Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Успех, достигаемый при использовании метода Хантли, в данном случае связан с независимостью движений каждой частицы струи в горизонтальном и вертикальном направлениях, что делает несущественным возникаюший новый размерный параметр, показывающий во сколько раз отличаются друг от друга выбранные для разных направлений различные единицы длины. 13 зак. 2369 3ОВ Глава 10.
Анализ размерностей и моделирование Действительно, уравнения движения частицы и начальные усло- вия имеют вид < тй = О, з = О, й = о сова, при 1= О: год = — 7йд; у = О, у = о в1п о. Первое и второе уравения могут решаться независимо друг от друга и начальные условия также являются независимыми. Из этих соотношений становится очевидной и независимость реше- ния от массы пг частицы. довательно, /,! /2 2". — С Можно принять, что скорость стационарного истечения из малого отверстия, расположенного на глубине о под свободной поверхностью, близка к величине, следующей из интеграла Вернулли, т.
е. о = 1/2дб. Тогда для отверстия 1 имеем а для отверстия 2 =с 1/г — С Условие Е1 = Ег выполнЯетсЯ пРи Н = /22. Замечание. Предположение о стационарности течения допустимо при большой емкости сосуда и незначительности размера отверстий, через которые вытекает жидкость. 39.4 Дальность полета струи, вытекающей из отверстия, расположенного на высоте Ь над дном сосуда равна Е = /1о, д, 6), где о — скорость истечения струи. Используя метод Хантли в классе систем (Ь„Лю Т), см. задачу 39.3, получим ~ Т-г 1й1 Все определяющие параметры размерно-независимы, П= од-1/2/11/2 Согласно П-теореме, получим П = С, где С вЂ” константа. Сле- 39. Примеры приложений теории размерности 39.5 Предположим, что при искомом режиме течения Н = ДЯ,п',д).
Воспользуемся методом Хантли, выбрав класс систем (Л, Ью Т). В зтом классе систем имеем [Н]= Ь„[Я] = Л'ЛяТ ', К= А„[д]= ЕяТ '. Все аргументы исходного соотношения размерно-независимы. Безразмерная комбинация для Н имеет вид Н П= Я2,~-4д-!' Согласно П-теореме П = С. где С вЂ” постоянная. Откуда полу- чаем д2 Н = С вЂ”. д:14 ' 39.6 Соотношение для компонент скорости и, в любой точке на поверхности тела с координатами т.; можно из общих соображений записать в виде з1 111 = У 12: и,: ~ о1 по;Ро Р Здесь размеры и форма тела заданы характерным линейным размером 12' и отношениями остальных линейных размеров к этому, т.
е. 1„/Н; отношения я;/И суть безразмерные координаты точки. Покажем, что в рассматриваемом случае безотрывного обтекания тела параметр ро можно не включать в число аргументов. Будем исходить из математической постановки задачи. Дз; вление р входит только в уравнение движения и в граничное успение на бесконечности Ив р — = — бган р, р~ = ро. Й Если вместо р ввести новый параметр р' = р — ре, где ро = сопя~, то вид уравнения движения не изменится, а граничное условие на бесконечности примет иной вид: 12И р — = — игаса р, р ~ = О. й СО 368 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование Таким образом, из постановки задачи исчез параметр рп, что и требовалось показать.
Тогда исходное соотношение можно записать в виде ( и =У(~ .„,—,„,Р . 4 ' ( В классе систем [1,МТ] имеем [,] =1т-', [(] =1. [,] =1т-'. [Р] = М1-'. Принимая в качестве размерно-независимых аргументы И. пп и р пз П-теоремы имеем Лналогично получается требуемый вывод для Рпз 1с( ' Д/ 39.7 Если определяемым параметром является, например, си- ла сопротивления Х, то ее зависимость от определяющих пара- метров можно представить в виде (, Х = (' Р п,ро:рь —,Аоь С~ Лналогичные соотношения могут быть записаны и для длины кавитационной полости Е и ее максимального диаметра 1Э. Легко показать, что в число аргументов этой функции вмес- то рп и рл следует включить только их разность Рп — Рл. Действительно, используя.
как в задаче 39.6, подстановку Р' = Р— Ре, имеем набесконечности условие р') = О, а на границе кавнтационной полости Р' = Рл — Рп. Уравнение движения свой вид не меняет. Кроме того, для величины силы Х имеем х=(р ~ =($у — р) ~ =~р и н Е Здесь Š— - поверхность тела, пил — проекция вектора нормали к Е на направление скорости набегающего потока и использовано соотношение [ рпп„Ип— : О.
'1аким образом, и (, Х = ( '( оьР:по;Ро — Рл И' 39. 11римеры приложений теория размерности 369 В классе систем [ЬМТ) имеем [Х) = М1Т г. [Р) = М1, '. [Ро — рг) = М1. ~'Г г, [с1) = 1,. Выбрав в качестве размерно-независимых параметров р, оо и ас, буделл иметь Ро Рз П= г, Пм= —, Пгь=оь, Пз= цс,госг ' Используя П-теорему, получаем Х ~1 2 [Ро — Рл) =,'-,Л/,с Роос1 с1 Рсо Безразмерный параметр 2(ро — Рн) =он Р "о называют чпслом естественной кавитации. Для безразмерных значений длины каверны Е/с1 н ее максимального диаметра В/0 получаются аналогичные соотношения.
Критерии подобия пмеют вид 1) [ — ) = [ — г[ -- требование геометрического подобия на- Ы -[„1,[ турного обтекаемого тела и его модели; 2) сс~ — о~' -- требование одинаковой ориентации обтекаемых тел по отношению к потоку; Г4ро — Рл))н ~2(ро — Рн)1 3) ~ г ! = ~ г ~ — равенство чисел естественРго Рс'о ной кавитацни, что легко осуществимо в гидродинамической трубе путем подбора необходимых значений [ро — рл) нли о,",. Формула для пересчета данных испытаний модели на натуру в случае использования для модели той же жидкости имеет вид Х" =Х' При соблюдении указанных критериев справедливы также формулы для пересчета, Е и О 1н 1н с1и ' с1и ' Очевидно, что и формы кавитационных полостей будут при собчюденни критериев подобия геометрически подобными.
ЗТО Глава 1О. Анализ размерностей и моделирование 39.8 Возникновения естественной кавитации следует ожидать в точке, где достигается максимальное значение скорости и, слеДовательно, минимальное значение ДавлениЯ Рап„. Такал точка при обтекании потенциальным потоком должна быть расположена на границе области течения (в рассматриваем случае на поверхности тела).
В этой точке, см. задачу 39.6, имеем С 2[р.п. — Ро) СР 1 2 о Естественная кавитация возникает когда р„п„= рш т. е. при выполнении условия С„„, = — ае. Левая часть этого соотношения, как показано в задаче 39.6, не зависит ни от скорости ио, ни от давления ро, а число кавитации ое зависит от них. При проведении экспериментов с моделью в гидродинамической трубе выполнения условия С„ ,.„ = †можно добиться, ваРьиРУЯ оа за счет изменениЯ Ро или ио. 39.9 Из П-теоремы следует и = С~!дЛ, где С вЂ” постоянная. 39.10 Допуская, что с = Др,р,у), из П-теоремы получаем с= сс — у(у).
ГР Р Из уравнения Клапейрона следует, что Р = р1сТ, где Н вЂ” газовая постоянная, поэтому с = ъ'Тф(у, Л). 39.11 Пусть й = Дрд,сс,д). В классе систем [ЙМТ) имеем [рд] = М1. Т, [сг] = МТ, [сс] = Ь. Параметры рд и сг размерно-независимы, д — безразмерный параметр. Из П-теоремы следует, что Ь= р[д) где ~р(д) — неизвестнвл функция краевого угла. Сравните решение этой задачи с решением задачи 21.14, где функции ~р(д) вычислена. 371 39.
Примеры приложений теории размерности 39.12 Высоту подъема жидкости Н будем считать функцией указанных параметров Н = ~(б,рд,о,д). Воспользуемся методом Хаитли. В классе систем [Ь, Е„, М, Т'1 запишем [Н)=Т,„, [б)=Ь, [ру)=МТ 'Т ', [~)=М1, 'БТ ', где Ь вЂ” символ единицы длины в горизонтальном направлении, а Ля — в вертикальном. Аргументы б, рд и о — размерно-независимы. Из П-теоремы получаем, что Н = у'(О) —, рдб' где ф(д) †- неизвестная функция краевого угла. 39.13 Предполагая наличие зависимости Р~ = )'[И, п,п,р,1), получаем из П-теоремы, что рпб 1 т. е. Р~ = ф йе, — рю~п~, где Ке = рой(р = юИ/и — число Рейнольдса, и = р/р — кинематический коэффициент вязкости.
Сила сопротивления, обусловленная вязким трением, при постоянной скорости движения жидкости уравновешивается силой, связанной с перепадом давления [р~ — рз), т. е. к по 4 Из экспериментов известно, что перепад давлений (р~ — рз), а, следовательно, и Рм пропорциональны 1, откуда получаем, что Р~ = у(йе) — рю о' .
з г !лава 10. Лпалн«размерив< гей и моделнр<>ванне 39,14 Вредно>к>жим< что Р = Х(1. и<р:С). Используем метод Хантли< выбрав класс свете>и (1,,1ю ЛХ,Т)< где Л н 1я суть символы единиц измерения длин соответственно вдоль трубы и поперек нее. В этом классе систем [Р>]=МЬ Т з< [<1]=1,„, [о]=й Т '. [1<]=М1 Т >, [р]=Л1ь 1„~, [~]=1, . Далее, в качестве размерно-независимых выберем аргументы И, е< «и р. Из П-теоремы следует, что 1 ~р. лгог, <р ( р„„,/ т.
е. Р! — у 2 р1 Поскольку при стационарном ламинарном режиме можно пренебречь силами инерции по сравнени>о с силами вязкости, формула для 1'<, очевидно, не может зависеть от плотности р, и, следовательно, функция <р (-„р~ — ) должна иметь вид где С вЂ” постоянная. Тогда для силы сопротивления 1>< получаем формулу Р< = С1ро. 39.15 1 способ решения. Из решения задачи 39.13 имеем Р< = <р(<>е) — ро <> .
Из стационарности течения следует, что сила сопротивления уравновешивается силой, обусловленной перепадом давления (р> — рз). Тогда, записав Р< в виде ~гР 1'< = (р> - рз)— н выражая перепад давления (р> — рз) через коэффициент сопротивчення А, получим 2 12 Р< = Л— И 2 4 39. 11рпмеры приложений гсорпп размерности 373 Из сравнения найденных выражений для !ч следует, что Л = 6(йе). Поскольку при стационарном ламинарном режиме плотность р несущественна н не должна входить в выражение для 1).
то очевидно. что Л = С/Яе. где С вЂ” постоянная. 2 способ решения. Предполагая наличие зависимости Р1 Рз У(! прей) и используя метод Хантлп, в классе систем [1,„Ь„, М,Т), где Т„и 1,„суть символы единиц измерения длины вдоль трубы н поперек нее, запишем [Р~ — Рз] = М1. 1„~Т ~, [1] = 1.. [о] = 1, Т ~, [Р] = М1„-'!., [1] = 1.„, [Р] = М1,.-'Т -'. В качестве размерно-независимых выберем 1, р, И и Р, тогда, согласно П-теореме, получим Рв — Рз (р~'~ ! р Ч-лрз По при стационарном ламинарном режиме течения в трубе перепад давления не может зависеть от плотности р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
