Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть ее толщина 26. Учитывая найденные значения компонент напряжений в пластических зонах и условие непрерывности компонент напряжений на поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, показать, что упругую зону можно рассматривать как лист толщиной 26, верхняя и нижняя поверхности которого свободны от нагрузки. Тогда напряжения в упругой зоне распределены так же, как в п. а): Лрп Рп = Ахг, Рзз — 2(Л+ р) ' но с неизвестной постоянной А. Глана 7.
Пеупругие деформируемые среды 322 Используя условие непрерывности напряжений на поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, и краевое условие для момента, найти константу А и толщину 6 упругой эоны. Ответ: Упругая зона занимает полосу 6 = ъ'3 Ьз — —. 2т, !хз~ < 6, Рп дн1 дпз + — =О дхз дх1 дп1 доз — + — =О, дх1 дхз с условиями непрерывности скорости при хз —— 6, см. п. б).
Для записи краевых условий найти поле скорости в упругой зоне. Оно находится по полю перемещений, имеющему такой же вид, как в п. а), но с коэффициентом оы который следует определить заново. Для этого используется закон Гука н известное уже распределение напряжений в упругой зоне, см. п. в). Ответ: Поле скорости в пластической зоне, примыкающей к верхней поверхности листа, имеет вид ( х1+ хз ~ЗЛ+ 2р н1 = Ах1хз, нз — — А — + 1, 2 2(Л+ 2р) где И З(Л+ 2р) г~,' 8р(Л+ р)6 Напряжения в упругой зоне распределены по закону, указанному выше, с постоянной А = 2т,(дь Распределение компоненты ры показано пн рнс.
О.Л.З. . О.,71.З. г) Предельной является нагрузка, при которой становится нулевой толщина упругой зоны; поверхность хз — — 0 разделяет две пластические зоны с напряжениями ры — — 2т, и с ры — — 2т,. Прн больших нагрузках решения нет. Ответ: Предельное значение момента М„= 2т,Ьз. д) Для определения скорости в пластической зоне решить систему уравнений згз Зг, Вязкоупругость и вяэкопластичность 32. Вязкоупругость и вязкопластичность 32.1 Использовать одно из определяющих соотношений модели Максвелла т при условии е, = сопяФ.
Ответ: Если материал описывается моделью Максвелла, напряжение релаксирует по закону р, (й) = р, (0)е Р. Если же материал описывается моделью Фойхта нли моделью пластического течения, напряжение остается постоянным. 32.2 Рассмотреть определяющие соотношения модели Максвелла в случае, когда лишь одна компонента напряжений р„отлична от нуля. Получить уравнение р(ЗЛ+ гр) <л+„) Р Р й- = — + —, Е Зрт' б) Изменение площади поперечного сечения образца описывает- ся формулой Я(1) =Я(0) 1+ ". -е.,(0) . р-Р) и найти закон релаксации напряжения при условии е„= сопв1. Получить аналогично соотношение й„, — й = О. Оно означает, что.равенство е„, = е, если оно выполнено в начальный момент, остается справедливым и в дальнейшем. Используя зто равенство, соотношение рья = ЗКсяь и найденный закон релаксации напряжения, установить зависимость е„„и с от времени.
Тем самым определяется относительное удлинение любого материального волокна поперечного сечения образца, а по нему и закон изменения площади поперечного сечения. Ответ: а) Релаксация напряжения описывается формулой ~Е р„(С) = р„(0)е злт Глава 7. 1!еупругие деформируемые среды 324 32.3 Из определяющих соотношений выбрать то, которое связывает компоненты е, и р, . Решить соответствующее уравнение для е, с учетом условий р, = ре = сопя1 и е, (0) = ее.
Ответ: а) Если материал описывается моделью Фойхта, то изменение деформации определяется формулой по / пе'~ — "с (~)= — +~ о- — ~ е 2р 'х 2р( б) Если материал описывается моделью Максвелла, то деформация нарастает линейно рве Евл — ее + от 32.4 Уравнение диаграммы имеет внд п + о'((2Ат) е = +ее, 2д где ее — величина деформации в начальный момент. Принципиальное отличие от случал пластически деформирующегося образца состоит в зависимости диаграммы от скорости нагружения, которая задается параметром А. 2р =6 — -л Рис.
0.32.1. 32.5 В случае упругопластического образца происходит разгрузка, и, следовательно, деформация мгновенно следует за изменением напряжения. В случае материала Максвелла пока скорость изменения напряжения велика, именно ею определяется скорость деформации. Эта скорость тоже велика. При нулевом напряжении деформация перестает изменяться. В случае 325 32. Вязкоупругость и вязкопластнчность 32.6 Жестковязкопластическая среда определяется соотно- шениями ъ~2Й з + 2г)еб, ~/еце"' если е, фО; „И) ~.7 любые, удовлетворяющие условию р)")рг') м ( 21~ если е; = О. 32.7 а) Показать, что компонента скорости п1 не зависит от координаты хм Использовать условие несжимаемости.
Из определяющих соотношений рассматриваемой среды, см. задачу 32.6, заключить, что девиатор тензора напряжений имеет только одну ненулевую компоненту р =й — +по. (л) п1 ! 12 ! /! м Здесь штрихом обозначена производная по хз. Показать, что требуемые свойства давления вытекают тогда из уравнений равновесия. б) Вследствие симметрии задачи компонента скорости е, является четной функцией координаты хз. Если бы к плоскости яз = О сверху и снизу примыкали области, в которых и', = О, то оказалось бы, что р„(+О) = -р„(-О) ~ О и не выполнено условие [р'~]и, = О, выражающее при наличии поверхности разрыва закон сохранения импульса. Здесь квадратными скобками обозначается скачок величины на поверхности разрыва.
материала Фойхта за время быстрого изменения напряжения от начального значения до нуля деформация не успевает существенно измениться. При нулевом напряжении происходит релаксация деформации. Ответ: На левом рисунке 0.32Л показано изменение деформации в случае упругопластического материала, на среднем— в случае материала Максвелла, на правом — в случае материала Фойхта. Здесь оо и со — значения напряжения н деформации в начальный момент.
Глава 7. Неупругие деформируемые среды в) Значения напряжений на верхней н нижней границе недеформирующегося слоя найти, используя неравенство р, р;, < 2й в (4 (л) г недеформирующемся слое и обратное неравенство — в примыкающих к нему деформирующихся слоях. Используя определяющие соотношения установить обращение в нуль производной в~1 на этой поверхности, г) Использовать условия равновесия объема недеформирующегося слоя, заключенного между двумя сечениями, ортогональными оси хы с учетом результата п. в).
Ответ: В = хЬ. д) Поведение среды в деформирующемся слое описывается системой уравнений, состоящей из уравнений равновесия и определяющих соотношений. Единственное нетривиальное из последних см. в п. а), а единственное оставшееся неудовлетворенным уравнение равновесия дры др1г — + — = О. дхг дхг Здесь, согласно установленным в п. а) сведениям о виде тензора напряжений, выполнено ры —— Ах|+ сопв$ и постоянная А совпадает с постоянной В, см. п. г). Решить эту систему при заданных краевых условиях: прили- пание на стенке канала и Ног/4хг = О на границе с недеформирующимся слоем, см. п.
в). Ответ: Компонента скорости п1(хг) — четная функция: — ~(Н вЂ” хг1 — — (Н вЂ” хг) при Ь < хг < Н, 2пЬ п1(хг) = г г~ — (Н вЂ” Ь) — — (Н вЂ” Ь) при О<хг<Ь. 2ОЬ( Толщина Ь недеформирующегося слоя связана с расходом Я соотношением ЗОЯ=МН вЂ” — 1 2 — — —— Глава 8. Специальная теория относительности 33. Пространство Минковского. Преобразования Лоренца 33.1 Из условия а) ясно, что преобразование с точностью до сдвига начала координат имеет вид С' = ЛС, О'= ргС, С = сС вЂ” х,, и = сС+х.
(0.33.1) Отсюда следует 1 1 х,' = — (Л+ Сс)х — — (Л вЂ”,и)сС, 1 1 (0.33.2) сС' = — —,(Л вЂ” Сс)х+ — (Л+ р)сС. 2 2 Обратные к (0.33.1) преобразования получаем заменой штрихованных н нештрихованных величин, а также Л и р на 1/Л и 1/р. Скорость о системы (х,', С') по отношению к (х; С) получаем из условия х' = О, которое дает Л-р х=сС, о=с Л+р' Скорость о' системы (х; С) относительно (х', С') имеет вид Л-'- р-' / о =с,,= — е. Л- +рОчевидно, скорость системы (( — х); С) относительно (( — х'); С') равняется о. Таким образом, с одной стороны, преобразование от (( — х'); С') к (( — х); С) может быть получено из (0.33.2) заменой Л и Сс на Л 1 и р ~, а с другой стороны, согласно условию б), должно даваться той же матрицей, что и преобразование (0.33,2).
Это возможно тогда и только тогда, когда Лр = 1. Воспользовавшись выражением о через Л и Сс, получим 1+ о/с 1 Л= р= 1 — о/с Л 328 Глава 3. Спепнальнея теория относительности Подставляя эти выражения в (0.33.2), найдем / / х = аых — аггсг, сг = — аггх+ аггс1, 1 и/с аы =агг = агг = ,г/ г 1 — г г/сз где 33,2 Проверяется вычислением. 33.3 Ортогональное преобразование двух переменных (без отражений, которые могут быть учтены отдельно) имеет вид чей = ~г сов д — ьег в1п д, ье~г = ьег в1п 0 + ьег сов 9. При Я = О получаем (г — ~г $8 д = 1сг еб д, откуда 1, г(и/с) совд = вшд =— 1 — иг/сг 1 — иг/сг о 188 = — г-, е Введя действительную переменную ~р = — гд, преобразование Лоренца можно переписать в виде х'=сЬр х — вЬу сг, с~'= — вЬу х+сЬу с1, и=сйу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
