Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для скоростей частиц соответственно получим, см. задачу 2.13, в,= — ' А с- — * -Л с+ — ', н2= ', с На границе ж = О должны быть выполнены условия на контактном разрыве, см. й 18, р2 = р2, о1 = о2, что дает уравнения для нахождения Л и ~р по заданной /в. Решая их, находим 1 †2 псрс Л(с) = 1о(с), У(с) = Уо(с), где 1+ ~' 1+~' п2Р2 Таким образом, Рс 1 — ~ Р2 2 Р2о 1 + ~ Р1о 1 + ~ а) При прохождении волны из воздуха в воду аср1 « азр2, ~ << 1, / 2 2 2 слеДовательно, полУчим Ры = Рщ, Р2 = 2Рщ. б) Если среда (1) — вода, среда (2) — воздух, то ~ >> 1 и тогда Рсы = — Рсе, Р2 - О, т. е.
звУковые возмУЩениЯ из воДы в область, занятую воздухом, почти не проходят. 25. Механика сжимаемой жидкости 201 25.21 В системе координат, в которой ось у направлена по границе раздела и ось х — по нормали гг к ней, см. рис. 25.2, выполнено с = х сов д+ уяп д. Таким образом, в падающей волне ~Во — — А ехр[~(хи сов В+ уа яп 0 — сЛ)) и волновой вектор имеет вид Й = егй сов д+ егкяп В.
Аналогично в отраженной и преломленной волнах возмущение представляем в форме со~ = Аг ехр[ — г(хй~ сов В~ + уй~ яп0~ — ач~)), ~рг = Аг ехр[г(хкг соа дг + укг яп дг — агг~)]. При этом наличие границы х = 0 не может повлиять на вид зависимости всех функций от у и 1, т. е. вновь возбужденные волны должны иметь такую же, как у падающей волны, частоту и у-компоненту волнового вектора ю~ = а~г = а~, й~ яп 0~ = йг яп дг = й яп д. Для падающей и отраженной волн в среде [1) скорость звука одна и та же а, = ог/и = ш/йь Следовательно, й = й~ и д = В~. Во второй среде аг = аг/кг — — а~1/йг. Отсюда'получаем ог ашдг = япд.
а~ Если аг/а~ )) 1, то прошедшая волна отсутствует для не слишком малых углов д (полное внутреннее отражение). Это свойство распространения волн вблизи границ слоев с разными акустическими свойствами лежит в основе эффекта волновода — звуковые возмущения не выходят за пределы слоя, в котором скорость звука меньше, чем в окружащих областях, тем самым не рассеивают свою энергию и меньше затухают. Выполнение условий непрерывности давления и нормальной к границе компоненты скорости позволяет найти амплитуды отраженной Аг и преломленной Аг волн. 202 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.22 Пусть совершенный газ, составляющий первую фракцию, имеет плотность рм массу тп и занимает объем Ум Аналогично для несжимаемой жидкости рг, тг и Уг — — ее плотность, масса и объем.
Суммарная масса т = тп + тг занимает объем У = Уп + 1'г, так что плотность смеси составит т Р~Уп+ рг)г Р= 1, = Массовая концентрация первой фракции равна се = тп/т, второй — тг/т = 1 — о. Очевидно, плотность смеси р зависит от плотностей рп и рг фракций и концентрации о. Запишем эту связь в явном виде: Уп/У = ор/рп (из определения о), аналогично 1г/У = (У вЂ” У,)/У = 1 — ор/рм Подставляя эти выражения в определение р, получим (0.25.14) (1 — о)рп + орг Из-за отсутствия теплообменаэнтропия каждой фракции постоянна: лп = сопе$, яг = сопе1.
Энтропия единицы массы смеси: тплп + тгвг = оп! + (1 о)ег — л(о). По определению скорости звука аг = (Ир/Ир), „„„. Так как в = в(о), то аг = (Ир/Ир) — е,„м. Давление в обеих фракциях по условию одинаково и может быть представлено давлением в совершенном газе р = рп — — Ар,'. Отсюда находим "=(':,)., ('— ,").=" ( — ',").
где ап — скорость звука. в сжимаемой фракции. Входящую в это соотношение величину (Ирп/Ыр)„можно найти из выражения (0,25. 14), учитыва, что рг = сопв1. Получим (1 — о) рп + орг а(о) = ап Рг /гх Найденное выражение имеет минимум при о. = Рп/(рг — рп). При этом, если рг ) 2р,, то а(о.) < ап и, следовательно, имеется целый диапазон значений о, о~ < о < 1, для которых скорость звука смеси меньше, чем в сжимаемой фракции. В несжимаемой считаем аг = оо.
а) а = ап 0.08 27 м/с: б) а = ап 0.11 37 м/с. 25. Механика сжимаемой жидко< ти 203 25.23 а) Направим ось а по направлению скорости набегаю~пего потока и. Положим оа оо + ох1 гу = оу; /, г ~Ь = о„р = Ро + Р, Р = Ро + Р, С точностью до малых первого порядка = . =,+2... т(р)=Р(ро)+~ ~— ~~ (Р-Ро)=т(ро)+ —, г г, ~ И"~~ Р ~, Нр Лу=уа ро поэтому интеграл Коши-Лагранжа дает Роооо.
+ Р = О / / или р' = — роооо'. Кроме того, р' = — ' р'= аогог Из этих соотношений, используя условие и' = бган ф, дг„ г дг„ г дг г д„ г (1 — ало)дг+дг+дг — О, Р— — Роо получим оо ало = —. ао б) На поверхности тела Ео. дф г — = и бган р = ооп + и игаса у = О, дп где гг -- нормаль к Ео. в) Так как тело тонкое и угол атаки мал, то нормаль уу к Ео приближенно перпендикулярна оси я, т. е.
вх мала. где ро и ро — давление и плотность в невозмущенном потоке. Все величины со штрихами, а также их производные по координатам считаем малыми, а производные по времени равны нулю в силу стационарности. С точностью до членов первого порядка малости уравнение неразрывности есть др' оо — + Ро о1У пг = О. дт Интеграл Коши-Лагранжа имеет в данном случае вид о 1ф — +Р(Р) =С, С=сопв$, Р= / —. Так как при я — ~ — оо выполнено о — у оо и р — у ро, то С = 0 5оо + Р(ро) 204 Глава б.
Механика жидкости и газа Поэтому на поверхности тела Хо дтг г дф д~Р д — — ооп + и ягас1~р'= оопх+ па+ — п,. дп ду дг Далее, так как точки поверхности Ео тела близки к оси х, то можно считать, что граничное условие должно выполняться не на Ео, а на отрезке [О; 1] оси х. Итак, граничное условие на поверхности тела сводится к условию ду дсо' ду дф ду оо — + — + — =0 дх ду ду дз дз при 0 < х < 1, у = х = О.
Здесь 1(х,у,х) = 0 — уравнение поверхности обтекаемого тела Ео. г) Для потока несжимаемой жидкости уравнение для потенциала есть Ь р = О, а интеграл Коши — Лагранжа и граничные условия имеют тот же вид, что для потока сжимаемой жидкости с малыми возмущениями. 25.24 а) Используем соотношения, полученные в решении задачи 25.23. В этом потоке у = у(х, у), а уравнение поверхности обтекаемого крыла имеет вид у — 62(х) = 0 для нижней стороны, и у — 61(х) = 0 для верхней стороны.
Уравнение для потенциала есть дг г дг (1 -Мг) — + —, о д.г Граничные условия на поверхности крыла дф Д6 — =оо — при у=О, 0<х<1, ду с1х где 6 = 62 на нижней стороне, 6 = 6г на верхней стороне. б) Пусть Мо < 1, тогда введем новые координаты х, у и потенциал р по формулам — у=уФ:Мо, —,=~~~:К. Для у получаем уравнение Лапласа д2 — д2— — + — =О, д г дуг 2о.
Механика сжимаемой жидкости 205 а граничное условие не меняет вида д— =и — при 0<х<1. ду я-~о Формула для р' принимает вид Роно дР р = (1- М' д' Видно, что задача для Р в координатах х, у совпадает с задачей для у в координатах х, у, соответствующей обтеканию крыла потоком несжимаемой жидкости, см. задачу 25.23. На поверхности крыла возмущение давления в потоке сжимаемой жидкости во всех точках получается в 1/ф — Мг раз больше, чем в потоке несжимаемой жидкости, во столько же раз больше получается и суммарная сила, действующая на крыло, так как она равна — рп Йо = — (р — ро) и йо = — р'и йо. Здесь Ео — поверхность крыла, п — нормаль к Ео. Известно, что для потока несжимаемой жидкости в рассматриваемых условиях верен парадокс Даламбера — Эйлера — сопротивление тела равно нулю. То же верно и для дозвукового потока сжимаемой жидкости.
25.25 Используем соотношения, полученные в задаче 25.24 а). При Мо > 1 уравнение для у есть волновое уравнение д'Р г д'д дуг д,г ' где Л = Л/Мог — 1. Его общее решение есть у = Д (х — Лу) + )г(х + Лу). Функция Л постоянна на линиях х — Лу = сопя1, Л постоянна на линиях х + Лу = сопа1. Синус угла наклона этих линий к направлению скорости потока равен Ы/М.
Такие линии называют линиями Маха. 8 змс гзбг 206 улана б. Механика жидкости и газа Так как при х + — оо должно быть выполнено ~р' = О, то в верхней полуплоскости, у > О, должна равняться нулю функция ,!з: а в нижней, у < О. — функция !ы Найдем (! и уз с помощью граничных условий на поверхности крыла. Имеем при О < х < ! р ай! ! ~!Л2 — Лл = ео —, Чг = оо ох ' с!х' Отсюда о о оо у!(х) = — — Ь|(х), )з(х) = — Ьз(х). Л ' Л Итак, в верхней полуплоскости: Л!о' = — по Б!(х — Лу) есчи 0 ( х — Лу ( 1, у'=О если х — Лу < О.
В нижней полуплоскости: Лу' = оо 6!(х+ Лу) если О < х+ Лу < 1, р'=О если х+ Лу < О. Из условия непрерывности скоростей и, ся йа оси х за телом, получаем Х,'(х) = У,'(~) ° — ЛФ*) = ЛФ*), т. е. Д(х) = Д(х) = О при х > !. Следовательно, Д(х — Лу) = сопи! при х — Лу > 1, и !з(х+ Лу) = сопев при х+ Лу > 1, Поэтому за линиями х ~ Лу = ! снова будет невозмущенный поступательный поток, Рис. 0.25.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
