Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (1119115), страница 39
Текст из файла (страница 39)
М+ оо' о Тогда распределение р1 находится в параметрическом виде МВогб 1 / ьз й '1 Р2 = о х ~ ~1 61п ~) 1Ю(Р— био) б (,Оо Его с начальными данными оо, Во, хо = О. При наилучшей передаче энергии скорость среды за скачком равна ог = Ооб, где 308 Глава 6. Теория упругости 30.12 Пусть в областях [ — 1/2; 0) и [О; 1/2) решение имеет вид ю =Ле(с' '(А„е ' +В е' ")), о=1,2, тогда в области [1/2; 1) в силу периодичности Р(х) выполнено юз = Ле (е' ' 'ы(Аге нп1' '1+ Вге'~П' О)) Из условий на контактных разрывах при л = 0 и я = 1/2 получим систему четырех линейных однородных уравнений для величин Аг, Вг, Аг, Вг, определитель которой полагается равным нулю, что дает М йг1 1 /ргсг ргсг'1 .
Ы , йг1 соя И = соя — соя — — —, [ — + — ) гйп —, я1п —, 2 2 2 [,ргсг ргсг) 2 2 где с. =,/Р./Р. и /с,у — щ/с.. При с, = с, = с (Рг + Рг) соя И = 1— вш 2ргрг 2с Зоны непрозрачности, отвечающие эффективному отражению падающей волны. определяются неравенством г г ~'~~ (рг + рг ) в1п †, > 4рг рг . 2с В длинноволновом приближении ( " (Рь/Рг — Рг/И~) [ (р)(1/и) 1 384 (р)г(1/р.)г ) )Д, йа я. 30.13 ю = ~2~( — яп —, [Й[ < — в силу неотличимости коле- '1' та 2 а 2я баний системы с длинами волн — < 2а от указанных гп„. При [й[ /эаг г / йгаг 1 малых [на[, щ = — Й ~1 — — ), что дает уравнение пг '1 12 )' отличающееся знаком при четвертой производной от аналогич- ного уравнения в моментной теории упругости.
зов 3О. Моментная теория упругости и осредневие 30.14 Уравнения колебаний имеют вид тгог„= — 13(2сого — юг +г — гог -г), Мн1гя+1 = Р (2спги+г югя+г слго) ~ решая которые, получим где о~ 11с) — акустическая мода, соя. (й) — оптическая, 2,3 — то4 Ьсо = пипа+ — гпахог, Вс =, А, 2д соя Йа А — произвольное комплексное число.
При (Йа( -+ О выполняется и~+ = 2д — +— 2даг1сг т+М соответственно 1 — 1а.1с) г/2 1+ М/т дгю У 1 1 ~ 2Рпг дг„, — + 213 ~ — + — ( со + — =О дсг 1,сп М( + М д~~ — уравнение эллиптического типа (неприменимо при больших ~ай~ по построению). При акустических колебаниях смещения соседних частиц направлены в одну сторону 1бегущая волна), при оптических — противоположно 1собственные колебания цепочки). Глава 7. Неупругие деформируемые среды 31. Теория пластического течения 31.1 Воспользоваться решением задачи 9.18.
31.2 а) При изменении только шаровой составляющей тензора его главные значения р; изменяются на одну и ту же величину. Следовательно, величины (р; — р,), входящие в критерий текучести Мизеса и Треска, не изменяются. б) Значения всякой изотропной функции симметричного тензора р можно выразить через три его независимых инварианта, например, через 11 — — рьы зз, зз .
Значения функций, задаю- И) (~) ших критерии Мизеса и Треска, от 11 не зависят. И) в) В представление критерия Треска входит инвариант lз( ), так как в противном случае оба критерия совпадали бы (прн подходящем соотношении величин г, и и,). Рнс. 0.3).1. 31.3 Для решения использовать 1) условие отсутствия нагрузки на боковой поверхности, имеющее вид р; и = О, где и — компоненты единичной нормали; 2) одно из условий равновесия половины образца, отсекаемой плоскостью, перпендикулярной оси л, — равенство нулю проекции суммарной силы на ось л; 31. Теория пластического течения 311 3) одно из условий равновесия полукольца — равенство нулю проекции суммарной силы на ось вэ, см.
рис. О.З1.1. М Ег Ответ: Рее = Рмм = Рея = Р,я = О, Ррг = э, Ряг =, 2я.а а 2яаа 314 а) Е=О,М~О; б) Е" ~О,М=О, 31.5 а) Предел текучести при чистом растяжении а, — это величина Рзз, пРи котоРой тензоР напРЯжений с физическими компонентами р;1, где Рэч ~ О, а остальные ро —— О, удовлетворяет критерию текучести. Величину рээ можно найти, если критерий текучести известен. Критерий Треска полностью определен постоянной т„которал имеет смысл предела текучести при чистом сдвиге, см. задачу 31.4, и, следовательно, дана в условии. Ответ: а, = 2те = 46 кН/смз.
б) Предел текучести при чистом сдвиге — это величина р~з, при которой тензор напряжений с физическими компонентами р;,, где р~з = рэ~ ф О, а остальные р, = О, удовлетворяет критерию текучести. Подставив такие р; в критерий Мизеса, можно найти определяющую его постоянную, имеющую смысл предела текучести при чистом растяжении, см. задачу 31.4. Ответ: а, = Ят, 40 кН/см .
31.6 Пластическое течение происходит только при выполнении критерия текучести ДрейчЛ) = О. Продифференцировав его по времени и использовав затем уравнение, определяющее т, и ассоциированный закон, можно получить выражение для Л. В случае идезльнопластической среды течение может происходить при постоянных напряжениях, причем с различной скоростью пластической деформации. Например, если напряжения во всех точках тела одинаковы и имеют в декартовой системе координат только одну ненулевую компоненту Рд, то происходит простой сдвиг с произвольной скоростью. Поэтому для идеальнопластической среды множитель Л в ассоциированном законе не выражается через скорость изменения напряжений. Ответ: Для среды с критерием текучести Др;1, Л) = О 312 Глава 7.
Неупругие деформируемые среды 31.7 Использовать выражение для А, полученное в предыдущей задаче. Учесть, что Л > О. В случае идеальнопластической среды: — при ~1//й < О происходит разгрузка; — осуществить процесс, начинающийся при /!р, ) = О с условием ~//й > О, невозможно — — напряжения не могут выходить за поверхность текучести; — при /(р,,) = О и ф/й = О возможно как йг ~ О, так и е~ = О. 31.8 Воспользоваться тем, что функция, задающая критерий текучести, зависит в рассматриваемом случае только от девиаторной составляющей тензора напряжений /!р, ) = Г(р;, ), ГО поэтому д/ дГ др~~~~ орч' др~„,1 орч' 31.9 а) Производные, входящие в ассоциированный закон, можно представить в виде д/ др' др1 дР дрг дГ дрз + + ОРО др1 дуб дрг дрб дрз дрб Найдите входящие в правую часть уравнения величины дрь/др,.
как производные от функции, заданной неявно характеристическим уравнением Р' — 1)Р + 7гр — 1з = О, з где ~~ = Рып гг = ~(ри) — Рбро~ гз = оес!!Рб!!. Полезно вспомнить, что производная определителя по его элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. Покажите, что в матрицах производных в базисе главных осей тензора напряжений отличны от нуля только элементы дрг дрг дрз — = — = — = 1. дры дргг дрзз 31. Теория пластического течения 313 б) В неизменном базисе главных осей тензора деформаций спра- ведливы равенства йдг = йдз = йгз = О. Из определяющих соотношений упругопластической среды вы- вести в этом случае уравнения Рдг = — 2ддЛ вЂ”, Рдз = — 2дгЛ вЂ”, Ргз — — — 2ддЛ вЂ”.
дРдг ' дорда ' дРгз Их можно рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных УРавнений относительно Рдг, Рдз и Ргз, считал данными величины Л(д), рдд(д), ргг(д) и рзз(с). Правые части этих уравнений обращаются в нуль при Рдг =Рдз =Ргз = О а в начальный момент по условию выполнено Рдг(0) = Рдз(0) = Ргз(0) = О. Воспользоваться теоремой единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. в) Воспользоваться результатом п. а).
Ответ: егд —— Л, ег = О, ез — — — Л. 31.10 Учесть, что из ассоциированного закона следует ег~ь —— О, см. задачу 31.8, а следовательно, и с"„ь = О. 31.11 Использовать уравнения Прандтля — рейеса, см. предыдущую задачу. Зависимость поверхности нагружения от параметра упрочнения Л удобно брать в виде, разрешенном относительно ~: Л = др(рд), где рд — — интенсивность касательных напряжений, см. задачу 31.13.
Пять из шести уравнений Прандтля-Рейеса выражают свойство йо — — 0 для всех компонент, кроме с, . Оставшееся уравнение вместе с уравнением поверхности нагружения и уравнением, определяющим изменение параметра Л, имеют вид 1 -"' = — й+ Ло, Л = Л2дд~, Х = ~р(ъ'2о), с, = е, р, = т. 2Р 314 Глава 7. Неупругие деформируемые среды Исключив из них Л и т, получить обыкновенное дифференциальное уравнение для функции с(о). Проинтегрировать его, учитывая, что до достижения начального предела текучести пластическая деформация отсутствует.
Функция е1о) нечетна, т. е. с( — о) = — с(сг), причем при О< сс< /с, е = — + — р'(~)~ И~ при и > Й. 2р /2 ~ ~англ Здесь а = ое/~/3 — начальный предел текучести при чистом сдвиге. Ответ: При указанном в условии частном виде закона упрочнения диаграмма (сг; р) кусочно линейна. 31.12 Используя закон Гука ры — — 2рнд, вычислить упругий модуль сдвига по упругому участку диаграммы.
Начальный предел текучести при чистом сдвиге найти по точке излома диаграммы. Для нахождения закона упрочнения использовать такое же, как в задаче 31.11, представление поверхности нагружения т = у(ъ/2о). Из решения этой задачи получить для функции ~р соотношение 1 1 Р'1Ы) = 2ря 2р' где 2цр --- наклон Ьсс/Ье пластического участка диаграммы. Отсюда с учетом того, что при первоначальном достижении предела текучести (сг = а) параметр упрочнения равен нулю, т. е.
у(~/2й) = О, найти выражение для се. Показать, что предел текучести при чистом сдвиге с ростом т изменяется по закону г,= йз+ 2Х рг Р Ответ: Упругий модуль сдвига р = 0.4 . 104 кН/смз; начальный предел текучести при чистом сдвиге 1с — 12 кН/смз; предел текучести при чистом сдвиге удовлетворяет уравнению т, = (lсз+азК)~~э, где а — 2 10з кН/смз. 31. теория пластического течения 315 31.13 Использовать уравнения Прандтля — Рейеса, приведенные в условии задачи 31.10. С помощью определяющих соотношений исключить из них величины т и Л, как при решении задачи 31.11, и получить уравнение И) В случае простого нагружения, при котором р;, = тлу, заметить, что иэ этих уравнений вытекает пропорциональность тензоров е„ и и,', а, следовательно, и равенство (л) (~) Р;,. е1 Р1 Из уравнения Прандтля-Рейеса вывести также уравнение М 1 Ф(И) Ыр~ 2р р~ Его интегрирование приводит к связи интенсивностей Р1 е~ =— 2р при Р~ < тГ2Й, Р1 г г~ = — + — ( ~Р'(()( 'И~ при р~ > тГ2/с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
