Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если преобразовать электромагнитное поле согласно тензорному закону. то в новой системе координат получим решение уравнений Максвелла с тем же вектором 4-тока в правой части и нулевыми начальными и граничными условиями. Так как решение уравнений Мак~велла при перечисленных условиях единственно. то отсюда следует единственность преобразования электромагнитного поля, удовлетворяющего условиям задачи. 36.
Магнитная гидродинамика 36.1 Для элемента жидкости запишем уравнение притока тепла, отнесенное к единице массы жидкости, ГГ1=-рГГ + ' й. Е' Здесь $' = 1/р, учтено, что р„= — рв (отсутствие вязкости), Нд = 0 (отсутствие теплопроводности), и что приток энергии от электромагнитного поля к единице массы элемента среды в собственной системе координат этого элемента имеет вид Е' Ид*= й, р см.
задачу 35.7. Сравнение тождества Г'иббса Л7 = — р Л~ + Т йн с уравнением притока тепла дает ~Ь рТ вЂ” =у' Е'. й 344 !'лава 9. Злектродинамика сплошных сред Отсюда видно, что энергия я~ Е~, передаваемая от электромагнитного поля к среде, проявляется при сделанных предположениях в виде тепла (приводит к тому же изменению энтропии) и называется дэкоулевььи теплом. Если рассмотреть электромагнитное поле и жидкость как единую систему, то изменение энтропии за счет протекания электрического тока является для нее внутренним процессом и можно записать (Ь д!в,!ч Е' д! д! рт ' где с!;в/а! --.
внутреннее производство энтропии в системе. Величина дд = Т ав — Нд называется неколтенсированным теплом. Здесь На — приток тепла., рассчитанный на единицу массы. В рассматриваемом случае дд = 0 и дв = д!в, так что да' = Тд!в. 36.2 а) Согласно предыдущей задаче д!в у' Е' д! рТ В термодинамике необратимых процессов, см. ~ 13, производство энтропии представляется в виде суммы произведений множителей, характеризующих отклонение от термодинамического равновесия.
Одни из этих множителей называются потоками, а другие силами (названия, разумеется, не важны) и для процессов, незначительно отклоняющихся от равновесных, постулируется линейная связь между силами и потоками. Таким образом, Я = а,,Е' (множитель рТ включен в и; ). Матрица а;,, очевидно, является матрицей компонент тензора, зависюцего от имеющихся в наличии скалярных, а также векторных и тензорных аргументов; последние могут вносить анизотропию в рассматриваемую связь.
Зависимость а; от аксиального вектора В' удобнее изучать как зависимость от тензора с, ьВ„'. Из теоремы Гамильтона — Кэли следует, см. 3 б, что любая аналитическая зависимость между трехмерными тензорами второго ранга всегда может быть представлена в виде многочлена второй степени со скалярными коэффициентами. В рассматри- 36. Магнитная гндроднвамика 345 ваемом случае в декартовых координатах получаем следующее соотношение ~3е, ьВ~ оВ,'В' т,.=п е', + '~ + и ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ В ~ г г | ~ ~ | ~ В Очевидно, что в случае изотропии, когда влияние В несущественно, связь между 1' и Е' задается равенством, выражающим закон Ома: 1' = пЕ'. б) Для оценки величин и, ел и Д в собственной системе координат элемента среды запишем уравнения движения электронной жидкости, пренебрегая силами инерции и градиентом электронного авления д 0 = п,еЕ' + + У АХ В' с Предположим, что сила трения, которую испытывает электронная жидкость, имеет вид петпеп тр— т Здесь п, — концентрация электронов; тп, — масса электрона; т — среднее время между столкновениями электронов с частицами среды; и — средняя скорость электронов относительно среды, связанная с 1' равенством у' = п,еп.
Считается, что ток создается только движением электронов. Обозначив еВ /(ст,) = ы, рассматриваемое равенство перепишем следующим образом 2 / ч 1 п„.е т л +отход =аоЕ, где по= ше (Величина е(В ~/(стп,) — лар норовскпл частота электронов, см. задачу 35.5.) Это соотношение и представляет собой обобщенный закон Ома, который обычно используется именно в таком виде. Сравнение последнего равенства с полученным ранее представлением о; показывает, что по 2 2 1+ю т Появление у тока 1' компоненты, перпендикулярной В' и Е', называется эффектом Холла.
В плотных средах эта компонента тока обычно пренебрежимо мала (при ыт «1). 346 Глава 9.,')лектродннамнка сплошных сред 36.3 Пусть система координат выбрана так, что ось л пер- пендикулярна стенке. Тогда исходные уравнения имеют вид Нр; г1Š— = игеЕ, — = 4хе(п; — п,), <Ь ' ' гЬ. г'ре — = — п еЕ, р; =гийТ, р,=п,'аТ, дх где п; и и, — число ионов и электронов; и — постоянная Больц- мана; Т = сопе$; для определенности заряд иона считается рав- ным по модулю заряду электрона е.
Отсюда й~~ пгеЕ Ые иееЕ дЕ дл йт' дл йт ' дл Для вычисления дебаевской длины линеаризуем уравнения в окрестности бесконечности, где для определенности положим электрический потенциал у равным нулю. Получим ,~~,р 3хиес~,р *лТ вЂ” ~гЫхз йт здесь и' — — плотность электронов (или равная ей плотность ио- нов) на бесконечности. 36.4 Исходные уравнения имеют вид ,~=ггЕ, +йку=О, йоЕ=4яр„ дре отсюда р, = р,'е 4' '.
Следовательно, всюду йоши > О и заряд утекает на бесконечность. 36.5 а) Обозначая индексом еО" характерное значение величины, а,,"" — характерное значение ее изменения в рассматриваемой задаче и считая, что а меньше илн порядка ао, запишем первую пару уравнений Максвелла с учетом закона Ома и оценим порядки их членов 1дЕ 4х( н го1 — — — — ~аЕ+гг — хВ+р,и =О, йггЕ=4хр,. сд1 сх с (0.36.1) В Е оЕо оооВо Р оно Е сТ с с~ с А Рео Здесь под каждым членом уравнения выписана его оценка по порядку величины, Т, и Т вЂ” характерные длина и время. 36.
Магнитная гидродинамика 347 1) Введем обозначения Ь сз ог = о2 = —, оя = шахтно, ог, о2) Т аЬ' и предположим, что Е Во. (О 36 3) с 2В « 1. (0.36.4) сзВ (0.36.1), с учетом того, что выражепредставляет плотность тока г, можно равенств Тогда первое равенство ние, стоящее в скобках, переписать в виде двух 4к.. 7 и гог В = — 1',,~ = а ~Е+ — х В с ° ~, (0.36.6) 2) С точностью до членов оз/сз преобразование магнитного поля к движущейся системе координат имеет вид В'=  — — х Е.
с 1 о, —,«1, — *«1. (0.36.2) аТ сз Второе неравенство предполагает, в частности, что 1 Левыми частями неравенств (0.36.2) будем в дальнейшем пре- небрегать по сравнению с единицей. Тогда с учетом второго уравнения (0.36.1) в левой части первого уравнения можно пре- небречь вторым и последним членами по сравнению с третьим. Тогда получим 1 г' и Е = — ~н го( — — х В с с где н„, = с /(4яа) — коэффициент маенитной олэкости.
Вто- рой и последний члены в первом уравнении (0.36.1) можно оце- нить, используя (0.37.2) и (0.37,3), 1 дЕ о„Во о о~Во р с дГ сзТ ' 'с сзЬ Этими членами можно пренебречь по сравнению с гоФВ В/г,, если считать, что дополнительно к (0.36.2) выполняется соот- ношение Глава 9. Электродинамики < плошных сред 348 Последний член, по (О. 36. 3), не превосходит езВо/сз и в силу (О. 36.
2) и (О. Зб . 4) пренебрежимо мал по сравнению с первым. 3) Электрическая и магнитная силы имеют следующие порядки величин ККо < Воз .'Воз 1 . ВВ, р,Š— —, — ),1 х В! —. (0.36.6) С, С с~С с Ь Согласно (0.36.4) электрической силой можно пренебречь по сравнению с магнитной. Так как согласно (О. 36. Б) конвективный ток мал по сравнению с током проводимости, джоулево тепло может быть записано в виде Е'= — ) = — у' = — (гоСВ) . 1 з 1 з г„, г и и 4п (0.36.7) б) Из второй группы уравнений Максвелла и формул (0.36.5) получим д — — гоФ(» х В) + го((и го(В) = О, Йч В = О.
(0,36.8) дС (первое из этих уравнений называется уравнением индукиии), а уравнения импульса, неразрывности и притока тепла запишутся в виде й» го(В х В р — = — пгас( р+ гСС 4л (0.36.9) др . ~Ь и (го(В)з — + рйи»= О, й ' й 4крТ Уравнения (0.36.8) и (0.36.9) составляют систему уравнений магнитной гидродинамики.
Как и для полной системы уравнений Максвелла,, второе уравнение (0.36.8) для нестационарных задач представляет собой ограничение на задание начальных условий для В, так как из первого уравнения (О.ЗБ.8) следует д(с))и В)/дС = О. Отметим, что исходное предположение (О.ЗБ.2), связанное с величиной п,можно переписать в виде 1 с~ — « Т, — « А~. гг пз 36.
Магнитная гидродинамика 349 36.6 а) Магнитное число Рейнольдса имеет величину о„Ь Йе 3» где о„ и Ь вЂ” характерные скорость и длина. б) Интегральное уравнение Максвелла, описывающее изменение во времени магнитного поля, после подстановки в него выражения для Е, принятого в МГД, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
