Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, поток возмущен только в области, ограниченной соответствующими линиями Маха, см. рис. 0.25.3. 207 25. Механика сжимаемой жидкости Используя интеграл Коши — Лагранжа, см. задачу 25.24, найдем возмущение давления на верхней и нижней поверхностях крыла Ро"о пп1 г Роне ~М р= — — и р= — — —. Л тих Л 4Ь Проекция на ось х силы, действующей на крыло, сила сопроти- вления, равна — рп й~. Здесь Ео поверхность крыла, и нормаль к Ео, внешняя по отношению к крылу. В рассматриваемом приближении на верхней и нижней сторонах крыла соответственно 46, сОгг в = — — и и т— дх у Нх а интегрирование по поверхности крыла можно заменить интегрированием по соответствующему участку плоскости у = О.
Сопротивление единицы длины крыла определяется равенством Роге чог + Для плоской пластины, обтекаемой под малым углом атаки е, Поэтому сопротивление Л есть 2роооге Г~,' — 1 Таким образом, при сверхзвуковом обтекании крыло испытывает сопротивление. Оно называется волновым и существенно связано с тем, что область, где скорости и давления возмущены, простирается назад до бесконечности, и возмущения в этой области не затухают при удалении от тела вниз по потоку. 208 Глава 5.
Механика жидкости и газа с)=о+а, ся=)) — а и два уравнения в характеристической форме а)р де, И д — — + — = Р', где — = — + (н+ ра Й Й Й д) Ир И)) И д — — — + — = Е„где — = — + 1н— ра Й Й Й д) д а) —, дх д а) —, дх которые вместе с третьим уравнением исходной системы соста- вляют полную систему в характеристической форме. 25.26 а) Рассматриваемые уравения имеют вид др др дн — +н — +р — =О, д) дх дх дн дн 1 др — +.— +- — =О, д) дх р дх дл дл — + н — = О, л = я(р, р). дх б) Третье уравнение системы пункта а) имеет характеристиче- скую форму, скорость соответствующих характеристик с = щ а первые два — нет. в) Сначала перепишем уравнение неразрывности так, чтобы в него входили только производные р и н, учитывая, что дз дл р = р(р, л) и —, + е — = О.
д) дх Получим Умножим уравнение неразрывности на 1), уравнение движения на 1з и сложим их. Получим Эта комбинация имеет характеристическую форму, если 1за 1) р ))+ — = ))+ — = с, 1! р т. е. при 1)/1з — — ~а/р. Таким образом, получаем два значения дпя скорости характеристик 25. Механика сжимаемой жидкости 209 2а /~р с„+ Л Хь=и~, а= / —, Г= у — 1 'у р с„ 25 27 ела, с; 25.28 Характеристики Г, и Ьв~ с уравнениями Их Нх — =и — а и — =о+а, й Й проходящие через точки (хл; О) и (хв, О), а также значения параметров о, р и я в областях левее Ь и правее А+в, не меняются при изменении в момент 1 = 1о значений н, р и з на отрезке <хл, 'хв).
Это можно обосновать, используя метод характеристик, применяемый при численном решении и состоящий в следующем. Пусть решение при 1 = 1о известно и надо найти решение при х = х1 в момент времени 11 — — йо+ Ь~. Проведем через точку (х1, .11) характеристики и заменим производные в уравнениях в характеристической форме отношениями конечных разностей. Из этих уравнений, зная н, р и я в точках пересечения характеристик с осью 1 = Фо, найдем их значения в точке х1 в момент времени 11. Затем аналогично можно построить решение в момент 1з = 11+ Л1 и т.
д. х, х Рис. О.25А. г) При адиабатическом баротропном движении з = сопз1 во всем потоке, а = а(р), Нр = аздр; введем инварианты Римана Хч. и Х по формулам Га Га Хь — — с+ / — Ыр, Х = о — — Нр. Р Р Уравнения в характеристической форме переписываются в виде: < Х+ — сопв$ вдоль характеристик Их/Й = с+ а, Х = сопв1 вдоль характеристик дх/Й = о — а. 21О Глава 5.
Механика жидкости и газа Очевидно, что значения е, р и я в точке х1 в момент 1 зависят от их значений в момент 1е только на интервале х~ < х < х„, где х~ и х, — значения х в точках пересечения характеристик Ь+ и А, проходящих через точку (х1, 1), см. рис. 0.25.4. Непрерывность решения существенна, так как только при условии непрерывности характеристики одного и того же семейства не пересекаются и поэтому решение, полученное методом характеристик — однозначное.
25.20 Для рассматриваемого движения я = сопяФ. Подставляем в систему, приведенную в решении задачи 25.26 а), зависимости е = е(В) и Р = р(В). Получим 1 /дВ дВ~ ВР дВ Ве — '( — + е — ) — + р —, — = О аз (,а дх,) ВВ дхВВ дВ дВ'~ Ве 1 дВ Вр — + — ~ — +- — — =о. д1 дх( Ю рдх ВВ Это система уравнений для нахождения Вр/ВВ, Ве/Ю. Чтобы она имела ненулевое решение, ее определитель должен быть равен нулю, т.
е. дВ дВ дВ дВ д — + е — = ~а — или — + (е х а) — = О. дс дх дх д1 дх Подставив эти соотношения в исходную систему, получим дВ / 1 ВР В ~ Г ВР— ~р — — + р — ( = О, т. е. е ~ / — = М = сопя$. дх (, аВВ ВВ( ',/ ра Итак, возможны два решения в виде волны Римана, соответству- ющие знакам + или — в формулах. И первом из них Г ар з = е — / — = сопя$ ра во всем течении и В = сопя1 вдоль характеристик Ь+ с уравнением Вх/й = е + а; характеристики Ь+ являются прямыми линиями х — (е+ а)1 = сопя$, поэтому е = е(В), а = а(В), и, следовательно, в+ а = сопя1 вдоль 1+.
Если х — (о+ а)~ = сопя1, то е и р не изменяются, следовательно, е = е(х — (е+ аф, Р = р(х — (е+ а)1). 25>. Механика сжимаемой жидкости 211 25.30 а) Направим ось т, вдоль трубы. При 1 = 0 пусть поршень находится в начале координат, газ занимает область я ) О. Система уравнений имеет вид, см. задачи 25.26 и 25.27, 2а ,> = о — = сопв1 на А 7 1 (О. 25. 15) 2а )+ = о+ = сопе$ на Ь+, (0.25.16) где Ь~ — характеристики с уравнениями «<с/Й = о ~ а; а— скорость звука, причем Я~ а ~ Ц~ 27 Р ао С =сопМ= 27 Ро Граничное условие есть о=о =и при я=Х(<), где Х(1) — координата поршня.
Это условие выполняется, пока газ не отрывается от поршня, см. пункт г). Х(:< Рнс. 0.25.5. Эти формулы показывают, что каждое значение о и р переносятся в пространстве со скоростью (о + а), позтому решение представляет собой волну. Значение (о+ а) для волны Римана равняется ) <>р/(ра) + а+ М и зависит только от р, следовательно, различные значения р переносятся с различными скоростями, позтому форма волны изменяется. Вторым решением является волна в которой постоянные значения о и р переносятся со скоростями (о — а). 212 Глава 5. Механика жидкости и газа б) Предполагая решение непрерывным, применим метод характеристик, см.
задачу 25.28. Используя соотношения (О. 25.15) для характеристик, проходящих через точки оси х (х > О, 1 = О), получим, что о = О, а = ао, р = ро всюду в области х > ао1. Следовательно, граница Г возмущенной области перемещается со скоростью ао и совпадает с характеристикой Ьо. На всех + характеристиках Ь, начинающихся в точках 1 = О, х > О и пересекающих 1,о+, имеет место равенство 2а 2ао Ю— = сопвг =— (т — 1) ' (у — 1) ' т. е. а = ао + 0.5(т — 1)о всюду в области, примыкающей к Ьо+, поэтому на А+ величины о и а — постоянны, А+ — прямые.
Это волна Римана, см, задачу 25.29. в) Считая, что область волны Римана простирается до поршня, и используя граничное условие о = и на поршне, имеем о(х,1) = и(т) на, характеристиках х — Х(т) = с(т)(1 — т), где т — значение 1 в точке пересечения характеристики Ь+, проходящей через точку (х; 1) с траекторией поршня х = Х(1), 1 с(т) = (о+ а)„х~,) — — ао + — (у+ 1)и(т).
С=г Выражая т через х и 1 из уравнения характеристики и подставляя в выражение для и(т), найдем о(х,г), а, значит, и а(х,1) и р(х,~). При т < 1ы т. е. если х > х~ = Х(11) + с(г1)(1 — 11), получим — — ао + Л1 Если т > 1ы то и(т) = и1 = сопвг, следовательно при х < хс(К) = Х(11) + с(11)(1 — 11) имеем поступательный поток со скоростью о = и~ и 2т Р— Ро 1+ 25. Механика сжимаемой жидкости 213 Хф 2ад (и( < у-1 (и) > 2а, у-1 Рнс.
0.25.6. д) Устремим 1~ к нулю. Картина характеристик на плоскости (х, ~) будет иметь вид, показанный на рис. 0.25.6. В области хаий) < х < ао1 все характеристики Л+ проходят через начало координат, их уравнения х= ао+, и Отсюда В области х~(1) < х < аог наклон характеристик Ь+ к оси 8 с ростом т уменьшается, так как и < О и ~и~ возрастает, поэтому характеристики Л+ не пересекаются, решение однозначное. Плотность и давление в частицах газа в зтой зоне со временем убывают (волна разрежения), а сама волна растягивается в пространстве. г) Так как а > О, то всюду, в том числе на поршне, должно быть и > — 2ао/(у — 1), следовательно, полученное решение применимо пРи (и) < 2ао/(У вЂ” 1) (~и( = 5ао пРи т = 1.4). ПРи и = — 2ао/(Т вЂ” 1) давление на поршне равно О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
