Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 45
Текст из файла (страница 45)
равенство (0.36.3) в решении задачи 36.5, приобретает вид о(! — в„ов-~~ в) а+~ ~в в=о, Ео ь Ь где Ео — неподвижная поверхность, а А — ее граница. Это уравнение является интегральной формой уравнения индукции. Очевидно, как и в общем случае, что для замкнутой поверхности 5 всегда выполняется равенство В„пЕ = О, если оно имеет место в какой-нибудь один момент времени. Интегральное уравнение индукции можно преобразовать, рассмотрев изменение магнитного потока через поверхность Е(!), движущуюся вместе со средой, учитывал, что для произвольного векторного поля В(х, у, г, !) с равной нулю дивергенцией выполнено соотношение о! à — / В„о!); = — / В„ду:+ ! В (их о(!), (!/" -ж/" Ео Е(о) где Ео — неподвижная поверхность, совпадающая с Е(!) в рассматриваемый момент времени. При этом интегральные уравнения, соответствующие уравнению индукции, принимают вид й, Вв0Е+ и го~В оУ = О, В„о(Е = О, — / „ Е(о) ь Е где Е(!) — материальная поверхность, Ь вЂ” ее граница.
350 Глава 9. Электродинамика сплошных сред 36.7 Если и,„гоФВ = О, или, согласно (0.37.3), В = — их В/с, то для неподвижной поверхности Ео и для материальной поверхности Е1г) имеют место интегральные уравнения индукции, эквивалентные между собой. — В„г1Е = 1в х В) ггг', по и Е(~) Последнее равенство называют теоремой е.иороженносгли.
36.8 Согласно теореме вмороженности магнитного поля, при деформациях среды должно сохраняться неизменным смешанное произведение (г1101(Г) х 4!дЯ) В(1) = сопа1, где гП1г1(1) и Л1з1(1) — два вектора, скрепленных со средой, т. е. Ж1 )(1) = ~ — „) Й1 1(0), гг = 1, 2. Вяо Если рассмотреть третий вектор Л11), скрепленный со средой и параллельный в некоторый момент времени вектору В, то ЙЪ'Я = (Л1ц(1) х И1(,1(1)) ггпу(1) = Н'о гХ(1), где Ь1г) — отношение текущего и начального обьемов. Так как гВ1,1(0) и А1з110) произвольны, то из сравнения двух приведен- ных равенств следует сопвС Л(С) гл (1) откуда видно, что векторные линии В скреплены со средой.
Воспользовавшись правилом вычисления компонент вектора Л1г), скрепленного со средой, получим где В" — компоненты вектора В в начальный момент. Из уравнения неразрывности следует, что гл11) = г1е$ Ро оао РЯ 361 36, Магнитная гидродинамике, 36.9 а) Проверяется вычислением с учетом того, что 4н ~' гоь В = —. с Рассмотрим декартову систему координат, ось х которой на- правлена вдоль вектора В, в ней тензор магнитных напряжений имеет компоненты 2 1 2 т„= — — в, т„„= т„= — в, 8н 8я а остальные компоненты — нули. гя ВВл,„/ В21 4х (, 8х) б) дзюь д (' ду, ') ~Ю "а ~., ~д(~ /~;)) ' где У* = ро [У(р Я) + = У* ; Я есть полная энергия, отнесенная к единице первоначального объ- ем а. в) Поток электромагнитной энергии через площадку, связанную со средой, дается нормальной компонентой вектора Умова— Пойнтинга, см. задачу 35.10, Я„= — (Е х В) и.
4я Так как в случае идеальной проводимости изменение вектора В выражается через тензор градиентов перемещений дю"/дхе, где ш' = х' — х,' — компоненты вектора перемещений в недефор- мированной системе координат (хе), а давление имеет вид .=.(. )=р( — ",В~, ~М) то суммарные напряжения также выражаются через тензор гра- диентов перемещений и энтропию. Поэтому газ с вморожен- ным магнитным полем можно рассматривать как упругую сре- ду и уравнения аде ллной МГД могут быть записаны в форме Пиалы-Кирхгофа 352 Глава 9. Электродинамика сплошных сред Для случая идеальной проводимости, когда Е = — в х В/с, вели- чину Я„можно записать в виде В'В" У" Вз ~ оьвьВз Здесь выделено слагаемое, связанное с работой тензора напря- жений, а оставшийся член представляет поток энергии магнит- ного поля, если считать, что эта энергия в силу вмороженности магнитного поля перемещается со скоростью среды.
[В„,]=0, [вкВ[ =О, [ре ~=О, Р + 2 +Р+ пя — О. Здесь квадратные скобки, как обычно, означают скачок соответствующей величины. Первые два соотношения следуют из общих соотношений на разрыве электромагнитного поля при Е = — и х В/с, см.
задачу 35.1. Эти соотношения получаются также непосредственно из интегральной формы уравнения индукции при и,„= О. 36.11 Линеаризованная система имеет вид дВх ВВя дВя о до о ди — =О, — =О, —" — Ве —,+ — =О, д1 ' дх ' д1 'дх "дх (0.36.10) ~~~2 е д1 * дх (0.36.11) др ди — +ре — = О, д1 дх (0.36.12) Ве дВ 36.10 Для разрыва, имеющего нулевую скорость в некоторой системе координат, с учетом результатов предыдущей задачи запишем 36.
Магнитная гидродинамнка 353 д1 Во дВ„ Ж 4яро дх (0.36.14) да~ Во дВ =О, д1 4 яро дх (0.36.15) (ао — Лб; )и' = О, откуда следует, что Л удовлетворяет характеристическому уравнению /а, — Лб,~/ = О, а и, 'пропорциональны правому собственному вектору г' матри- цы йа;~~), так что в изучаемой волне и, = г, Дх — Л1) + сопвс, где )" — произвольная функция своего аргумента.
Такое реше- ние может быть найдено для каждого корня характеристическо- го уравнения. дв — =О, д1 (0.36.16) где и = и, о = ою и = о,. Величины, соответствующие невозму- щенному состоянию, отмечены индексом «О", величины без этого индекса — возмущения, то есть малые добавки к невозмущен- ным величинам.
Система координат выбрана так, что Во = О и ио по юо О Из первых двух уравнений (0.36.10) следует, что В не ме- няется, так что можно положить В ив е О. Это было учтено в уравнении (0.36.13). Система (0.36.10) — (0.36.16) представляет собой одно- родную по порядку дифференцирования систему уравнений с по- стоянными коэффициентами; она гиперболическая, и ее общее решение может быть найдено как суперпозиция бееущих волн, т. е. решений, зависящих от аргументов вида х — Л1, Л = сопа1. Общий вид систем подобного рода ди; ди,. +аб — 2 =О. д1 "дх Отыскание бегущих волн приводит к уравнению 354 Глава 9.,")лектродннамика сплошных < ред Для упрощения дальнейших вычислений отметим, что из системы (0.36.10) — (0.36.16) выделяются независимые подсистемы.
Это, во-первых, уравнение (0.36.16), для которого Л = О, а собственный вектор имеет вид ~ ~ ! у ~ ~ ~ ! х ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ О ~ ! ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ! ! д„о др, Соответствующая волна, движущаяся со скоростью газа, называется энтропийной. Во-вторых, — это уравнения (О. 36. 11) и (0.36.16). Для них Во Соответствующие собственные векторы имеют вид В, Ви — — О; В,; р=О; и=О; о=О; го=~:, в=О х/4кро ' а волны называются альсрвеновскими.
Для оставшихся уравнений (0.36.10), (0.36.12) — (0.36.14) при в = О, В, = О (все возмущения с В, ф О, в ~ О уже рассмотрены выше) характеристическое уравнение имеет вид Л4 12 х и + 2 + х о (Во2 + Во2), Вогцг 4я'ро 4кро где вог = (др/др)о. Любому корню Л этого уравнения соответствует собственный вектор 4кр(Лг — вг) Лр Вор(аг — Лг) Эти возмущения называют магиитоэвуковыми (быстрыми или медленными в зависимости от выбранного значения Л).
36.12 В неподвижной среде при о = сопвФ уравнение индукции сводится к урпвнению теплопроводности дв дгв д1 дхг Разыскиваемое решение принадлежит множеству решений вида о ( Нях — ~хг)) 36. Магнитная гидродинамика 355 Из уравнения находим и = г,„)с или /с = ~(1+ с),— 2Рт Искомое решение соответствует знаку „+", в=в., Б=.
(,г —...~). Отсюда б ° ~/и 7ю. г' х~ Се 1т ейп я —, С = — / Во(х) ейп ~н — / с~х, ~./ ~ ~./ о т. е. характерное время затухания возмущений составляет ~г Т= с'ся Если С окажется равным нулю, то затухание поля будет происходить быстрее и для оценки скорости затухания нужно найти первый ненулевой член разложения. 36.14 а) В силу геометрии задачи дуг =о — =О, дх поэтому всюду В„= О, В, = Во. Для нахождения и(у,х) и В (у,х) имеются два уравнения — проекции уравнений движения и индукции на ось х: др 1 ГдВ ~ — = — — Во ( — / + рсзи, дх 4я 1с, дх,/ дг дг Ь= — + —. дуг дхг ' дн О=Во — +и ЛВ„ дх 36.13 Собственные функции выписанного выше уравнения теплопроводности имеют вид в1п Йх, где Й = хи/1, и — целое число; соответствующие частоты ы = -Ы кг.
Произвольные непрерывные начальные данные В = Ве(х) можно разложить в ряд по системе этих функций. Наиболее медленно затухающим возмущением будет член, соответствующий первой собственной функции 356 Глава 9. Электродипамика сплошных сред комбинации уравнений получим дог — = оЛпг+С, дз дп2 — — = О22О2+С, дз С помощью линейной (0.38.17) (0.36.18) где 1 Гг = и — ()Ву, п2 — — и+ ДВх, о = — ~/4хц~~уп~ 17 = ~( Во 4кИ Величина 4хм др 1 )/ 12 дх Во в дальнейшем будет считаться положительной. Будем считать, что течение жидкости происходит в области гг(у) < 2 < 22(у), причем кривые гг(у) и 22(у) смыкаются, образуя замкнутую кривую. На границе выполняются условия прилипания и непротекания электрического тока: и! = О и )„! = О.
Так как у = (с/4х) госВ, то последнее условие дает В ~ = сопМ = О, поскольку Вх = О, В, = Во. Так как у = О и вне трубы,то там Ве=сопе(=В, =О. Для пг и о2 имеем, таким образом, на стенках трубы нулевые граничные условия. Гасли число Гартмана велико, Воь На= = — »1, ~/4ггрит о то первые члены в правой части уравнений для пг и пз оказываются существенными только в узких областях у стенок (поераничные слои). При этом около стенки можно заменить Ь на вторую производную по нормапи к стенке д2 1 д2 дп2 сов2 8 д22 где И вЂ” угол между осью г, т.
е. магнитным полем, и стенкой. 36. Магнитная гидродинамика 357 Таким образом, уравнения для ц~ и оз сводятся к обыкно'венным дифференциальным уравнениям, решение которых показывает, что о~ обращается в нуль на нижней стенке г = з,(у) и линейно растет при удалении от нее п~ —— С(г — г~(у)). Зз тем резко, на расстояниях порядка ~/4яр~,„/(Ве соя~ 6), уменьшается до нуля на верхней стенке л = гз(у). Аналогично имеем цз = С(лз(у) — л) всюду вдали от нижней стенки с резким уменьшением до нуля на нижней стенке. Из выражений для ц~ н оз получаем, что всюду, за исключением узких пограничных слоев толщины порядка д = ~/4яри /Во около стенок, имеет место равенство п~ + цг = -С(лз(у) — ~~(у)), 2 2 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
