Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Из этих уравнений с учетом условий синхронизма (14ЛО) легко следуют законы сохранения (14.21) и (1422), а также УЕсЕзЕз сов ф =О=сонэ) илн з!пф=~УЕсЕзЕз — Вз[УЕсЕзЕз. В результате, выражая Ес и Ез через Ез, например, из второго и третьего выражений (14.22), получаем искомое уравнение для Ез: ей Ез = + 2вссозУ Ез (взНсз — Ез) (осзНзэ — Ез)— всех Последнее, как и в задаче 14.4, решается в эллиптических функциях.
!47. В задаче 10.5 показано, что для дисперснониого соотношения гра- витационно-каниллярных волн в=уйй+уйз имеется соотношение в(2йр) =2в(йр) =2вр, где йр — — Уа/2у, т. е. резонанс. Предположив такую диспер- сию для волн уравнения (!4.1), цроинтегрнровать соответствующие укорочен- ные уравнения с начальиымн условиями аз (0) =а,(0) =ао, а з (0) =аз(0) =0 р Решение. Подставив в уравнение (!4.1) решение вида и = ас 'зС,' ехр [с (й х — врСС[ + аз (еС) ехр [21 (йрх врС)[ + к.
с., получим укороченные уравнения: а, = — й а а„аз = — й а'. рс ' рс' Действуя, как и в предыдущей задаче, получаем: о! 4» = йрА,Аа яп ф Аа — — — йэА', з!и ф, — (А,'А, соз ф) О, где аа-Агехр (!»р!), ф=~ра — 2~рь А~(0) =Аъ Аа(0)=0. Но тогда Аз+А,'= =Ао', ААА,созф=б, ф= — я/2, з)пф= — 1. В результате для А, имеем уравнение Аа=йр(А»а — Ааа), Аа(0) =О, интегрируя которое, получаем Аа= =Ао!!»(й»А»!), А,=А»/сЬ(й»А»!). Отсюда следует, что энергия гравитационных поверхностных волн может переходить к капнллярным: 14.0.
Найтя решение укороченных уравнений (14.20') при условии, что амплитуда низкочастотной волны м, поддерживается постоянной. Решение. Дифференцируя второе или третье уравнение (14.20') с учетом другого, получаем йг= — ыаы»У»)а,)аа! (/=2, 3), откуда а!=а!созб!+ +Воз!и б!, 0=ум»ма) У) )а,).
Постоянные а! н б! определяются из начальных условик аг(0) а!о, аа(0) =!м»УаРаао, ао(0) =!м»Улкам, что дает по мм. со» = оо»а, ()о = й »Уаапао/б. ()а = !ы»Уя~пао/б Если при Г=О амплитуды ам н ам были малы, то и в последующие моменты времени оии останутся малымн. Это говорит об устойчивости низкочастотных волн в резонансной триаде. 149. Найти условия, при которых две поверкностные волны при нелинейном взаимодействии друг с другом могут излучать внутреннюю или звуковую волну. Определить направление излучаемых волн. Решение.
Пусть й~ и йа — волновые векторы поверхностных волн, а о», и ыа — их частоты. При их взаимодействии возникнут волны комбинационных частот и волновых векторов: в=в~~ма и й=й,~йа. Частота внутренней волны должна быть существенно меньше частот поверхностных волн. Это возможно только для разиостиой комбинационной волны м, м,— ма прп условии, что ма»мы~ (также н Фажй,). При этом внутренняя волна будет распространяться под таким углом О» с вертикалью, что з!пб,=(м,— ма)//»', где М вЂ” частота Вяйсяля, предполагаемая постоянной. Длина звуковой волны существенно превышает длину поверхностной той же частоты. Следовательно, горизонтальная проекция волнового вектора звуковой волны йо должна быть малой по сравнению с й~ (йа С:й~). Это возможно только для комбинационной волны в виде суммы й»=й~+йа при йаяа — й, (маты~), следовательно, частота звука м»=юг+в»=2м» равна (приближенно) удвоенной частоте поверхностных волн.
Для вертикальной проекции волнового вектора звуковой волны имеем й,=ум»а/со †»а, где с в скорость звука. Направление распространения звуковой волны О, определяется соотношением з)п О,=ей»/2мь 14.10. Определить амплитуду звуковой волны, излучаемой при взаимодействии двух поверхностных волн. Решение. Вертикальное смещение свободной поверхности, вызванное поверхностными волнами, имеет вид а/ ехр [! (й!г — ы/!)), вы = яй/. /=а 308 При этом в соответствии с предыдущей задачей: )гз= — йь взюв1 — горизоятальйав пРоекциЯ волнового вектоРа эвУковой волны йз=й~+йг, а ее частота в,=в,+вз. Амплитуду звукового давления будем искать методом последовательных приближений, подставляя в нелинейные члены акустических уравнений и граничных условий возмущения, обусловленные поверхностными волнами, которым припишем индекс епю т, н р .
Поскольку поверхностные волны не меняют плотности среды, единственным нелинейным членом акуствческнх уравнений будет (т т7)т,. Учитывая, что для потенциальных воли (т,ч7)т,=з7(т,г/27, запишем уравнение для акустического давления 1 дзр ( оп ) Лр — — — = — рЛ вЂ”" =Р д! ' ),2/= ' Вычисляя второе приближение динамического граничного условия (10.5) при а=б и пренебрегая для звукового давления ° силой тяжести, получаем др„ р[ == ь=С. Выражения для р,ги ч~=(нв вп) следуют иэ (10В2), дг ы, где Ь,= — гв,а! ([=1, 2). Опуская множитель ехр [!(й,г — вф], имеем: з Ь р„= р, ~' а! ехр (йгг), и„= — 1 ° в а( ехр (й(г)— ~/ ° %з ! У=!1 й/ !=х й !з в„= — 1~~~ в!а( ехр(й)г).
у=х Вычисляя теперь правые части Р и О, ограничиваясь только резонансным членом ехр [!(й,г — в,!)] и пренебрегая отношением йэ/э!~1, получаем; р=рэ]а ][аэ[4й*,сир[А+йз'г+!(йзг — взг)], о= — р в,]а,]]аз] р[!(и, — взб]. Решение для р ищем в виде 3 Р = (А ехР [(йт+ й ) г) + В ехР (1й г ) ехР [! (й,г — в !)], йз = — — й',. з сз Подставляя р в уравнение и граничное условие, находим амплитуду затухающего члена А =рз[а,[[аг[вР н амплитуду звуковой волны В= — 2р,[а,[ [ат[вР. 14.!1. Найти нелинейную поправку к частоте для квазнгармоннческого волнового пакета конечной длины, распространяющегося в среде с сильной аисперсией. Р еш си не.
Пусть й, — волновое число основной гармоники пакета, а Лй Кй, — спектральная ширина пакета. Ввиду конечности Лй систему уравнений (14.26) следует расширить, включив в нее взаимодействие составляющих волнового пакета с длинными волнами, для которых волновое число $(ЛЛ. Уравнение для спектральной амплитуды а! следует кз (1424): ге$ Г 2 ) [аа'ечвй з' ч ехР('а+В + а"а ив!+э,+ч ехр (1Л-Л] дЪ ьа 309 где бю Ьж=мбч геа,+я+ма ччй мй+юе + бй ~ 0+ ь, йо ~ -1- юа 1- — ~ (г) ~ $) мй — с,в (йт) б = (сй(0) — сгв (й,~) б = Ь! 3а Кроме того, сс оа, — -аа й,ч--аа, и а б„ч -а.л ч -аа,, следовательно, а! - — (е$(аа )з ехр (!Ьб!) Ьй. Временно считая здесь аз, =сопз(, находим е$ е ай(!) = — — (а» (вехР((Ь!1) Ьй — ) иа (зехР(!Ь!1) Ьй. б сй(0) — с„(й,) Этому взаимодействию соответствует следующее уравнение для ссгс (е'й, аа — — — !ей~ ссьсса.ьехр,' — (Ь !)Нб= (аь (зов(Ьй з, сй (О) — с ! й,) аа $ф где )й — й~) (Ьй.
Обозначив через А,=ссьбй амплитуду основной гармоники в пакете воли и учтя также член, соответствующий взаимодействию с удвоенной гармоникой, вместо (14.28) получим уравнение (! ! а, = !е'й', ) ог !'1 — + ам (, Ь йт [сй (О) — сгв (йг')) Решение етого уравнения а~=о~(0) ехр ( — )бю() соответствует волне с нелинейной поправкой к частоте, равной (! 1 бю = — езй, '(ат(з~ — + ,„„1 Таким образом, нелинейная поправка к частоте имеет дополнительный член по сравнению с (14.28). ПРИЛОЖЕНИЕ Некоторые сведения из теории теизоров В физике встречаются величины различного типа. Простейшие из них — скалярьк характеризующиеся одним числом (масса, температура и др,) и имеющие одно и то же численное значение в определенных единицах в любой системе координат.
Более сложными величинами являются векторы, которые характеризуются как численным значением, так и направлением„ или тройкой чисел, например составляющими по осям в декартовой системе координат. Естественно, что сам вектор, так же как и скаляр, не изменяется при переходе от одной координатной системы к другой, но его составляющие преобразуются по вполне определенному закону. В простейшем случае, взяв в качестве вектора радиус-вектор, проведенный из начала координат в некоторую точку, этот закон легко установить.
Для простоты ограничимся прямоугольной декартовой системой координат с осями х„ х„ х, в пространстве трех измерений и рассмотрим только преобразования поворота системы координат. Как известно, при поворотах новые координаты точки М х,', х,', х,' выражаются через старые хь ль хэ так: х,' = 'Я апхь = амх» а=ь (П.1) кв = ааааа,.д~ . (П.З) 311 --суммирование по дважды повторяющемуся индексу в формулах подразумевается даже при отсутствии знака суммы.
В выражении (П. 1) коэффициенты ав являются проекциями единичного вектора (орта) оси х<' на старые оси х„: ав= Л =сов(х, х,). Преобразование (П. 1) можно также рассматривать как преобразование компонент радиус-вектора г, проведенного из начала координат в точку М, так как координаты точки М и являются компонентами радиус-вектора г.
Теперь мы можем дать следующее определение произвольного вектора: вектором В назовем совокупность трех величин В, (1=1, 2, 3), преобразующихся при повороте системы координат по закону В~ = амВм (П.2) По аналогии с (П. 2) можно определить более сложные величины, а именно: тензором второго ранга назовем совокупность девяти величин дв, преобразующихся при ховоротах системы координат по закону Соответственно тензор третьего ранга — совокупность 27 величин дв, преобразующихся по закону и'и — — а„а„,а, дь,... Во всех формулах преобразования а;,— та же таблица чисел, что и в (П, 1).
Ясно также, что обычный вектор можно назвать тензором первого ранга, а скаляр (А'=А) — тензором нулевого ранга. Не представляет трудностей обобщение наших определений на пространство любого числа измерений и (х„х„..., х„), а также на любое линейное преобразование системы координат (таблица чисел ав произвольная, допускающая обратное преобразование). Прн изучении законов движения сплошной среды часто требуется установить соответствие некоторых физических величин с формально определенными тензорами. Для этого оказываются полезными некоторые теоремы относительно тензоров, позволяющие установить тензорный характер каких-либо величин.
Мы приведем эти теоремы для случая тензоров не выше второго ранга. Предварительно выявим некоторые соотношения между коэффициентами преобразования а;,. Известно, что поворот системы координат вполне характеризуется тремя параметрами (углы Эйлера). У нас же имеется девять величин ав, следовательно, между ними должно существовать шесть связей.
Для установления этих связей вспомним, что а„— проекция орта х,' новой системы координат на орт х„старой, т. е. х,' = ац хд + ап х, + ам ха = аа хм (ПА) Аналогично х,'=а,„х„. Найдем скалярное произведение ортов х,'х,' = аваь, хах . (П.5) Здесь, как и выше, по дважды повторяющемуся индексу подразумевается суммирование. Но в силу ортогональности ортов в прямоугольной системе координат хьх =ба, х,'х,'= бп, (П.б) где 6„=1 при 1=1'; 6ч=О при 1Ф1' — символ Кронекера. Следовательно, в правой части (П. 5) нужно учитывать только члены с й=лт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
