Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Таким образом, в дозвуковом, М < 1, установившемся потоке при сужении трубы скорость увеличивается, а в сверхзвуковом, М ) 1, — уменьшается. Чтобы получить на выходе из трубы сверхзвуковую скорость, имея на входе дозвуковую скорость, нужно использовать трубу, сечение которой сначала уменьшается, а потом увеличивается' как показано на рис.
0.25.1З. Труба такой формы, используемая для выпуска газа, называется соплом Лаваля. 9 зак. 2369 238 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.52 Поступая так же, как при решении задачи 25.51 и учитывая, что 11 = сопв1 и еЬ = О, где л — энтропия, получим й~ (Мз 1) ' — г й и Пусть ось я выбрана так, что и > О. а) Е, = д > О, дозвуковой поток замедляется, сверхзвуковой поток ускоряется.
б) г, = — д ( О, дозвуковой поток ускоряется, сверхзвуковой замедляется. Физический смысл этого результата можно понять с помощью следующих рассуждений. Рассотрим столь малые скорости, что в уравнениях движения величиной пнс можно пренебречь. Тогда зависимость давления и плотности от координаты определяется уравнением гидростатики и условием л = сопв1, при этом плотность падает с высотой. В силу сохранения потока массы рн = сопв1, значит, скорость с высотой растет.
Другой предельный случай -- когда скорость очень велика, а членом (Ир)/р можно пренебречь. Движение происходит почти по инерции и частицы эа счет действия силы тяжести замедляются при движении вверх и ускоряются при движении вниз. 25.53 Используем уравнение состояния совершенного газа в виде р = Сс'г р'", С = сопв1. Тогда РЬ, ур с, Л+с~ Нр=а пр+ —, а = —, у= —,= се Р сг с„ Из уравнения энергии, см. задачу 25.50, с учетом тождества Гиббса 1н= ТсЬ+ —,1Р р Р получаем Ир — = — е1 р + — сЬ = — и дп — Т сЬ = — с е1п + 1 е1х. Р Р Рс„ Следовательно, е~р зЫ Т р э но 1 — = — Мз — — — еЬ— сЬ вЂ” М,1 пз Раз г и К 25. Механика сжимаемой жидкости 239 Используя еще уравнение неразрывности, запишем (1 — Мг) — = — ал =— о й ЛХ' Так как движение адиабатическое, то энтропия частиц при движении возрастает за счет трения, Ыз > О если и > О.
Следовательно, дозвуковой стационарный поток в результате действия трения ускоряется, сверхзвуковой — замедляется. 25.54 Используя результаты задачи 25.51, запишем г '1и Р 1' — 1 (1 — М ) — = Из= Ид, и разек аг так как в рассматриваемом процессе 4д Нз = —. Т где Ич — количество тепла, подводимое к единице массы газа за время с1с = йх/и, о > О. Если тепло подводится к газу, то 0а > О, и тогда дозвуковой поток ускоряется, сверхзвуковой — замедляется. Если тепло отводится от газа, то Ид < О, и тогда дозвуковой поток замедляется, сверхзвуковой — ускоряется. Можно осуществить разгон газа от дозвуковой скорости до сверхзвуковой, если подводить тепло, пока скорость не станет равной скорости звука, а затем на последующем участке трубы тепло отводить.
Такое устройство называют тепловым соплом. 240 Глава б. Механика жидкости и газа 26. Газовая динамика 28.1 а) ю = ~а, рюЛ = дв, <т = О; рюш'гч в] = ~ — ~, [го1о] = О. 1др1 Соответствующие слабые разрывы суть звуковые волны. б) ю = О, р = О, (Л, в) = О, а одна или обе из величин о и (Л,т) отличны от нуля. В общем случае [йч в] = О, [гоС в] = в х Л ~ О. Этот тип слабого разрыва есть энтропийно-вихревая волна. 26.2 Согласно формуле (26.
1) — > О, — > О. Поэтому в газе в состояниях (ры рг) и (рз, рг) энтропия и температура не могут при рз ф рг иметь одинаковые значения. 28.3 Могут, например в случаях, когда тангенциальный (или контактный) разрыв разделяет: 1) два газа с разными термодинамическими свойствами, которые при одинаковых р и Т имеют разную плотность; 2) жидкость и ее пар, в состоянии равновесия. 26.4 Вычислив производные (~:). ('",), получим формулы оУ 2 оУ Т Справедливость формулы для (д"+'Н/дУ"+'), можно доказать методом индукции.
В точке (Уо,ре) ударная адиабата Н = О и изоэнтропа л = ло имеют касание не ниже второго порядка, поскольку в этой точке 241 26. Газовая динамика 26.5 Искомые производные и соответствующие разложения имеют вид ) о Дгз О 2 д~'з з ' д$'з яа 12То 2) То д'4 н дьз „' — о= — др'з „24То 26.6 Решение показано на рис. 0.2б.1. 1) 2) 3) Н Я, Я Рис. 0.26.1. 26.7 Для рассматриваемых случаев возможны ударные волны небольшой интенсивности следующего вида: 26.8 Утверждение следует из выполняющегося на ударной адиабате соотношения 2Т вЂ” ' = (Ц, Р)' — ' 26.9 Искомые предельные значения равны др'з но 6То дя уа д$" з м 3 др'з м ' 1) 1' < ко> 3) невозможны; 2) 1' > ~'о, 4) ~' < ~'о и Р' > Ь'о. 242 Глава 5.
Механика жидкости и газа 26.10 Искомые разложения функций имеют вид дг„ дг„ 2) ,г г рг(д р~ (~ — еО) 26.11 Следует из решений задач 26.5 и 26.10. 26.12 Из полученных в задаче 26.4 формул для производных дГ .1' дл к д$'"+' следует, что для рассматриваемых сред верны неравенства с дН'~ ) > 0 при л = ле, Ъ' ф К> и при л < ло, 1' < Ъо; (А) — > О при Ъ' > $'о. Неравенства для функции Н(Ъ', л; К>, ло), которые требуется доказать в задаче, вытекают из ее монотонности на указанных в (А) диапазонах значений 1' 'и л по соответствующей переменной и из того, что Н(К>,ло, К>, ло) = О. Точки (Ъ', а), удовлетворяющие уравнению Н(Ъ~, л, ко, ло) = О, могут принадлежать только областям (р<ро, л>ло) и (р >1о, л<лп).
Следовательно, согласно второму закону термодинамики, в сре- дах, у которых ударные волны разрежения невозможны. 243 26. Разовая динамика 26.13 а) Формулы следуют из соотношений лУг,г чр г Д!, г Следовательно, на прямой существует точка М(Уь < Уц < Уп), где л(У) имеет абсолютный максимум при рассматриваемом зна- чении !г, см.
рнс. 26.3. Следовательно, в соответствии с полу- ченными в п. а) формулами, 4Н~ — ) >О при У<Ум, ,!У г),2 с!Нй — < О при У > Ум. ,!У ~гг Отсюда и из того, что Н(Уь) < О, см. задачу 26.12, Н(Уп) = О, следует утверждение, сформулированное в задаче.
26.14 Для каждого фиксированного гг такого, что — <у <оо, в точках (Уп, ро) и (У, р) пересечения прямой р — ре = у~(Уе — У) с ударной.адиабатой Н(У, р; ! е, рр) = О выполняются неравенства, см. задачу 26.13 и рис. 26.3, > — ~ — ) в точке (Ушро), ! < — ~ — ( в точке !У,р). /др~ /д~'~ д!' ~о ),О (,, Из них и условий на ударной волне (26.7') следует, что юг )гУг < а'. гпо = .! Уе > ао г г б) Иа рассматриваемой прямой н, (Нл/0У) г, Н, (ЙН(й~) 2 суть непрерывные функции У. причем л(Уь) = в(Уе) и в точке экс- тремума функции л(У) производная 244 26.15 В области Ъ' < 1о на ударной адиабате выполняется неравенство, см.
задачу 26.13. а в области 1~ > ео -- неравенство — — — > О. Следовательно, для рассматриваемых сред на, ударной адиабате производные не обращаются одновременно в нуль. 26.16 1) Уравнение ударной адиабаты для совершенного газа имеет вид Р 1о — иг 7 — 1 и= Ро 1 — и1'о 7+ 1 1х 1пп — = и. г+' ро 2) 26.17 Возрастает, так как для совершенного газа е1Т~ аз+ 2иа+ 1 р у — 1 с„— ~ =Т с а= —, <Ь,|~ (а — 1)з ' ро у+ 1 М;„< М < 1, р 7 — 1 а= —, и= —. Ро 7+1 Мз. впв 1+ 26.19 В совершенном газе возможны только лишь ударные волны сжатия (р > ро, $' < К>), а ударные волны разрежения 1Р < Ро, р > Ъо) невозможны, так как с 1о(1 — и) (а — 1) ~ ЙР '1 ро(а+ и) з р Мр)н 2Т(а+ ~)з ' ~,Х~)н К>(1 — из) ' р ' 26.18 Ответ: Мз а+и 1+и Глава й. Механика жндкосги и газа иа+ 1 (1+ и)а еР1 22 ' 26. Газовая динамика 26.20 а) Из условий на ударной волне (26.7') следует, что (» — »о) а = ЯУо — У), где р — ро Учитывая, что у волны У+ вектор и направлен по оси х, то есть в = е, и а = — е у волны У, получим, что уравнения кривых У+, У имеют вид соответственно (1 — «) (~т — 1) (1 — «) (» — 1) '".'Гг~=)( ~~- ' ' '" "лт~Йт'гч б) Качественные особенности кривых У+ и У определяются неравенствами С2 ир ир — > О и — > О на У+; — < О и — > О на У Ни Низ ии ииз в) Зависимость ординаты р от параметров Уо и 7 характеризуется соотношениями др ро(о — 1) (» + «) др (1 — «) (»з — 1) д1о 1о(»+1+2«) ' дС 2(а+1+2«) = р Так как «< 1 и на ударной волне о = — > 1, то Ро д» др — <О и — >О.
дУо д7 26.21 Искомые решения имеют вид гУ 1) и — / — Ыр = сопв1, в = сопвС, х = (и+а)С+С(р). а Г У 2) и+ / — сСР= сопвСч в =, сопвС, х = (и — а)С+~Р(Р). а Здесь 1(р) и у(р) — произвопьные функции. 26.22 В лагранжевых переменных ~, С простые волны определяются соотношениями аС 1) и — / — Ыр= сопв1, в = сопвС, ~= — +~,(р). l а Г У аС 2) и+ / — Йр = сопвС, в = сопвС, ~ = — — +ус(р). а. Здесь Л(р) и у~(р) — произвольные функции. 246 Глава 5. Механика жидкости н газа 26.23 Давление (скорость) можно задать в виде произвольной дифференцируемой функции х, а скорость (давление) — так, чтобы выполнялось одно из соотношений ~ Ъ' Г ~' и — / — др = сопв1 или и + / — ар = сопв1.
а а Энтропия должна быть постоянной. 26.24 Если фронт простой волны обращен в сторону области х > О, то справедливы соотношения ( () () () ( ) () ди $' др ди к' др,, /д(и+ а) ~ 1'4 ддяр — =- — — = —,, Е(р)=~ д~ а д~ ' дх а дх' ~, др ) 2аз д'к'з в' Если фронт простой волны обращен в сторону области х < О, то справедливы соотношения (м'(р) + ф'(р)) —" = -ф(р), (м'(р) + ф'(р)) —" = 1, ди $' др ди $' др, /д(и — а)'~ 1'4 дар з д~ а д~' дх а дх' х др,)~ 2аз д$'з в' 26.25 Характер начальных данных позволяет предположить, что решением задачи будет, по крайней мере на некотором отрезке времени О < ~ < ~ы простая волна г $' и = / — ар+ сы в = сз, х = (и+ а)1+ ((р), а где постоянные с4 и сз и функция ~(р) определяются по начальным данным. В соответствии с этим решением на каждой С + характеристике р и и должны быть постоянными.
Изучим поведение производной др/дх со временем при фиксированном р, опираясь на формулу 2аз д$'з 8 дх см. решение задачи 26.24. 247 26. 1'азовая динамика Из нее следует, что при ! = О должно выполняться равенство /'(р) — = 1. с=о Поэтому, см. рис. 26.4, /'(р) > О там, где р, > О, /'1р) < О там, где р„< О. При ! > О на участке, где /'(р) > О, для каждого р производная др/дх с ростом ! уменьшается, оставаясь положительной. На участке, где /'1р) < О, для каждого р производная др/дх по величине будет возрастать со временем и в некоторый момент времени, став неограниченной, сменит знак с минуса на плюс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
