Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Предполагал, что объемный поток 4-импульса отсутствует или пропорционален 4-объему, так что для достаточно малого пентаэдра он пренебрежимо мнл по сравнению с притоком через грани, и приравнивая поток 4-импульса через пятую грань сумме притоков через первые четыре, получим Ир; = Тб с15 . Глава 8.
Специальная теория относительности 336 В полученном равенстве слева стоят компоненты 4-вектора; НЯ вЂ” также компоненты вектора, поэтому матрица Т", задающая линейное преобразование векторов, — тензор. Все проведенное выше рассуждение фактически повторяет стандартное доказательство того, что напряжения в сплошной среде характеризуются тензором, см. задачу 9.3. 34.8 В собственной лоренцевой системе координат для идеального газа имеем Тол рлод Тол О Тлд О Т44 1+ Ц с / где о' = О!'1р, р) задана. Так как в той же системе координат 2 род = — вор ро' = О д44 = с а вектор 4-скорости имеет компоненты и4 = 1, и = О, то можно написать Т =-руо+~Р~ '), ")", йд'й=~!д;Д-'. с Эти выражения справедливы уже в произвольной системе координат. 34.9 Законы сохранения импульса и энергии имеют вид дТ" — =О, 1=1,2,3,4. дал Уравнение, выражающее сохранение массы покоя, записывается в виде дри — =О, дл где р — плотность массы покоя.
Это уравнение вместе с предыдущими составляет замкнутую систему уравнений относительно неизвестных р, р и и, о = 1, 2, 3. В случае пыли ТО = ри'и'. Глава 9. Электродинамика сплошных сред 35. Уравнения Максвелла 35.1 а) Требуемые уравнения можно получить с помощью формул Стокса и Гаусса-Остроградского. б) Направим ось я по направлению нор- У мали к поверхности разрыва П в некоторой ее точке и рассмотрим малую поверхность Е (заштрихованную на рис.
0.35.1) в виде плоского прямоугольника со сторо- -еИ нами длиные и1, параллельными осям х и у соответственно. Далее е и 1 устремим к нулю так, чтобы поверхность разрыва не пересекала стороны прямоугольника, параллельные оси у. Тогда из левых уравнений (35.1) — (35.2) в пределе получим ри.
О351 Е<~) — Е~~) — — Ър (В1~) — В1')) = О, с В~') — ВП)+ — И (ЕР) — ЕП)) = — — '", где индексы 1 и 2 означают, что берутся предельные значения соответствующих величин при подходе к поверхности разрыва со стороны 1 или 2, ось я направлена в сторону 1; И' — скорость перемещения поверхности разрыва по оси я; 1, — поверхностная плотность тока в направлении я. Аналогичные соотношения можно получить и для площадки, лежащей в плоскости (я, г). Беря обьем Ъ' для второй пары уравнений (35.1) — (35.2) в виде цилиндра с образующей, параллельной оси х, и устремляя к нулю диаметр цилиндра, а еще быстрее длину образующей, получим В~~) — ВП) = О, Е~~) — ЕП) = — 4яа, где а — поверхностная плотность заряда.
338 [лава 9.:)лектродпнамика сплошных еред Полученным равенствам можно придать векторную форму [Е,] + — И'а х [В,] = О, 1 с 1 4ггг [В,] — — И'и х [Е,] = — х п, с с [В„] = О, [Е„] = — 4яо, где квадратными скобками обозначены скачки соответствующих функций: [А] = АОΠ— АП). Отметим, что из закона сохранения заряда можно получить соотношение, связывающее величины поверхностного тока и заряда. Однако оно является следствием уже полученных, как это имеет место для уравнений Максвелла в общем случае, см. задачу 35.7. Если И' = О [а этого, если И' у'= с, всегда можно добиться выбором движущейся системы координат) первые два равенства упрощаются: [Е.]=О, [В,]= 4 ',„ с 35.2 В стационарном случае Е = игам ш.
Тогда, если Е, разрывна на некоторой поверхности, то скачок потенциаяа ~р при переходе через поверхность не будет тождественно равен нулю. ю В этом случае интеграл )' Е 0х, взятый поперек поверхности, а! не будет стремиться к нулю при (яз — х~) -+ О. Это показывает, что предположения, сделанные в задаче 35.1 б), не всегда справедливы. 35.3 Уравнения движения и энергии частицы массы еп с зарядом е в лоренцевой системе координат имеют вид нр,ь; ь ь ь дх ь ь — = — еГ ~ий, и = и'уб, р = тси, и ~т ' ' ' .Ь ' Эти уравнения могут быть переписаны в виде Они естественным образом обобщают нерелятивистские уравнения движения и энергии заряженной точки.
Таким образом, сила 35. Уравнения Максвелла 339 Лоренца представляет собой точное выражение для производной по времени от первых трех компонент 4-импульса частицы. Величина е есть скаляр, так как др (дт — компоненты векторов, а откуда, следует, что Е з — компоненты тензора. 'а 35.4 Проверяется вычислением. 35.5 Существование искомой системы координат очевидным образом следует из формул задачи 35.4. Ларморовская частота находится из уравнения еоВ с получаем: 35.6 а) Первая (ЗБ.З) и вторая (35.4) пара уравнений записывается в лоренцевой системе координат в виде дГ~ 4а дх) 4 = Ре~ (0.35.1) дГ™М дры дГО + + =О, дя; дзу дяь где использовано обозначение д „,„д — = у (0.35.2) Матрица у " — обратная к у; и диагональная; ее ненулевые компоненты равны: зз 44 У = 1 У = г.
с У =У В уравнениях (О. 35. 2) каждое слагаемое — компонента тензора третьего ранга, а независимых уравнений — четыре. Из вида уравнений (0.35.1) и из того факта, что Еб являются компонентами тензора, следует, что Р— компоненты вектора (четырехмерной плотности тока). б) Рассмотрим случай движения нескольких заряженных жидкостей, вообще говоря, с разными скоростями.
Для каждой из Глана 9. Электродинамика сплошных сред 340 них четырехмерная плотность тока может быть определена сле- дующим образом: 4 и и Г-"7'г К:"7 ' ,7 = ср,и, где р,* — плотность электрического заряда в собственной систе- ме координат, так что Ре .е е — 1 Р" Знаменатель в выражении для р, можно рассматривать как следствие уменьшения длин в движущейся среде и соответствующего увеличения плотности заряда. Таким образом, в случае нескольких заряженных жидкостей 4-ток представляет собой сумму, каждый член которой является 4-вектором.
в) Преобразование величин ~ и р„— векторное, такое же, как и величин х', см. задачу 33.1. В нерелятивистском случае обычно считается 35.7 Вычислив 4-дивергенцию от перного уравнения Максвелла, получим уравнение сохранения заряда д У/с — =0 д Я или дРе Ь вЂ” + — =О, д1 дх так как д'Р" . =0 дх'дх' в силу антисимметрии тензора г"'. .ш а а / 3 Реи 1 Ре Ре' Эти формулы справедливы, если и~/с (( 1. Для справедливости равенства р', = р, необходимо еще выполнение неравенства р, )) из~/сз.
Оно заведомо не выполнено при р, = О, ~ ~ О. Появление плотности заряда р, ф 0 при смене системы координат, когда р', = О, — релятивистский эффект, связанный с различным лоренцевым сокращением длин и соответствующим изменением плотностей сред, движущихся с различными скоростями. 341 35. Уравнения Максвелла 35.8 Вычислив дивергенцию от третьего и первого уравнений Максвелла, выписанных во введении к данному параграфу, получим соотношения д(йч В) д(йч Е) =О, = 4кйч 1.
дь' ' д~ Сравнивая последнее соотношение с уравнением сохранения заряда, получим д — (4кр, — сыч Е) = О. д1 35.9 Для получения плотностей силы и притока энергии просуммируем по всем заряженным частицам, находящимся в единице объема, силу и мощность, относящиеся к каждой частице, см. задачу 35.3, ~=~в,(я<- — ' В), к=г я а с о Вводя плотности заряда и тока Ре=~~ еа л --,~ еаиа~ получим 1 . у = р Е+ —,1 х В, 1'ч' = у Е. с 35.10 Непосредственным вычислением проверяется, что в лоренцевых системах координат выполнены равенства д и = — (В Вп + Е Еп) — — й д (В' + Е') 4к Як У*4 (Е х В) д4п (Е х В), Тензор я д называется тензором максвелловских напряжений; до — д~4 плотностью импульса; Иг = сзс44 — плотностью энергии; оо = сяояв — плотностью потока энергии электромагнитного поля (вектором Умова — Пойнтинга).
Глава 9.,)лектродинамика сплоп4ных сред 342 С помощью уравнений Максвелла дивергенцию тензора Я'" можно преобразовать к виду дд ь диод дд (1 х В)" + = РеЕ дхь дхд дй с до4ь 1 (ДЯ0 дД"~ 4 Е дхь с ~,дхд д~ ( с' Последнее соотношение называется теоремой Пойнтинеа. Правые части в полученных равенствах представляют собой импульс и энергию, передаваемые полю заряженными частицами (которые характеризуются величинами р, н,1).
— 1(Е„'+ В'„') йР = О, дй .I т е. Е,=О и В„=О. б) Решение задачи Коши с заданными при Е = О начальными данными в любой точке в момент времени С„может зависеть лишь от начальных данных в сфере радиуса с~. с центром в этой точке. Вне этой сферы при 1 = О без каких-либо изменений в рассматриваемом решении начальное электромагнитное поле можно положить равным нулю. Тогда при О < ~ < ~„электромагнитное поле будет равно нулю при г > 2с4„.
Единственность решения задачи Коши следует из единственности начально — краевой задачи с нулевыми граничными условиями, заданными на замкнутой поверхности, содержащей внутри себя сферу радиуса г = 2с~„ и начальными условиями. совпадающими с исходными внутри сферы радиуса г = с1. и равными нулю вне этой сферы. 35.11 а) Пусть два решения уравнений Максвелла удовлетворяют одинаковым начальным и граничным условиям, а также соответствуют одинаковому распределению электрического тока у(х, ~). В силу линейности уравнений разность Е„и В, этих решений будет удовлетворять тем же уравнениям при у = О и нулевых начальных и граничных условиях.
Используя для Е„и В, теорему Пойнтинга, см. задачу 34.10, получим д ~~Е.'+В„')Л ) ~Е,хВ„)„а: д~ l 8к / 4я У 8$ откуда, в силу условия Е„, = О, 343 Зб, Магнитная гидродннамнка 35.12 Решение аналогично задаче 35.11. 35.13 Искомое преобразование не зависит от предыстории, поэтому можно рассмотреть только вопрос о преобразовании электромагнитного поля, возникшего при нулевых начапьных условиях из-за наличия 4-тока, который будем считать отличным от нуля лишь при 1 > 1щ Из-за конечности скорости света рассматриваемое электромагнитное поле можно считать равным нулю на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
