° ц йъ~Яее 1 е; — вне пограничного слоя, х/Яее ~о находим с'.
Ме 24.9 а) Уравнение энергии г1(Е„, + Е,„„) = — Гй. По результатам задач 24.7 и 24.8: Е„, '+ Е„„„= рксза2, ьс = 4к14с2(ак)2, поэтому — 2лл24 На = — 2ой~а й, отсюда а = аое ~'~ ~. 2х 4сс с б) При 1 = — окажется: — = е Яе, где Яе = —. кс ао йр 24.10 Решение будем искать в виде суммы двух волн с одинако- выми ~Й~, м и а, бегущих навстречу друг другу, см.
задачу 24.3, ф = С сЬ1к12 + 6)) (е'1~* ~'1+ е'1~*+~'1), у = Ле ср = 2СсЬ(х(г+ Ь)) совоЛ сов кх, ю г, = ав1пгоГсоекх, а = — 2С вЂ” сЬЬЬ (стоячая волна). д Граничное условие для х = О при таком выборе вида реше- ния удовлетворяется автоматически, а условие при х = Х, да- ет в1пИ, = О, й = кп/Е или Л = Еп/2, н = 1,2,.... Значения к = ки/2, называются собственными волновыми числами, а со- ответствующие им (в силу дисперсионного уравнения) частоты го — собственными частотами бассейна; полученное решение называют собсгпвенными колебаниями бассейна. 24.
Волны на поверхности тяжелой жидкости 173 24.11 Из днсперсионного уравнения, см. задачу 24.3, следует, что для каждого значения Й имеется две волны, для которых В силу линейности задачи решение можно представить в виде откуда гдг(ь) ьггдг(/с) ~г(/с) = ь~г — ь~г ьггдг(й) — гдг(к) Ь(й) = мг — ыг где 1 ~ гя 1 Г . дг(й) = — / ~о(х) е ' *Нх, дгЯ = — / ~о(х) е '" дх. 2к,/ 2к,/ 24.12 Результирующая волна имеет вид ~ = ~г+~г = 2псов йг+ х — ьгг+ — 1 х хЬ/с — ~Ьм х сов = А(х — 1Л) сов(квх — ьг(коЯ, 2 Йг+йг, г Ьй~ где Йо = ; А = 2а сов ((х — И) — ) — амплитуда волны; Ььг й)~ Г =, а при Ьк -в О, У = — ~ — групповая скорость.
Ьк' Так как Ьк мало, то производные дА дА — и дх д1 малы, т. е. амплитуда А(х,~) является медленно меняющейся функцией х и 1. 7 зак. 2369 Неизвестные фУнкции ~г(й) и 1г(к) опРеДелЯютсЯ из начальных условий 174 Глава 5. Механика жидкости и газа 24,13 Поскольку Ь)с мало. положим ссао ао ()с) — ао("е) + — ()с — )се) .
с% ь Тогда у(й) цах — шо) ))с цаох — шоо) у~й) С(Š— Ьо)х' оах с)ао ~ где х' = х — И и с) = — ~ . Обозначим ()с — )се) = Л Ь/с, тогда / у(о~.*о-мх'оо = оо) ур) хш*'го = ооох'ооГ Из этого выражения видно, что масштаб изменения функции А по оси х обратно пропорционален Ь)с, т.
е. А при малых Ь)с есть медленно меняющаяся функция х'. Так как Ьк — заданная постоянная, то = Ле А(х — с)с) еда' '), А = АЬ/с. Отброшенный в разложении частоты оо член дает малое измене- ние фазы, пока ~г (Ьк)~с << 2к. 24.14 а) Из определения и и сн следует условие совместности д/с дон — + — = О. дс дх Дифференцируя дисперсионное уравнение — но+ й(к,х,с) = О по х и используя условие совместности, получим уравнение дй дй д)с дй — + — — + — =О, дс д)с дх дх которое эквивалентно системе Нй дй (Ь дй ссс дх ' ссс д)с ' 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 175 б) Если невозмущенное течение однородно, то дй — = О, ы = й(к, ~).
1 = Цх, ~) дх и волны с заданным значением Й = Йо = сопвФ движутся с груп- повой скоростью дй Распространение фиксированного значения фазы д(х, 1) = де происходит со скоростью (фазовой скоростью) пх д~ ы й В, и 24.15 Согласно решению предыдущей задачи, волна, соответствующая фиксированному значению а., распространяется независимо от волн с другими значениями Й, и энергия волны, приходящаяся на интервал [й~', йг], остах, х, х ется постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
