Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Р 1о Следовательно, скорость убывает вдоль оси струи обратно пропорционально первой степени координаты х. Отношение скоростей о(х, у) и о(х, 0) равно зо т. е. действительно может быть представлено в виде универсапьной зависимости от отношения у/х. 39.24 Пусть гг — /'(Ео, ро, 1,1). Из П-теоремы получим г гг = С('~) . 39.25 При 1 = 0 в начале сферической системы координат (г; В; р) мгновенно выделяется конечная знергия Еуо, то есть про- исходит точечный взрыв, см.
задачу 39.24. Уравнения газовой динамики для определения течения газа в области, ограниченной сферической ударной волной радиуса гг имеют вид: 1) уравнение неразрывности др д(ро) 2ро — + + — =О, д1 дг г где р — плотность, о -- скорость, 1 — время; 2) уравнение движения до до 1 др — +о — + — — =О, д1 дг р дг где р — давление; 39. Нримеры приложений теории размерности 383 3) условие адиабатичности — — + и — — = О., гДе 7 = с„/си — показатель аДиабаты. Неизвестными в этой системе являются р, е и р.
Граничные условия имеют вид: !) при г = О должно быть и = О. это условие следует из симметрии течения; 1 ЬЕи'~Б 2 2) при г = гз(1) = С(7) [ — ] 18 должны выполняться условия Ро на сильной ударной волне, т. е. 2 7+1 и2 ь~' Р2 Р01 и = и(1, г, Ео, Ро. 7), Р = Р(1, г, Ео Ро, 7), Р = Р(1, г, Ео, Ре, 7) Воспользуемся анализом размерностей. В классе систем ! ЬМТ) имеем [ ] = Ьт-'. [Ре] = [Р] = МЬ ', [р] = МЬ-'т-', [1]=т, []=ь, [е]=мь'т '. Считая размерно-независимыми параметры 1, Ее и ро, можно, применив П-теорему. записать — 3 1 г з в = [г — ] ! 8ЦЛ 7) Р = Рой(Л,7), Р= Ееьре'1 8Р(Л,7), ' Ро/ где Л = г/(Ее/Ро) 1 ! 1 — — безразмерный параметр, а. Ъ'(Л, 1)., й(Л, 7) и та(Л,7) — безразмерные функции, где 13 = Игз/й — — скорость ударной волны, ре -- плотность перед ударной волной, а индекс 2 относится к параметрам за фронтом ударной волны.
Условия на границе области течения газа записаны в предположении о том, что взрыв сильный, т. е. в условиях на ударной волне можно пренебречь давлением ре перед ударной волной, которое, таким образом, можно не включать в число определяющих параметров. Из математической постановки задачи следует, что 384 Глава 10. Лналнз размерно<тей н моделирование После подстановки этих выражений в систему уравнений газовой динамики и сокращения размерных множителей, получим 5ЛЪ" — Л13.'(2Л вЂ” 5И) + 10ИЪ' = О, (2Л вЂ” 5И) КЪ" + 3НЪ' — 5Р' = О, Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений, штрихи означают производные по Л. Подставляя выражения для о, р и р в условия на ударной волне, получим граничные условия для И, Л и Р 4С1у) у+ 1, 8Сг(- ) 5(-у+1)' у — 1' 25(у+1)' Эти условия должны выполняться при г = тг, т.
е. при Л = С1у). Задача сведена к отысканию ре1пения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующего такому значению С( у), при котором выполняется условие Г = 0 в центре взрыва, т. е. при Л = О. Л.И.Седов показал, что такое решение существует и единственно. Оно было найдено им в виде конечных алгебраических соотношений. 39.26 В задаче о точечном взрыве с учетом противодавления список определяющих параметров состоит из величин г,т,Ео,ро 'у;ро, т.
е. по сравнению с задачей о сильном точечном взрыве, см. задачу 39.25, он содержит дополнительный параметр ро. Определяемыми параметрами являются о, р, р и тг — радиус ударной волны. Выбрав в классе систем 11,МТ) в качестве размерно-независимых параметры 1, Ео и ро и применив П-теорему, получаем, например, для давления р выражение 6 Р= о Р(Л,т,у), где Л=, т= з г, у 18 — 18 ро 'о Ро 39. Примеры приложений теории размерности 385 тн — тм.
Если эти условия выполнены, то имеется следующая связь меж- ду определяемыми и определяющими параметрами натурного и модельного явлений о Рм (гм) 5 о р (г )5 г з (Ео)5 (Ро)' (Ео)' (Ро)' откуда г(ля определения значения р", на заданном расстоянии т", в мо- мент времени 1г методом моделирования запишем для этого слу- чая подробнее критерии подобия: 7 =7 тг 6 рн (г~~) 5 Ро (г )5 з г з (ро) 5 ' (Ео) 5 (ро) 5 ' (Ео) 5 При моделировании во взрывной камере можно использовать натурную среду (воздух) с тем же т, с той же начальной плотностью Р = Ро и с тем же начальным давлением Ром — — Ро.
После выбора приемлемой величины заряда взрывчатого вещества, при взрыве которого выделится энергия Ео, можно воспользоваться двумя последними критериями для определения значений т" и 1', соответствующих месту и моменту времени, при которых следует измерить давление р" в лабораторном опыте. В этом случае искомое и измеренное значения давления будут н м одинаковыми, т. е. Р~ = Р Равенство значений безразмерных параметров Л, т и т для на- туры и для модели является условием физического подобия воз- никающих течений газа, т. е. критерии подобия имеют вид 386 Глава 10.
Анализ размерностей я моделирование ГЕ 39.27 о = С вЂ”, где С вЂ” постоянная. р 39.28 Для получения критериев подобия выписываются определяющие параметры. Упругие свойства материала характеризуются модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона о. Форма и размеры балки задаются с помощью характерного линейного размера 1 — длины балки и совокупности параметров 1;/1. Учитывается удельный вес материала рд, где р — плотность материала, д — ускорение силы тяжести.
Очевидно, что 6=1' о,Е,1,— ',рд В классе систем (ЕМТ) величины 1ф и о безразмерны. Из П- теоремы следует 6 = 1~о сг, —,— Критерии подобия имеют вид о." = о", Если модель и балка в натуре выполнены из одинакового материала и имеют одинаковую форму, то для моделирования достаточно удовлетворить условию При 1 ф 1е следует осуществить центробежное моделирование, поместив модель в центрифугу, что обеспечит искусственное увеличение ускорения д во столько раз, во сколько размер модели меньше размера натурной балки.
В этом случае смещение конца натурной балки будет ббльшим, чем у модели во столько же раз, во сколько длина натурной балки больше длины модели. Предметный указатель Автомодельность, 1: 109, 267, П: 89, 151, 252, 253 Автомодельное решение, П: 89 Адиабата Гюгонио, 1: 162, 257, 265, П: 111 — детонационная, 1: 257 — Пуассона, 1: 138, П; 83 — ударная, 1: 257, 265, П: 227 Адиабатический коэффициент Пуассона, П: 95 — модуль Юнга, П: 95 — процесс, 1: 128, 138 Ассоциированный (нормальный) закон в теории пластичности, 1; 334, 346 Вектор вихря, 1: 49, 192 — волновой, 1: 242 — намагничивания, 1: 357 — перемещения, 1: 50, 293 — поляризации, 1: 357 — соленоидальный, 1: 43 — Умова-Пойнтинга, 1: 359, 364, П: 351 Величины безразмерные, 1: 370 — размерно — независимые, 1: 370 — размерные, 1: 370 Взаимный координатный базис, 1: 26 Взрыв.
1: 108, 210, 253 Вихревая пелена, 1: 194 Вихреисточник, 1: 187 Вмороженность магнитного поля, 1: 363 — электрического заряда, 1: 367 Внутреннее вращение, 1: 322 Волна Альфвена, 1: 365, П: 354, 358 — бегущая, 1: 318, П: 196, 353 — гармоническая, 1: 227, 318 — Кельвина, 1: 237 — звуковая, 1: 245, П: 240 — магнитозвуковая, П: 354 — монохроматическая, 1: 242 Волна плоская, 1; 163, 1; 243 — плоскополяризованная, П: 300 — поперечная, 1: 318, П: 299 — прогрессивная, 1: 227 — продольная, 1: 318, П: 299, 301 — простая, 1: 276 — Римана, 1: 233, 249, 276, 322, П: 210, 212 — Россби, 1: 237 — с круговой поляризацией, П: 300 — стоячая, 1: 229 ударная, 1: 247, 251, 264 — уединенная (солитон), 1: 235 — простая центрированная, 1: 277 — энтропийная, 1: 270, П; 354 — энтропийно-вихревая, П: 240 Волновод, П: 201 Волновое сопротивление, П: 207 — уравнение, 1: 242, 318, П: 194 Волновой вектор, 1: 242 — пакет, 1: 230 Волны внутренние, 1: 236 — гравитационные, 1: 227 — диспергирующие, 1: 231 — длинные, 1: 232 — капилллрные, 1: 231 — малой амплитуды, 1: 227 — Рэлея, 1: 320 Время абсолютное, 1: 65 — релаксации, 1: 344 — собственное, 1: 351 — характерное, П; 189 Второй закон термодинамики, 1: 86, 129, 130, П: 97, 113 Вязкость, 1: 170, 343 Вязкоупругая среда Максвелла, 1; 343 — — Фойхта, 1: 343 Гармоническая функция, 1; 181 Гидравлический прыжок, 1: 234 388 Предметный указатель Гипотеза Прандтля о турбулентных напряжениях, 1: 226 Гиромагнитные свойства, 1: 120 Гиромагнитный эффект, 1: 122 Главные значения тенэора, 1; 22 Главные компоненты тензора, 1: 97 Главные оси тензора, 1; 22, 97 Граничные условия для вязкой жидкости, 1; 173 — — для идеальной жидкости, 1: 172 — — для упругого тела, 1: 292 Группа симметрии тензора, 1: 77 — — тенэорного поля, 1; 80 Групповая скорость, 1: 230, 231, 318, П: 173 Движение абсолютное, 1; 66 — автомодельное, 1: 267, П: 252, 253 — баротропное, 1; 106, 197, 238, 241 — квазиодномерное, 1: 260 — относительное, 1: 66 — потенциальное, 1: 91, 181 — — осесимметричное, 1: 190 — стационарное, 1: 15 — установившееся, 1: 15 Дебаевская данна, 1: 362 Девиатор тензора, 1: 24, 299, 333 Детонапионная адиабата, 1: 257 Деформации температурные, 1: 314 Джоулево тепло, 1: 361, П: 344 Дивергенция вектора, 1: 41 Динамические условия на поверхности слабого разрыва, 1; 159, 160, 263, 272, П: 108 Дисперсионное уравнение, 1: 227, 318, П: 169, 195, 198, 199, 293 Дисперсия волн, 1: 231, 318 Диссипация, 1: 150 — механической энергии, 1: 206 Диффузия, 1: 151 — вихря, 1: 214 Жидкие кристаллы, 1: 120, 124, 125, 152, 157 Жидкость анизотропная линейно- вязкая, 1: 151 Жидкость вязкая, 1: 135, 171, 205 — идеальная, 1: 135, 170 — линейно †вязк, 1: 135, 171 — магнитная, 1; 125, 158 — неньютоновская, 1: 171 — несжимаемая, 1: 135, 180 — ньютоновская, 1: 135 Задача автомодельная, 1: 109, П: 151 — Блазиуса для пограничного слоя на пластине, 1: 221 — Дирихле, 1: 182 — Гартмана, 1: 365 — Коши — Пуассона в теории волн, 1: 227 — Ламе, 1; 313 — Неймана, 1: 182, П: 126 — Стокса об обтекании шара, 1: 218 Закон Архимеда, 1: 174 — Гука, 1: 107, 136, 290, 293 — движения, 1: 12 — Навье — Стокса, 1: 135 — Ома, 1: 362, 367, П: 345 — преобразования компонент вектора ковариантный, 1: 27 — — — — — контравариантный, 1: 27 — — — тензора, 1: 27 — сохранения количества движения, 1: 86 — — массы, 1: 86 — — момента количества движения, 1: 86, 118 — — энергии, 1: 86 — теплопроводности Фурье, 1: 128, 292 — термодинамики второй, 1: 86, 129, 130, П: 97, 113 — — первый, 1: 126, 127 Законы сохранения, 1: 85 Идеальная жидкость, 1: 135, 170 Идеальная пластичность, 1: 332 Изотермический процесс, 1: 128, 243, 292 Изотропия, 1: 77 — трансверсальная, 1: 82, 83 Предметный указатель 38Э Инварианты Римана, 1; 233, 248.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
