Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. скорость не зависит от л, а ее величина и(у) пропорциональна длине отрезка оси з, лежащего внутри трубы. Для тех значений у, для которых сонд (( 1, полученное выражение не справедливо. Далее, ~~)т~ В о2 ц1 ( л1(У) + л2(У) т. е. линии электрического тока В = сопв1 параллельны средней линии поперечного сечения трубы л = (г~(у) + лз(у))/2. При Нз» 1 нетрудно получить решение также и внутри пограничных слоев вдали от точек смыкания кривых г = л,(у) и л = лз(у), б) Из уравнений (0.36.17) и (0.36.18) с учетом нулевых граничных условий при г = ~Н для и и для В, (здесь использовано отсутствие суммарного тока по направлению оси у), а, следовательно, нулевых граничных условий и для ш и оз, получим сп(оН) — сп(ол) С(л+ Н нп(оя)) ~ ( а) ' Ф.7Г4~~ ехр(~юг) — сп(оН) ~ ~ г — ~Сл — СН Если число Гартмана велико, то из приведенных формул видно резкое изменение величин вблизи стенок, соответствующее поерапичньш слоям, которые называются евртмановскими. 358 Глава 9.
Электрадинамика сплошных сред 36.15 При в = ЙВ уравнение индукции в случае и = 0 выполнено. Оставшиеся уравнения принимают вид й2 р 1 — — )1в ° ~7)в = — ксавер„+ рЬв, 4хр,~ Вз р, = р+ —, е11ч в = 0 8х' и при й = сопеФ, р = сопв1 сводятся к уравнению Навье-Стокса с давлением р1 и вязкостью ры определяемыми формулами р1 = + сопя$, п1 = + сопя1. р й2 ' й2 1 —— 1 —— 4яр 4яр а) Если р = О, то при Йз = 4яр существует класс решений: п(х') — произвольный соленондальный вектор, В = ~~/4ярв, р, = О.
Если на бесконечности В -+ Ве = сопя$, то, выполняя преобразование Галилея, получаем решение, описывающее волну, распространяющуюся по покоящейся на бесконечности жидкости, в которой В- Во в=~ Скорость ее равна шВо//4л.р. Это волна Аль|вена. б) Обтекание тел с магнитным полем будет соответствовать обтеканию при В = 0 с числом Рейнольдса, подсчитанным по вязкости ры В случае, когда Й~ > 4кр, для получения уравнений с положительной вязкостью дополнительно нужно изменить знак скорости и ввести п1 = — в. В этом случае толщина пограничного слоя будет расти в сторону набегающего потока и туда же будет обращен вязкий след. 35Э 37.
Злектрогидродинамвка 37. Электрогидродинамика 37.1 а) В связанной с зарядом системе координат выполнено еи з В исходной системе при п~/с~ << 1 выполнено ч" +~~ с с г Здесь предполагается, что заряд движется вдоль оси я. б) Пусть заряженные частицы занимают объем с характерным линейным размером 7,, характерная плотность их заряда р,*. Исходя из уравнения Г1гя Е = 4хр,, оценим порядок величины электрического поля Е„получим Е.
4хр,*Е. Если заряженные частицы движут~я с характерной скоростью в„. то, считая процесс квазистационарным и пренебрегая в уравнении Максвелла членом (!/с) дЕ/дГ, который важен только при быстропеременных процессах с характерными временами Т, меныпими или порядка Б/с, получим 4хр,и, пр,*Е ГОГВ = Или В с с поэтому В. Е„п„/с, как в п. а). в) Согласно преобразованию Лоренца и х В ГЕоз~ Е' = Е+ — = Е+ 0~ — /. 37.2 Средняя скорость ЬЕ носителей заряда относительно среды приобретается в течение времени т между последовательными столкновениями за счет действия электрического поля, поэтому ЬЕ = ат/2, где а = еЕ/т. Отсюда, Ь = ег/(2тп). Если ~ЬЕ~ << )о), т.
е. еКт/(2т) << и, то член р,ЬЕ мал по сравнению с р,и. 3ВО Глава 9. Электродннамнка сплошных < ред 37.3 а) Плотность электромагнитной силы / в общем случае может быть представлена, см. задачу 34.5, следующим образом (ухВ)" дд дТ и ЕхВ / РеЕ + + д1 д с дг дх 4ас где величины Е" Еи + В Вп Рд(Ез + Вз) Тод 4п 8я являются компонентами тенэори электрических иипрлэгсений.
Как видно, если Ез )) Вз, всеми слагаемыми, содержащими В в выражении 'для Т Д, можно пренебречь. Величина дд"/дг имеет по отношению к реЕ порядок 7.В/(сТЕ). Считая, что в задачах механики Е/Т имеет порядок некоторой скорости, много меньшей скорости света, и считая В/Е малой величиной (при движении зарядов одного знака В/Е и/с, см. задачу 37.1), получим, что член дд"/д1 может быть опущен. б) Система уравнений ЭГД приведена во введении к этому пааг а . У авнение 37.4 Воспользовавшись равенством дЕ 4пре дх и считая, что на начальном этапе развития процесса д' = ар,Е, запишем уравнение сохранения заряда (0.37.1) откуда дЕ дЕ д,+ (0.37.2) Р РФу Р рт — ' = р,ЬЕ' Й следует из того, что в собственной системе координат плотность притока энергии от электромагнитного поля к среде равна у' Е = р,йЕз, аналогично тому, как это показано в задаче 35.1.
Согласно второму закону термодинамики р,6 > О. Уравнение гог Е = О получается из соответствующего уравнения Максвелла при пренебрежении членом (1/с) дВ/д1, который имеет порядок 1.В/(сТЕ), то есть пренебрежимо мал по отношению к оставленному.
Остальные уравнения комментариев не требуют. 37. Электрогидродинамика 361 Ф. К й 4я' где Н/й — производная вдоль линии дя/Й = 6Е, которая, согласно (0.37.2), является прямой, на которой Е = сопМ. Интегрируя, получим р, ' — р,п~ = 4яй1. 11оскольку при 1 = 0 согласно условию задачи йр, » о, то членом р,о можно пренебречь.
Тогда р, ' = 4яе1. Таким образом, условие 1 > оЕ, выполняетсл при 1 < о/4я на прямых я = во+ ЬЕо1 где те — начальнап точка, Ее — — Е1хп, 0). 37.5 В стационарном одномерном течении д~ — = О, 1' = сопв1. дл Записывал закон Ома, получаем дЕ (о + пЕ) — = 4п1' = сопв1. дя Интегрируя, получим Е(я) =— — с+8 ь. 1лЛ Е, Рис.
0.37.1. Здесь С = (6Ее+ п)з — постоЯннаЯ интегРиРованиЯ, найденнаЯ из условия Е = Ео при я = О. Знак перед корнем выбран с учетом того, что имеют место неравенства дЕ 1<0, 6<0, — <О. дя Такал зависимость Е(я) имеет место, если Ее1 > ~р~ > — оо. При получении последнего равенства использованы условия на бесконечности. Равенство (О. 37. 1) может быть записано в виде 362 Глава 9.:1лектродинамика сплошных сред Действительно, в этом случае всегда можно найти 1' так, чтобы ! ЕНх = ~О), о см.
рис. О.37.1, где представлены зависимости Е(х) для 1' = О, У~ и Уз, где Уз < 1~ < О. Если ~р~(1 ) Ео, то Е(х) = ~о~/1 и 1 = О. Пусть устройство — насос. Работа (полезная), совершаемая над жидкостью в единицу времени, равна интегралу от произве- 1 дения силы на скорость о ) р,ЕЫх. Необходимая электрическая о мощность, потери мощности и КПД имеют вид соответственно ! Ейх = ~'у>ы 0 — р,о)ЕЙх, —, / р,ЕЫх.
.1У) н о а о Глава 10. Анализ размерностей и моделирование 39. Примеры приложений теории размерности 39.1 Считал движение установившимся (водоем большой) и предполагал, что в рассматриваемом струйном течении основную роль играют силы тяжести и инерции жидкости, представим искомую зависимость в виде а = У[р,д,6). Далее реализуется стандартная последовательность действий при использовании анализа размерностей. Выбирается класс систем, например, 11,МТ). В этом классе систем записываются размерности определяемого и определяющих параметров [а] = М3 ', [р] = МТ, [д] = 1,Т з, [6] = 1. Устанавливается, что размерности р, д и 6 независимы (частный случай П-теоремы, /с = и). Составляется безразмерная комбинация П для С.
Для этого записывается выражение размерности [сд] в виде степенного одночлена из степеней размерностей [р], [д] и [6] с неизвестными показателями о, 31 и 3 И = [р]"[д]'[6]т Приравниваются показатели степени при М, Ь и Т М: 1=а, Ь: 0 = — За+33+3, Т: — 3 = — 2~3. Из этой системы находится единственное решение 3 3 о=1, 13= —, у= —. 2' 2 364 Глава ! О. Анализ размерностей и моделирование С Поэтому П = . Согласно П-теореме имеем П = С, где з1зАз1з ' С вЂ” постоянная. Тогда з з 0 = Срдз6з. 39.2 Аналогично задаче 39.1, С = 1[а,р,д,й).
В классе систем 1ЛМТ1 имеем [С] М1Т-з [р] М1-з [ ] 1,Т-г [ь] Согласно П-теореме запишем С з1з з1з = у(о) откуда С = 'Реард~ о~. рдз12А512 Для определения Р(о) при фиксированном а достаточно проведения единственного опыта. 39.3 Предположим, что траектории частиц жидкости с массой т в струе формируются главным образом под действием сил инерции и сил тяжести. Тогда Е = 1[осозо, пвшо, д, т). Следуя методу Хантли, можно выбрать две различные единицы длины — в горизонтальном направлении (символ 1, ) и в вертикальном (символ 1,я). Используем класс класс систем единиц 11,„Лю М, Т ). В этом классе систем имеем [осояа] = 1, Т, [пжпо] = 1,„Т [д]=1яТ ~, [т]=М, [Е]=1 Все аргументы искомой функции рззмерно независимы (случай Й = и).
Находим безразмерную комбинацию для Е: [Е] = [о сова]~ ° [пзш а]" ° [д]р ° [т]~, =1 Т 1"Т " 1,еТ '" М'. :с я Приравнивая показатели при 1,, 1,ю Т и М, получаем 1,: 1=т, 1з. 'О=п+р, Т: О= — т — и — 2р, 365 39. 11римгры прнлож< ний теории размерности Отсюда п~,= 1. п = 1, р= — 1, д=О. Тогда — г (цсова) . (няпа) д о соеаяпад Согласно П-теореме П = С. где С вЂ” постоянная.
Тогда о соеаяпа Ю г Е= С =С1яп2а —. д д Аналогично находится г П=Сзяп а —, 2 д где Сз — постоянная. Замечание. Из точного решения следует, что Г1 — — 1, Сз = 0.5. Если бы не был использован метод Хантли, то в классе систем 1ЙМТ) было бы [Т] = Ь, [тп] = М, [о соя а] = 1 Т 1, [о яп а] = ЬТ ', [д] = ЬТ Из числа аргументов исходного соотношения только два размер- но-независимы, например, ояп а и д. Безразмерные комбинации для с. и псов а имеют вид псояа П ' 2 1' П1 ' с1К [ояпа) д 1' ояпа Согласно П-теореме П = ~р[П1). Тогда обаял а Т. = у(с1да), д где у(сЦ а) — неизвестная функция. Получено сугцественно меньше информации, чем в случае применения метода Хантли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
