Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 48
Текст из файла (страница 48)
т. е. должно быть где С~ — постоянная. Тогда (Р~ — рз) = С~ !Р и/Из и, следователь- но, Р~ — Рг С (!/с1) [рга/2) йе 30.16 Пусть Я = /[д, Р, 1). В классе систем [ЬМТ) все аргументы этой функции размерно-независимы, следовательно ~Фу Я=С вЂ”, и где С -- постоянная. 374 Глава 10.
Анализ размерностей н моделирование 39.17 Предположим, что В классе систем (ЬМТ) запишем [Х]=МАТ г, Я=1,, [н)=ЛТ ', [Р)=М1 3 [Р)=М1 'Т 1 Считая размерно-независимыми аргументы И, р и н, используя П-теорему, получим Х=у[ — ) Рнн =Сл(йе) — И, Рн~1~ г г Рн [,Р) 2 где использован безразмерный параметр, число Рейнольдса, РМ оо Яе = Р Здесь и — кинематический коэффициент вязкости. Если Яе « 1, например, при медленном движении, когда силами инерции можно пренебречь по сравнению с силами вязкости, плотность р несущественна и должна отсутствовать в формуле для Х. Поэтому Сх(йе) = С/Яе, тогда Это линейный по скорости закон сопротивления (закон сопротивления Стокса).
При очень больших значениях числа Яе можно считать, что главный вклад в сопротивление дают силы инерпии, а вязкость несущественна. Тогда Сх(Яе) = Сг = сопз1 и получаем г Х=С вЂ” г. Рн 2 Это квадратичный закон сопротивления. 39.18 11ри стационарном погружении шара уравновешены сила веса шара Р и сумма сил Архимеда А и вязкого гидродинамического сопротивления Х, т. е. имеет место равенство Р=А+Х. 39. Примеры приложений теории раэыернг1гти 375 Используя для величины силы Х выражение, полученное в предыдущей задаче из соображений теории размерностей, т.
е. рея ггггз Х = Сх(йе) —, 2 4 запишем баланс сил 4 з 4 я Роз ~гсР 3 3 — иг~ргд = — гггзрд+ Сл(йе) —, —, г =,—. 2 4 ' 2 Из этого выражения определяется скорость о, если зависимость Сх(йе) известна. При йе « 1, например, в случае медленного погружения, используя результат задачи 39.17, получаем ,гг Рд /Рг о=С вЂ” — — 1, С=сопя!.. Р Р При очень быстром погружении, когда можно приближенно считать С„= сопяг, имеет место равенство н = Сг дгг ( — — 1, Сг = сопяг. /Рг Р 39.19 1) При быстром проникании, очевидно, Х = аргон,р,а), откуда на основании П-теоремы, получаем С ( о ) р о 4 ~ 3 2) При медленном проникании Х = Дг.
и, Р, о), поэтому получаем Х = С(о) 1нзР, 39.20 Исходное соотношение имеет вид 1; А,— ',1го,Я,Р,Р,д 'Н' В классе систем (АМТ) запишем размерности определяемого и определяющих параметров [1,) = Т, [д) = [йо) = Ь, [О) = Ьз, [Р) = М1, я, [14) = Мй гТ ', [д) = 1Т ~. Глава 1О.
Лиалиэ разлпериоетой и моделирование Выбрав в качестве размерно-независимых параметры 1Г, д и р, на основании ГГ-теоремы получим Я /'/1 /о О м ~( ~ ~ и'' / ' пз' 1/2 Гз/2 'Г/д и д где и = /2/р — кинематический коэффициент вязкости. Крцтерии подобия: Из этого критерия вытекает требование геометрического подо- бия натурного и модельного сосуда и насадка. 2) Из этого критерия следует, что начальная глубина жидкости в модельном сосуде должна быть равна м н~/ /10 /м /н О 1Г" и Гдв И 1/н/ПГм Выполнение этого критерия означает, что в опыте с моделью следует узнать время истечения объема Я жидкости, равного 4) 1/2,/з/г 1/глз/2 Если дн = д", то из этого критерия следует, что т.
е. в опыте с моделью должна использоваться жидкость с ко- эффициентом вязкости, меньшим натурного в и/Р раз. 1й. 11рнмеры приложений теории раамерн<1елч1 377 Если соблюдаются все критерии подобия., то пересчет данных испытаний моделя на натуру при условии д" = д производится по формуле Г где 1 — время истечения объема Я жидкости из модельного Я сосуда. Все требования, следующие из критериев подобия, легко выполнимы 1если имеется модельная жидкость, кинематическая вязкость которой в аупэ раз меньше, чем у натурной жидкости); поэтому в данном случае оказывается возможным осуществить моделирование с полным подобием явлений в натуре и на модели. Рассмотрим частный случай, когда модельный сосуд, геометрически подобный натурному, имеет в 5 раз меньшие размеры, т.
е. п. = 5. Тогда в опыте с моделью начальная глубина жидкости в сосуде должна быть в 5 раз меньше натурной; следует измерить время Я истечения в 125 раз меньшего объема. жидкости; должна использоваться жидкость с кинематическим коэффициентом вязкости р в ъ'Т25 раз меньшим, чем в натурном явлении. Если все критерии подобия выполняются, то время истечения объема Я жидкости из натурного сосуда находится по формуле а 1м ~/5 Если бы имелась возможность осуществить центробежное моделирование, т.
е. провести опыт с моделью на центрифуге, позволяющей создать любое необходимое значение ускорения „силы тяжести" д, то можно было бы использовать в опыте с моделью ту же жидкость, что и в натурном сосуде. Действительно, из критерия (4) в этом случае следует, что на центрифуге следует создать центробежное ускорение, равное д" = д" (Н"/Н") .
Поз сле проведения опыта пересчет полученных данных на натурные значения следовало бы проводить по формуле В случае И = Н"/5 должно быть д = 125д" и Я = 25Я. 378 Глава 1О. Анализ размерив< тей и моделирование 39.21 Записав для силы сопротивления И' искомое соотношение в виде И'=/ 1,—,сг,о,д,р,р '1' и выбрав класс систем, например, (1,МТ)1, считая раэмерно-независимыми аргументамн в этом классе систем аргументы 1, о и р, получим на основании П-теоремы И' (В1; у1 г1з ~ 1з 1 „з ро1( Независимость безразмерных аргументов функции / позволяет изменять их вид путем умножения друг на друга, деления, возведения в степень и других подобного рода операций.
В результа; те можно получать всевозможные эквивалентные соотношения, например, следующего вида И' 1' 1 1; о реР~ „нг1з гд ~ з~Д 1 Уг, / Записанные в представленной форме аргументы часто встречаются при использовании анализа размерностей в задачах, связанных с движением тел на поверхности вязкой тяжелой жидкости или под ней. Безразмерная комбинация гд = 1/ъЗ носит название коэффициента остроты. Очевидно, для кораблей, имеющих при том же объемном водоизмегцении большую длину, коэффициент остроты, имеет большее численное значение.
Безразмерный параметр Рг = гг/~/у1 называют числом Фруда. Он играет важную роль при анализе явлений, в которых оказывается существенным свойство весомости жидкости. Параметр йе = ро1/р, = о1/и число Рейнольдса — является одним из основных в задачах, где важен учет вязкого трения. Возможность определения сопротивления корабля методом моделирования связана с определенными трудностями: необходимость одновременного соблюдения критериев подобия йе" =йе" и Рге=рг при у"=д" и и" =и приводит к взаимоисключающим требованиям к скорости дви- жения модели. 39.
Примеры приложений теории размерности 379 действительно, из равенства чисел рейнольдса следует, что "= '(-'-') а из равенства чисел Фруда получается, что "="Ф т. е. в этих условиях осуществить полное подобие оказывается невозможным. Указанная трудность преодолевается следующим образом. Функция гр(ф, 1;/1, Гг, Яе) представляется в виде г'1; у гг,— ',Гг,йе) = уг(йе)+~рг1 — г)г Ег 1 )- т. е.
волевым образом допускается, что сила сопротивления, обусловленная вязким трением, может быть выделена в виде аддитивного слагаемого в формуле для полного сопротивления корабля. Кроме того, приближенно считается, что эта сила не зависит от формы поверхности, на которую она действует, и может быть вычислена с использованием экспериментальных данных о коэффициенте сопротивления С1(Ке) плоской пластинки, полученных при ее продольном обтекании потоком жидкости. Таким образом, формула для сопротивления Иг представляется в виде И~ = С~~(йе) 1~ + Сс~~ ~ †,г/~, Гг †, 1 =Су(йе) — Я,+Си ~ —,г~г,Гг рдР, где 5, — смоченная площадь поверхности корпуса корабля.
Ее принимают равной площади поверхности части корпуса, находящейся ниже ватерлинии. Коэффициент С, (1;/1, г1, Гг) называют коэффициентом остаточного сопротивления. Опыт с моделью корабля проводят с целью определения вида зависимости Сгг = Сгг(1;/1, ггц гг). 380 Глава 1О. Анализ размерностей и моделирование Для этого соблюдаются следующие критерии подобия: ®'=й выражение требования геометрического подобия; ~н ~м условие, которое легко осуществить; Р~" с н с„м м н 1а ' После измерения в опыте с моделью величины И™, находят Игм — Су(йе ) 5," .И )' СД вЂ” ', гР, Гг РР17м Можно считать, что С" = С, так как аргументы этих функций для натуры и для модели одинаковы. Тогда для определения И'" используют формулу И'" = Су(йе") 5н+ С,"„~ — ', гР, гг РРВ".
Конечно, ряд сделанных весьма сильных допущений позволяет получить значение сопротивления корабля лишь с определенной погрешностью, однако, как показывает опыт, использование описанной методики является практически вполне приемлемым. 39.22 Рассмотрим в качестве определяемого параметра, например, сопротивление Х, которое преодолевает летящее тело.
Форму и размеры тела зададим с помощью характерного линейного размера И и совокупности отношений к нему прочих линейных параметров 1;/и. Ориентацию тела в потоке определим с помощью углов аь. Тогда Х = У А,— ',сгыро,ро,р,т,н Используя класс систем (ЬМТ), выберем в качестве размернонезависимых аргументы И, ро и н. Применив П-теорему, запи- шем ,, = ~Р ~ — '1глы 7, —, —, ) .
Ров'~' 4' ' ' Рой' Роьи 39. 11римеры приложений теории размерности 381 Можно преобразовать аргументы этой функции. Очевидно, что и рпс1 Ке где Ке число Рейнольдса. Домножив последний аргумент на т, получим вместо него новый параметр ('уро)/(реп ). Заметив, что урн по Ро где ао скорость звука в невозму~ценном газе, можно этот аргумент записать также в виде по н' Мз' где М = и/ао — число Маха — один из основных параметров в задачах, где сугцественно проявляется свойство сжимаемости среды. В результате сделанных преобразований получаем Рн И, Следоватечьно, критерии подобия имеют вид н и н н /1 м )-Ы Необходимо заметить, что с ростом числа Рейнольдса зависимость от него становится слабой и при умеренных сверхзвуковых скоростях основными критериями подобия, кроме связанных с геометрией тела н его ориентацией в полете, становятся равенства для натурного и модельного течений показателя адиабаты .ун = эм и числа Маха М" = М".
Важно, что эти критерии не содержат характерного линейного размера. что делает ныбор размера модели свободным. Равенство чисел Маха обеспечивается в сверхзвуковых аэродинамических трубах за счет создания натурной скорости. 39.23 Течение, очевидно. является осесимметричным.
Выражение для скорости в точке (я: у) записывается в виде п(Я, У) = /(и, У, Р,Р,,Уо). 382 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование Испопьзуя класс систем 11,МТ) и выбрав х, р и 1о в качестве размерно-независимых, получаем из П-теоремы )*' 1~.) При у = О, т. е. на оси струи, получается о(х, 0) = — ~ — р ~0, и~( — ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
