Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Граница отраженной волны является характеристикой С и распространятся со скоростью звука 1о — а), известной из решения задачи о предыдущей волне разрежения. Покажем, что граница отраженной волны никогда не выходит на поверхность слоя, и, следовательно, искомая р * д ..
р -~~»»д» — 1). и уравнений движения газа и граничных условий следует, что распределения о и а в первой волне разрежения имеют вид 1+1 1 — 11 ' т+1 2 где х = 0 отвечает положению стенки. Составим уравнение необходимой характеристики С 11 > 1з) Их 2 / 3 — у х+111 — =о — а= ~ — 2а1+ ) 1 х(12) 11 у+1 2 1 — 11(' его решение дает 224 Глава 5. Механика жидкости и газа покоя, затем, когда разрыв выйдет на свободную поверхность, начнется движение ненапряженной части пластины в обратную сторону со скоростью ( — оо). Таким образом, после прохождения волны разгрузки пластина в ненапряженном состоянии отойдет от стенки со скоростью ( — оо). Скорость движения границы расширяющегося слоя газа по величине всегда больше, чем ~/2 оо.
25.39 Пусть ось а направлена по скорости оо набегающего потока, ~р — угол между ударной волной и по. Условия на ударной волне, следующие из законов сохранения, см. задачу 18.10, можно записать в виде Ргогп = Роно г г Рг + Ранга = Ро+ Рооп ог = оо, (0.25.17) ог + 7 Рг оо + 7 Ро 2 ~ — 1рг 2 7 — 1ро' где индексы п и т обозначают нормальную и касательную соста- вляющие скорости, огп = о)п в1п ~Р о)у соя ф~ ооп = по в1п ф~ огт — огп соа р о1л в)п ~р оот = оо соыр. Кроме того, потребуем, чтобы скорость за ударной волной была направлена вдоль поверхности клина, т. е. о~а/ог — — 188. Из этих соотношений, зная ро, ро, оо и д, найдем рг, рм о~, о~„и у.
В частности, связь между д и 1о имеет вид ( ( +1)Мг с180 = 18у ( 7, о 1 1 2(Мог в1п у — 1) "о г ~1'о где Мо = — и ао = —. ао Ро Иэ условий (О. 25. 17) можно найти следующее соотношение: г огл — — (оо — оьп) 2 ', (О. 25. 18) г г 7+1 оо — "оных+ а* (7 — 1)по+ 2ао где аг = — критическая скорость звука, см.
эа- 7+1 дачу 25.44. 25. Механика сжимаемой жидкости 225 Отсюда, используя еще, что о1я — — п1 158, можно найти о1х и о~,. Зависимость п1х от омо которая определяется формулой (0.25.18), называется ударной полярой и имеет вид, показанный на рис. 0.25.8. Расстояние ОР равно оо. Ударная поляра пересекается с прямой о =о 158 Рис. 0.25.8.
п1„= о1,,15 при 8 ( 8 „в трех точках А, В и С. Решение, соответствующее точке С, не имеет физического смысла, так как в такой волне знтропия убывает. Решения, соответствующие точкам А и В, не противоречат всем известным условиям и для клина конечных размеров осуществляется то или другое в зависимости от условий на заднем конце.
Угол О,„есть угол наклона касательной к ударной поляре, проведенной из точки О, а угол ~Р определяется из условия непрерывности касательной составляющей скорости как угол наклона перпендикуляра, опущенного из точки 0 на линию ОВ (для решения, соответствующего точке В). 25.40 Система уравнений движения газа имеет вид: (рп) = О, 4 Р +Р--Р ( ро — + сгТ =О, / 4 — Рпо — иТ) =О, 3 Рп = Р1п1 2 1 ! 2 Ро + р — —,и = Р о1 + р1 3 (0.26.19) Рп~ — + сеТ) — -Рос — хсТ = Р1о1 ~ —, + сеТ1 ~,2 ) 3 1,2 где р = РКТ, се = уй/(у — 1). Интегрируя каждое уравнение один раз, получим 226 Глава 5. Механика жидкости и газа Отсюда при условии, что сер = 32с/4, следует уравнение для величины 1 = ог/2+ с Т: 4 Р1Е11 — —,Рл = Р1О111, решение которого при 1'(+ос) = 0 дает 1 = 11 — — о12/2+ свТ1.
Исключая далее р, р и Т из уравнений (О. 26. 19), получим урав- нение для распределения о(х) 87рлш = 3(7+ 1)Р1 "1(е "1)(" "2) (0.25.20) 7 где ог = (7 — 1+ — 2/, М1 = — = о1)/ — — число Маха 1/ набегающего потока, М1 ) 1, ог = о(+со). Решая уравнение (0.25.20), получим в неявной форме распределение о(х) 87р, (2(о — ог) (о1 — оД х= 1п 3(7+ 1)рло1 1, о1 вг 1,и — ог,1 / н1 (7+ 1)М2 о1+ ог где о= и выбрано х = 0 при о = о1 — ог 2(М1 — 1) 2 Толщину ударного слоя можно оценить по формуле о1 — о2 167р(1 + 7М12) (о'(0) ! 3(7+ 1) рло1(М12 — 1) ' что при нормальных условиях, т. е. при р1 — — 1.293 кг/м', а1 — — 331 м/с, р = 1.72 10 ~ кг/м с, 7 = 1.4, 1+ 1.4М, дает 1 1.25 10 ' м.
Например, 1= 1.38 10 ~м при М,(М,'- Ц М1 = 2, что сравнимо с длиной свободного пробега молекул газа. 25.41 а) Вводя плотность потока массы 1, можно переписать соотношение (7.11) при т = О в виде 1'1 =Ж, Здесь о1 и ег — скорости газа относительно поверхности разрыва по разные стороны от нее. Затем проектируя равенство (7.12) при 77 = 0 на нормаль с учетом равенства р„= — рп, получим 2 Р2 Р1 .г Р1 12 Величины скорости волны относительно газа равны $'ля и $2Ц.
25. Механика сжимаемой жидкости 227 б) Аналогично задаче 18.11, исключая из равенства (7.14) при И' = О, д,н = О, д„= 0 величины иг и иг с помощью приведенных в пункте а) равенств, получим 1 иг(рг Ъг) — иг(рг, 1г) + — (рг+ рг)(~'г — ~''г) = О. (0.25.21) 2 в) Подставляя в (0.25.21) выражение и = ПЯТ вЂ” 1) + сопаФ, получим уравнение ударной адиабаты в виде Таким образом, для совершенного газа ударная адиабата есть проходящая через точку (рг, 1г) гипербола с асимптотами у — 1 у — 1 р= — рг и г'=нксг 7+1 7+1' Из (0.25.22) можно вычислить производную Ирг/Й~г при фиксированных рг и $'м При $г — — 1'г она равна 1рг рг а1 где аг = 1рр для совершенного газа.
25с42 а) Подставляя в уравнение (0.25.21) Рг гг Рг гг иг = +См иг = — +Сг, 7 — 1 ' У вЂ” 1 и вводя обозначение Ч = Сг — Сг, получим При фиксированных рм ~'г и Я точки (рг, [~г), удовлетворяющие зтому соотношению, лежат на гиперболе, проходящей через точку 7 — 1 И = ~'ы р=в+ Я, Ъ'г характеризующую состояние газа, которое может возникнуть прн выделении тепла Я при неизменном объеме. Детонационная адиабата изображена на рис. 0.25.9. Очевидно, условиям рг ) О, $'г ) 0 могут соответствовать только точки одной ветви гиперболы. 228 Глава 5. Механика жидкости и газа 0 - IР, Рис.
0.25.9. б) Если на разрыве имеются только три условия, то для выполнения условия эволюционности нужно, чтобы в каждой точке были две уходящие от разрыва характеристики, см. условия (25.2). При о1 > О и о2 > О условия зволюционности имеют вид (0.25.23) о1 > п1 о2 С в2 где о — скорость газа относительно разрыва; в — скорость звука; индексы 1 и 2 относятся к состояниям перед и за разрывом. Первое из этих неравенств означает, что впереди разрыва нет уходящих от него характеристик, второе — что позади два семейства характеристик состоят иэ уходящих характеристик, одно — из приходящих.
На детонационной адиабате условиям (0.25.23) удовлетворяют точки, лежащие выше „точки Жуге" 1 — точки касания детонационной адиабаты с прямой, проведенной из точки А, см. рис. 0.25.10. Чтобы убедиться в этом, Р Е рассмотрим, наряду с детонас ционной адиабатой, ударную адиабату, проходящую через начальную точку А с координатами (р1, К~). Обе кривые представляют собой гиперболы с одними и теми же асим- А птотами. На плоскости (р; Ъ') точки (р2' ъ2) суть точки пе- К ~' ресечения детонационной ади- Рис. 0.25.10.
абаты с прямыми 25. Механика сжимаемой жидкости 229 (р — р1) = — 1 (У вЂ” У1), где 1 = . (0.25.24) 2 2 Р2 Р1 11 Уг При каждом 1~ прямая (О. 25.24) пересекает ударную адиабату только в одной точке (кроме начальной точки р = р1, У = У1). Рассмотрим первое условие (О. 25. 23). Так как 21Р г гг а1 — — У1 — и п1 — — У1 1, (1У см. решение задачи 25.41, то условие эволюционности о1 > а1 означает, что ему могут соответствовать только такие точки на детонационной адиабате (рг, Уг), что продолжение прямой, соединяющей точки (р1; У1) и (рг, Уг), пересекает ударную адиабату выше начальной точки (р1, .У1). Второму условию эволюционности (0.25.23) могут удовлетворять только точки, лежащие выше точки,7.
Действительно, см. рис. 0.25.10, скачки А -+ В и А -+ С соответствуют разрывам, в которых происходит выделение одного и того же количества химической энергии и которые движутся с одинаковой скоростью относительно газа. Поэтому скачок В -+ С соответствует ударной волне, движущейся с той же скоростью о1 = ф'1~. Из эволюционности ударной волны следует, что пн > ан, ос ( ас, см. решение задачи 25.34 в). Итак, второе условие эволюционности выполнено лишь для точек типа С, лежащих на детонационной адиабате выше точки 1. Эта часть детонационной адиабаты отмечена штрихами на рис.
0.25.10. В самой точке Жуге Х выполнено условие ог = аг. 25.43 Рассмотрим скачки детонации, распространяющиеся с разными скоростями по газу, находящемуся в состоянии (р1, У1). Каждому значению скорости скачка соответствует значение потока массы 1' сквозь него. Уравнения одномерного стационарного (в системе координат, связанной с волной) движения, описывающие структуру скачка, можно проинтегрировать. Получим ро = сопвФ = рги1 = 1, ро +р = сопй = р1о1 + р1, (0.25.25) „г — +сеТ= — +с„Т +д, 1 1 2 2 где и = С1 — и„„„, д меняется непрерывно от нуля сразу эа передней ударной волной до д = Ч' = С1 — Сг далеко позади нее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
