Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 19
Текст из файла (страница 19)
= — /' ен, = — — —, 4 / Дз 2и г ' где г~ = тз + уз; ось л совпадает с линией С. 22,37 Пусть я и у координаты точки, где помещен данный вихрь. Отразим его относительно координатных осей, как показано на рис. 0.22.2. В точке г = х + гу получим Г / 1 1 1 о — гор — —, 1— + —— 2ггг ~, з — л 2з я+г/ Рис. 0.22.2. 138 Глава 5.
Механика жидкости и газа Отсюда Г (1 у ~], Г ( х 1] юя — — у=— 4я 1, хг+уг/' " 4я ~,хг+уг х/ Уравнение траектории имеет вид 1/хг + 1/уг = сопаФ. 22.38 а) Пусть и— и нормаль к 5, а т .Е и. ба т Поток го1 ю через пло- щадку с площадью б й и ~11 нормалью и х т, см. рис. 0.22.3, есть 2м (их т)б й.
Рнс. 0.22.3. По теореме Стокса он ра- вен циркуляции Г = ю~ я тй — ю~ я тй+ 0(6). й Здесь ось г параллельна и, начало координат выбрано на 5. В пределе при 6 -+ О выполнено соотношение (20 х и — [ю]) т = О, [ю] = ю~ — ю~ Кроме того, (20х и — [ю]) и = О вследствие непрерывности потока массы через 5. Следовательно, 20 х и = [ю], причем разрывна только касательная составляющая скорости.
б) Рассмотрим течение несжимаемой жидкости, в котором ю, = сопяС при г > б, ю= ю(г) при ]г] < б, юг = сопй при г < — б; Начало координат выбрано на Я, ось г параллельна и. Локально систему координат можно считать декартовой. Внутри слоя ф < б выполнено 2ы = — (дю„/дг)-е, + (дю /дг) ег, вне этого слоя ы = О. При б — ~ О на поверхности г = О возникает скачок касательной составляющей скорости и вихревая пелена, на которой +6 1 0 =!пп (шпаг = — ([ю ]е, — [ю„]е~).
л+о у 2 -б Проверкой убеждаемся, что 2[0 х ез] = [ю,е~ + ю„ег]. 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 139 22.39 а) Введем систему координат, координатные линии ал и 22 которой лежат в меридиональной плоскости, а хз = ив азимутальный угол. В решении задачи 22.24 показано, что гч"е~ е2е + езе = го1 ~ †(, г где о; — компоненты и в разложении и = п2е'+ езе + пзе~, а е = гез — единичный вектор координатной линии е. Используя физическую компоненту ю = ез/г, получим г ~~~е~ Нс ГО1~ — )+2ПЕ, ЙЧН=О; в) Воспользоваться уравнением Гельмгольца для вихря.
22.40 а) н 3гас1 ф: — О; б) Рассмотрим жидкий контур С, получающийся в некоторый момент 1 как пересечение поверхности тока 2р = сопв1 с плоскостью 2 = сопМ. Поскольку С вЂ” окружность радиуса г, циркуляция скорости по С есть Гс = 2пгш. При установившемся движении контур С остается окружностью, принадлежащей одной и той же поверхности ф = сопе1. По теореме Томсона Гс = сопе1, т. е. гю = сопя1 на ~ = сопя1. 22.41 а) е2/2+ р/р и г2п постоянны на линии тока, см. задачу 22.40, и — в силу осесимметричности — одинаковы на всех линиях тока, лежащих на поверхности у~ = сопя1; б) Использовать формулы задачи 22.39 и уравнение движения в проекции на ось 2 в форме 2(е,м, — е,а„) = дН/дг.
22.42 а) Функция тока удовлетворяет уравнению д2Ф дзФ 1 д2) + — — — = — сг, д22 дг2 г дг см. задачу 22.39. Граничное условие ф = сопв$ при 2~+ г2 = а . Решение краевой задачи ищем в виде ф = Агз(а — 22 — г2) = А(а — Н~)й~я1п2 д. Уравнение удовлетворится при А = с/10. 140 Глава 5. Механика жидкости и газа в) Потенциал и функция тока для обтекания сферы имеют вид, см.
задачу 22.28, ~Ро=н~совй В+ —,), гРо= гйп В. 2Нз( 2Л Из условия непрерывности скорости д~о дФ вЂ” — при В=а, дй дй найдем 2са нсо = — —. 15 22.43 Из уравнений движения как для идеальной, так и для вязкой жидкости получается формула для скорости и движения, возникшего в результате удара, см. задачу 22.2, ри = — игаса рб где р~ — — 1пп г' р'Й, т->о,/ о следовательно, Ю 2аг = гог и = — ягаб р х —; Р б) В нулевом приближении по б имеем р = сопв$, следовательно аг=О, и=н. В первом приближении: итамар х гг 2ьг =— 22.44 Форма сосуда определяется уравнением г4 = Аг, где яз А =2д —. з„г. Здесь Я вЂ” площадь отверстия; о — — скорость понижения уровня; х — вертикальная координата; гз = яз + у~. 1 Ф 22.
Динамика идеальной несжимаемой жидкости 141 Рис. 0.22.4. В=О; В = — ро Ге„, ю = о е,; 22.46 Кавитация возникает на границе обтекаемого тела, в точке, где давление становится равным нулю. Если р = р, „= 10ег/(см сз), то из решения 22.44 находим а) о = ~ ~~~™ = 12.6м/с; б) ю = ~ =8.1м/с. 5р ' ~1 Зр 22,47 Для доказательства воспользоваться уравнениями движения в форме Громеки — Лэмба и тождеством 2м х о = 2ше, х о = 2иигас1ф. 22.48 Из решения задачи Неймана для потенциала скорости пай ем д д~р аа о(й,1) = — = —, Рьг где а(1) — радиус полости, Й вЂ” сферическая координата.
Из интеграла Коши — Лагранжа следует д~О о д1 2' так как р = 0 при Л = а, то для а(1) получаем уравнение Релея— Лэмба 8 ° 2 Р~~~ аа+ — а 2 р 22.45 Распределения скорости и давления и сила В имеют вид: о= 2о япд, з 1 — 4е1пзд + ср — 1 — 4яп д, г б) о=о, 2япд — ~, в) 2но а/ ' с„= 1 — 2япд— 2но а~) ' о = 1.5о япд, з 1 — 2.25яп д Р=Р +Ро 2 ср — — 1 — 2.25яп д, Глава 5. Механика жидкости и газа Уравнение Релея-Лэмба имеет интеграл энергии .г з 2р,(ао а) а а Зр Время схлопывания полости составит С= I 0.915ао 1— Ф ~ ~(л7ги-т ' ч ~-' 22.49 ф = с(у — аеьлсояйх), гг' = с(з — айе ' '), г = х+ 1у. Линии тока Ф = О соответствует уравнение у = ае ." сов йх, ья которое при малых ай превращается в у = а соя Йх с относительной погрешностью порядка ай « 1.
Если ф = 0 есть свободная поверхность 1р = р, = сопя1), то на ней выполнено соотношение (агап ~р) 2 + ду = сопв1 или с — (1 — 2ай соя йх+ 0(а~й~) ) + дасояйх = сопя1, 2 т. е. с = ~~/д/й; с — скорость распространения волны относительно жидкости, покоящейся при у = — оо; а, 2х/Й и Й --- ее амплитуда, длина и волновое число соответственно. 22.50 В окрестности критической точки В на границе пузыря для скорости жидкости относительно пузыря, см. задачу 22,45, имеем о - 1.51/д. Из условия р = сопвФ на границе пузыря и интегзла Бернулли р о / 9 ',дг — = дг111 — соя д) — — + сопя1 = 1 уй — — й! — + сопя~ р 2 ~, 4 / 2 получаем 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 143 22.51 Запишем условие равенства давлений на границе раздела двух жидкостей в системе координат, связанной с фронтом /ог 1 /ег р11 — + дх сое т) = рг1 — + дх соя у ~ г ~,2 ) ~,2 где у — угол между осью х и вертикалью.
Подставляя сюда выражения для скоростей в окрестности точки О (течения в углах о и я — о) Ю ег — сгх получим г("г — сю~ 2а ргсгх — ргсгх + 2(р1 — рг)дх совч' = О. г г— При о = н/3 слагаемые имеют порядки х4, х и х соответственно. Последние два компенсируют друг друга при подходящем выборе сг, а первое несущественно, как величина более высокого порядка малости. 22.52 В системе координат, связанной с волной, для линии тока на свободной поверхности волны в окрестности угловой точки имеет место интеграл е о — — дх сов — = сопес. 2 2 2х Так как о = сх ~, это соотношение выполняется при а = —.
3 22.53 б) Испольэовать тождества /е е; /о (е хе;) йч ( — ' — он) =О и йч1 ' — (гх п)п; =О, 2 ) 2 где е; — — базисные векторы декартовой системы координат. 22.55 а) Величины векторов 1н и 1м стремятся к нулю при удалении о' в бесконечность; б) так как задача линейна и функции ~рь не зависят от 1, потенциал ~р и силу Р можно представить в виде р=,'~..рябь ~;= — ~'ррп Ь=-~р,я — '. 144 Глава 5. Механика жидкости и газа 22.56 Воспользоваться тем, что для установившегося течения й~ дК вЂ” = — = О.
11 а 22.57 а) ЫХ+1ИУ = — р(п + гп„)М = рг'сЬ, поскольку аЬ = (т + 1т„) Й = ( — пя +1п ) а1 = 1(п +1пя) Й, где т и и — единичные касательная и нормаль к контуру; 11И ж1 р = р и — — — — ) — интеграл Бернулли; 2 сЬ ьЬ ) б) обтекаемый контур есть линия тока; 1 1 1И 1И 1 1/Ии,з в) Х+11' = — — р1~ аЬ = — р1 в ( ) 4г. 2 Р сЬ ~Ь 2 У (, сЬ ) г) Так как Ит(г) — аналитическая всюду вне контура С, то она представляется в виде ряда Лорана ИИт А~ сЬ вЂ” ооо+ + ° ° ° ° Используя теорему о вычетах, находим г ЫИт 2к1А; = ~ — сЬ = ИИ' = Жр = Г, .1 ьЬ с с С где à — циркуляция по контуру С. Используя формулу Чаплыгина, находим Х вЂ” гУ = — ~ ( ) сЬ = — 2п1 ° 2А1о~ = грГи 2.1 (,сЬ) 2 С 22.58 Методом зеркальных отражений, см.
задачу 22.22, находим комплексный потенциал Я вЂ” 1Г Я +1Г Ит(л) = !п(л+ 1а) + !п(г — 1а). 2п 2я' 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 145 По формулам Чаплыгина, используя теорию вычетов, находим силу за 2 Х+ (У = — -гр — е(х = /НИ'~з Яз+ Гз = крвыч1 — ) = — гр ~,сЬ), „4за и момент Учитывая, что ~(ни') (, ~ я+ о находим (-,Р+ Гз Х=О, У=-р 4к~а рЯГ 2аЯГ 1,= — =У хо, хо=— 2к Ч +Г сила приложена в точке х = хо, у = О, вихреисточник находится в точке х = О, у = — а.
22.59 Выражения для силы Р имеют вид Ни а) и' = — р —; Й' б) Р=рГх н, где р = риаз — присоединенная масса; а — радиус цилиндра; à — вектор, направленный по оси цилиндра,(Г( = Го, см. зада- чи 22.18 и 22.45 б). Формулы задачи 22.55 здесь неверны, так как у — неоднозначный потенциал. 148 Глава 5.
Мохапика жидко<сев в газа 23.4 Для кинетической энергии однородной вязкой жидкости, для движения относительно твердого тела, справедливо неравенство ьЕкнн й = — с <О. Отсюда следует, что если при 1 = 0 жидкость покоилась, то зто состояние сохранится для 1 > О.
В однородной идеальной жидкости, покоящейся в начальный момент времени, движение может быть только потенциальным, а в силу единственности решения задачи Неймана для у, относительным движением будет всегда состояние покоя. Для неоднородной жидкости ИЕннн = ИА „, — с й = — ~ ИссСКср сЛс' й — с й, Р = бган й. Как в вязкой, так и в идеальной жидкости с1А„„ф О, поэтому кинетическая энергия при специальных движениях тела может увеличиваться с течением времени, см. задачи 22.5 и 22.43. 23.5 а) вессс — = К,(п'Ци') = (Tсиз)Яи') = е"еб — 2~ьс~з; й сс сс и'~ в) так как — ~ — ) = Кис, где с1а — элемент траектории, то сЬ ~(и!) Ыис ф с' и' 'с ис = и;(и) — ' )и) — = )и)~Ки пс при и и = 0; ' й ' Ыа~ )и)~ аси и г) подставить — = ягаб — + го1 и х и в тождество б). й 2 23.6 В системе координат, связанной с телом, движение установившееся, поэтому й """=0 и НАОО =с й>0.
нов С другой стороны с1А~;), = р" и,и;йсс'э = рсйи.исс1Бй = — Е'и;й, аг аг где и; — компоненты вектора скорости твердого тела; и — нормаль, внутренняя по отношению к телу; .Р— компоненты силы, действующей на тело со стороны жидкости. Следовательно, Р и<0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
