Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Интегрируя зто равенство вдоль любой линии, соединяющей некоторую точку О с произвольной точкой А сплошной среды, и учитывая, что ьг = сопв1 при С = сопйя получим н(А) — н(О) = ьг х (гд — го). Обозначая н(О) = не, гл — г0 = г, н(А) = н, получаем формулу Эйлера н= нп+ьг х г. Вектор мгновенной угловой скорости есть вектор вихря. 4.40 а) Используйте симметрию Г," = Гь;.
б) Для доказательства первой формулы используйте определение вихря и тензора шбе'е'. Вторая формула получается из первой с учетом свойств тензора. Леви — Чивита, см. задачу 3.37. 4.41 Используя лагранжево описание можно показать. что для компонент ускорения в сопутствующей лагранжевой системе координат верна формула дх' де' дб д (н)' д~'* дг д~ д~ 2 где и; и й — компоненты скорости в пространственной декартовой системе и лагранжевой сопутствующей системах координат соответственно. Отсюда для компонент го$а в сопутствующей системе координат следует — дд дбд дг д~а 38 Глана 1.
Основные понятня Тогда условие гоФ а = 0 сводится к соотношению ддбд ддй — — — — — = О. Я О~а 81 Я~я Отсюда, воспользовавшись результами задачи 4.40, получаем, что дю д/д~ = О. Каждая из компонент а~т равна ю д/~/д или — м д/~/д, следовательно, д(йт~/д)/д1 = О. 4.42 Рассмотрим вихревую линию, проходящую через частицу с координатами (~~, ~~, с~) в момент 1о. Пусть в — параметр на этой линии, а ~ = ~ (з) — параметрические уравнения этой линии в сопутствующей системе координат, ~ (О) = ~о.
По определению вихревой линии функции ~ (з) удовлетворяют системе авненнй ур ,1~г,1~з ~' (6 1о) ~'(6 1о) ~'(6 1о) ' разделив на ~/уф 1о), получим 1~! 1~2 ,1~з '(а,М,/д(ГМ ~'(61о) Яф~ ) О~фСо) /д(4,Ь) Согласно задаче 4.41 б), функции ю"х/д в действительности не зависят от 1о. Поэтому решение ~о(з) этой системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее условию ~ (0) = ~„, не зависит от времени. Это означает, что рассматриваемая вихревая линия, проходящая через точку (~.',~з,4з), в любой момент времени проходит через одни и те же частицы ~ (з).
4.43 Прямым вычислением проверить, что го18гас1~р = О. 4.44 Потенциал поля скорости при простом растяжении вдоль оси я~ равен О'(1) 2 2(1+ а(1)) где / — произвольная функция времени. 4.45 а) Учесть, что компоненты тензора Леви — Чивита в декартовой системе координат равны 1, — 1 илн О. б) Выражение в левой части доказываемого равенства — компоненты тензора. Достаточно проверить, что они все обращаются в нуль в некоторой системе координат. 4, Деформация, скорость деформации, вихрь 4.46 Утверждение о том.
что е — поле скоростей деформаций для некоторого поля скорости, означает. что существует векторное поле в, удовлетворяющее в декартовой системе координат соотношениям — + =е;.. Условие разрешимости относительно в таких соотношений известно как условие совместности компонент тензора малых деформаций. Ответ; Необходимым. а, в случае односвязной области — и достаточным, условием являются равенства <~ еб сыяебч — О. яь зч 4.47 а) Если хотя бы одна из постоянных А, В или С' отлпчна от нуля, то не является.
б) Да, является. 4.48 Указание: Рассмотреть, например, компоненты ~1, и су- ществование функции вы для которой имет место соотношение дв1 — =Л, дя, Это возможно, если и только если Ответ: Если и только если данные компоненты Д, в любой криволинейной координатной системе удовлетворяют условиям см'~~ )) = О, то существует векторное поле в, для которого T~г,=Д . 4.49 Указание: Ввести тензор с компонентами м„= е ч щ Тогда вопрос о существовании векторного поля и сводится к решению уравнений до1 де~ д1п дну Оя, дя, "' дя, дл; 40 1'лава 1. Основные понятия или дп;/дхй = е; +оз„.. Согласно результату предыдущей задачи для этого необходимо и достаточно, чтобы д спо (е;, + ы;) = О. дхь Ответ: Если и только если заданные компоненты еб и ый удовлетворяют условиям с'ь'17ье;, = ~',м', то существует поле скорости в, для которого е я ы суть поля скорости деформации и вихря.
5. Относительное движение и четырехмерное пространство — время в ньютоновской механике Х 1 Иу' и'х' 5.2 а) й ~Й б) Пусть — = 1'(х,1) и — = 1'(у,1). пу 51 ' й у' =:г' — ~'"1, Тогда для функций 11 имеет место функциональное уравнение ~'(х",1) — 1" = ~'(х~ — Ъ'~1, 1). Дифференцируя его по 1хл и полагая $'~ = О, получим д1' 6', =1 —, дх" 5.1 По определению, всякая инерциальная система отсчета движется как твердое тело, поступательно, прямолинейно и равномерно.
Пусть (х') и (у') соответственно декартовы координаты двух таких систем отсчета, совпадающие в момент времени 1 = О. Рассматривая (х') как эйлеровы координаты наблюдателя, а (у') как лагранжевы при движении системы отсчета (у') относительно системы (х'), получим закон движения х' = у'+ $"Ч, где г" — — компоненты постоянного вектора. 5. Отногительное движение 41 5.3 Пусть расстояние от А до В равно 1; обозначим о скорость теплохода относительно переносной системы отсчета, связанной г, течением реки, а ор — скорость течения реки относительно берегов, с которыми связывается абсолютная система отсчета.
Движение одномерно. Тогда имеет место равенство 1 = 20(о + ор) = 24(о — ор). Откуда, исключал о, найдем 1/ор — — 240 час. 5.4 Пусть о, — величина скорогти лодки относительно переносной системы отсчета, связанной с течением реки, ор — величина скорости течения реки относительно берегов, с которыми связывается абсолютная гистема отсчета, и 1 — длина вгего пути, пройденного лодкой.
Тогда 21 + =1. 5. /„ + „ 3 1 , — р) у л р ол = о'Оор, Отсюда 2 км 2ъ'3 км ор — — — 2.75, о„= — 4.73 х/5 1 час Я 1 час 5.5 В неподнижной системе координат (х; у), оси которой совпадают в данный момент времени с радиальным и касательным направлениями колеса турбины, абсолютная скорость струи на ободе колеса равна о„ = (осовге: ов1по); переносная скорость точек колеса о, = (О; 2ппК). '1огда для относительной скорости струи получим о„= о, — и, = (и сон ее; ояш о — 2пп11), откуда 2л.ай ~ ~3 = агс15 тб е — ( . огово откуда /' = х'/г + р'(1).
Ясно, что зти функции удовлетворяют условию задачи без ограничений на ф(1). а' = у'(~). е; = — ~, ы,, = О. Рассматриваемое движение является комбинацией поступательного движения и всестороннего расширения. Глава 1. Основные понятия 5.6 По определению Таким образом, н = е, + ео где ду г дх ду о,= — е~ о,= е,'= — — ея. й д1 ' д1 дх' ду Производные — и — вычисляются соответственно при постод1 д1 янных у" и х', а производные а/81 — при постоянных ~1. Скорость среды равна нулю относительно сопутствующей системы отсчета с координатами (~~). 5.7 Использовать представление дх' де,' е~ — — — „е,' и условие — ' = О, ду" ы =сопят связанное с инерциальностью системы (х').
5.8 В инерциальной системе отсчета (х') выберем декартову систему координат. По определению ускорения вычислим дгху д (дх' ду" дх"~ а„= — = е,'=„— 1 „„+ /ее= дггу дук ду1 дгу дгуь дгг~ дуя дгх~~ +, +2 „+ — ~е,'= дуьду' М д1 ду" 51 дуьд1 д1 д1г ~ я1де,' Ну, яда, дх' =о о — + — еь+2е — + — е'= д ь д1г У я д г У де„г ь'1, „де, л — "+о ~1о еь+2е — +аь д1 ~ ~' Г д у Угу Таким образом, а„= —" е~.
Производные д/д1 берутся при по- Ж стоянных у; производные а/Й при постоянных ~; в формуле для а„производная до~/Й определена с коэффициентами связности Г,'ь. 43 6. Отно< нтельное движение 5.9 Пусть, как для твердого тела, в, = во + ш, х г, есть распределение переносной скорости подвижной системы отсчета относительно абсолютной, во — скорость некоторой ее точки О, шр — ее угловая скорость, г„— относительный радиус вектор. Тогда для переносного и кориолисова ускорений справедливы равенства ас = йо+шс х и, +ш,(ш, .
г„) — ~ш~)зв„а, = 2ш, х и„. Точка означает дифференцирование по времени в инерциальном базисе. 5.10 Пусть 6„' — компоненты относительной скорости материальной точки, движущейся относительно данной среды в сопутствуюц~ем базисе ею Среда движется со скоростью в~ относительно наблюдателя, находящегося в системе координат с базисом е,'. а) При вращении имеет место в~ — — ш(х'е' — хзе',), где х1 = ~~ сову — ~~н1пу, х~ = (~н|п ш+с сову, х = с': у = ш.
Тогда дю, дю,' дх д~', дю, —, = — „' —, —, е~ — — шйзо — — — ше~ д~' дх" д~' дх' ' д~' и обобщенное ускорение Кориолиса равно 2ш(6„'йз — 6зй1). б) 26„' — й1, в) 26~ 6 е1, г) 2с [(6~ — с6„') е1 + 6з ез~. 5.11 Ускорение Кориолиса равно 2п'„А' В," е~, где  — матрица, обратная к А; е~ — базис системы (у'); п1 — компоненты относительной скорости в этом базисе. 5.12 За счет действия силы инерции Кориолиса Р, = — а„см.
задачу 5.9, у восточного берега уровень выше. Порядок величины съй можно оценить, считал, что уровень текущей жидкости перпендикулярен вектору Р, + Я, где у — сила тяжести; силы отнесены к единице массы. Тогда ЬИ. 2шзн а|п ш = 1, 46 . 10 яп у, д где д — широта местности, шз — - угловая скорость Земли. 44 1'лава !. Освовныс понятия 5.13 На восток в обоих полушариях.
5.14 Согласно решению задачи 5.10 в) при поперечном движении в направлении убывания продольной скорости на частицу действует продольная ускоряющая сила, в обратном направлении — замедляющая. 5.15 К северу, так как действие горизонтальной составляющей силы инерции Кориолиса, направленной к югу, с высотой уменьшается. 5.16 Пусть (х) — система отсчета наблюдателя, (у) — сопутствующая система отсчета резинки, так что х = у(1+ оо1/1), где 1 — длина резинки. Тогда относительная скорость муравья есть дх дх у=сопи откуда его абсолютная скорость равна Нх/й = — оп + уоо/1, а закон движения определяется соотношением .. = ф ~ ~') ~~ — '— "~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
