Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Отсюда следует, что энергия низкочастотных волн (гь, и а,) изменяется в фазе (одновременно растет или падает), а высокочастотной (а,) — в противофазе им. Иначе говоря, высокочастотная волна может либо приобретать энергию от низкочастотных волн, либо отдавать ее им. Если переписать второе и третье выражения в (14 22) в таком виде: ~ а~~'= ~а,(0) ('+в~/гь, (1а~(0)1* — 1аз(т)1*) (/=1, 2), то становится ясным, что энергия высокочастотной волны распределяется между низкочастотными пропорционально их частотам. С учетом законов сохранения можно получить общее решение системы (14.20') в квадратурах, что и сделано в задаче 14.6. Здесь же ограничимся несколькими замечаниями для случая; когда амплитуда а, высокочастотной волны поддерживается постоянной при помощи некоторого внешнего источника энергии.
При этом, дифференцируя одно из первых двух уравнений (14.20') по т, с учетом второго получаем а;=в,в,)п1а,1*аь 1=1,2. Отсюда следует, что амплитуды низкочастотных волн будут нарастать зкспоненциально а;-ехр(ат), где а= ты,гв~Ца,~. 302 (14.23) Этот эффект, носящий название распадной неустойчивости высокочастотной волны, часто используется для «параметрического» возбуждения низкочастотных волн. 50.3.
Мяоговолновые взаимодействия. Резонансную триаду часто нельзя рассматривать изолированно от других волн. Такая ситуация возникает, например, когда одна из волн триады находится в резонансе с какой-либо еще парой волн. Показательным здесь является пример генерации высших гармоник в среде без дисперсии (ег = сгй) . Единичным резонансным процессом при этом будет взаимодействие типа й,+й,=й„ег,+в,=н,. В задаче 14.7 рассмотрен процесс такого типа, но в среде с сильной дисперсией. При 1-г-оо имеем полную перекачку энергии во вторую гармонику. Однако в случае бездисперсионных волн это решение заведомо неправильно, поскольку гармоническая волна должна переходить в периодическую ударную волну (решение Римана).
Ошибка как раз и заключается в отбрасывании резонансных взаимодействий высших гармоник: Й,=й,+й„й,= = 2йг Пронллюстрнруем на простом одномерном уравнении (14.1) метод, позволяющий в принципе учесть многоволновые взаимодействия. Будем искать решение (14.1) в виде разложения Фурье по х: гг и(х, 1) = ) А»Яехр((йх)йй, гг .еа г аг = — 1 — ~ а а, ехр ( — Им»1) Щ з = й — д, 2 гг Лггг=мг+гог егг. Если при 1=0 было только гармоническое возмущение и(х, 0)=а,(0)ехр[1(ягх)1+к.с., т.
е, а„(0)=а,(0)Б(й — й,)+ +а,'(0)Б(й+й,), то в последующие моменты времени спектр и(х, 1) останется дискретным, содержащим только компоненты И„=ай„ег.=ог(й„) (н=+ 1, ~2, ...) и аг(1) =,Я а„(1). Б(й — й„). При этом (14.24) переходит в бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений: ага„ а = — — ",Я а агехр( — И г„1), 1= н — «г, (14.25) 2 ( 14.24) 303 где Аг(1)=А(й, 1) и А „=А„' в силу вещественности и(х, 1). Удобно положить А„=иг ехр( — йог1), где сг г=аг'; ог г= — егг; егг=ог(й) — дисперсионное соотношение для линейных волн.
Очевидно, что д/дх=(в и в соответствии с (14.4) Ь=йог. С учетом этого, подставив (14.23) в уравнение (14.1), получаем следующую систему уравнений относительно амплитуд волн а„: где Л и=в +в~ †.; а =а ', а,=О. В случае сильной дисперсии и резонанса между первой и второй гармониками, как это имеет место в задаче 14.7, равной нулю будет только расстройка Ли,. Поэтому, оставляя в (!4.25) только волны с номерами 1 и 2, получим систему уравнений задачи 14.7.
Однако если отсутствует дисперсия, как в случае звуковых волн, или имеется участок с малой дисперсией, как для поверхностных и внутренних волн, то в системе (14.25) следует сохранить большее число уравнений. Численное интегрирование такой системы описывает начальный этап образования ударной волны, а также распад гармонического импульса на последовательность солитонов. 50.4. Нелинейная дисперсия. В заключение рассмотрим распространение плоской гармонической волны в среде с сильной дисперсией. При этом вторая гармоника 25, основной волны й, не будет удовлетворять условиям синхронизма. Из (14.25) для амплитуд первой и второй гармоник имеем; а, = — (ей,а,а, ехр ( — 1Л1), (14.26) Подставляя теперь а,(1) из (14.27) в первое уравнение (14.26), получаем замкнутое уравнение для а, (1): а~ а,(1) = (е' — '~а,~'ах. Ь (И.28) Нетрудно видеть, что решением последнего уравнения будет функция а,=а,(0) ехр ( — 16Ы), где йо= — а*5,*1а, 1'-/Ь. Мы видим, что частота исходной гармонической волны изменяется на величину бв, пропорциональную квадрату ее амплитуды.
Этот эффект носит название нелинейной дислереии волн. Отметим, что нелинейная поправка к частоте бо получена для идеализированного случая бесконечной гармонической волны. В более реальном случае синусоидального цуга волн с конечной шириной спектра следует учесть взаимодействие отдельных гармонических составляющих в этом спектре. Это взаимодействие также приводит к нелинейной поправке к частоте основной гармоники, пропорциональной е е,'!а,!' (см. задачу 14.11) .
Заметим также, что правая часть (14.28) соответствует уже нелинейному резонансному взаимодействию третьего порядка. а, = — 1ей,о', ехр (1(х1). Из-за большой расстройки А=в,— 2ь, амплитуда а, при всех 1 остается малой. Поэтому решение второго уравнения (14.26) можно искать в предположении, что а,=сонэ(, тогда а, (1) = — — '' а', (1) ехр(!И). (14.27) Ь Поэтому если в исходных уравнениях есть члены с кубичной не- линейностью, оии внесут дополнительный вклад в правую часть (14.28). Задачи 14.1. Показать, что закон дисперсии для поверхностных волн на мелкой воде совпадает с дисперсионным соотношением для линеаризованного уравнения 1(дВ, если пренебречь величинами порядка (йН)' и выше.
Решение. В случае мелкой воды разложим дисперсионное соотношение для поверхностных волн ма=ай(ййН в ряд по степеням йН<.! и ограничимся первыми двумя членами: = ~да' йн — — (йн) = Узкий "1 — — '=с» — Ойв. 1 Г (йН)а 1 З ( 6 1 В результате получилось соотношение (14.3) с со=УяН н Р '/асаН'.
142. Получить решение Римана для одномерных нелинейных акустичесхих уравнений. Р еш е и и е. Будем предполагать, что равновесная плотность и энтропия постоянны во всей жидкости. тогда уравнение состояния имеет вяд рГ р(р) др др др др н — = — — = сз(р1 — С учетом этого соотношения уравнения неразрывдк др дх дк ности (6.9) н Эйлера (6.14) для одномерного случая примут внд: др ди др ди ди св др — +р — +и — =О, — +и — + — — =О. дС дк дк ' д( дх' р дк дя дя — — (с — и) — = 0 дГ дх Этн уравнения аналогичны (14.9) и соответствуют распространению фиксированного возмущения )о со скоростью с+и, а яо — с другой скоростью, и — с. НО И=1' — Я, СЛЕДОВатЕЛЬНО, СКОРОСТЬ РаСПРОСтРаНЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ )о И Яо будет изменяться, так как, например, 1о прн своем движении проходит через точки с разными л.
Если при 1=0 возмущение я=О, то оно будет равным нулю всегда. Тогда й=и, Гамп, р=р(и) и ди ди — +,с + и) — = О, и = Е (х — (с + и) Ц дт дх — волна Римана, распространяющаяся в сторону положительных к. Аналогично при )=О получаем волну Римана и=С(х+(с — и)1], распространяющуюся в обратном направлении (если и(с).
Если возмущения Р и С не перекрываются, то они распространяются независимо: Однако в общем случае они могут наложиться друг на друга и взаимодействовать. После того как возмущения разойдутся, они вновь будут распространяться независимо. 11 Л. М. враховсннн, н. н. Гончаров 305 др дй с др дй Вместо р введем функцию Римана Н(р) = ~ с (р)— р д1 рдт' дк ра с др = — —, а также две новые функцяк Г='/в(Н+и) н у=а/в(Л вЂ” и), для р дк' которых будем иметь: дг дг — + с+ и) — =О, дг ' дк 14.3. На основе закона сохранения импульса найти изменение во времеви пространственной протяженности Ц!) треугольной ударной волны и ее максымальной амплитуды и (!).
Решение. Предполагая, что форма возмущения останется треугольной всегда, запишем иЯ, !) в движущейся системе координат $=х — сз!г и($, !) =О, если $(0, $)Ц!), и($, !)=и Яг/!Я, если О~й(!Я. Это возмущение при !=О и в момент времени ! изображено на рис. 14.5. 7 !Ц!) !.. Полный импульс волны равен бе= ) п14,!)сф = — и (!) —,где!з=!О"1 2 2 и ко=и~(0). Смещение фронта Ц!), как видно нз рис. 14,5,равноЦ!) =$(О,и )+ +и„!=(и„/ио)!о + ит! (!з/кд)(1+ ж /б/ +из!/!о)и . В результате для и Я н Ц!) получаем: и! и (!) = и, (1 4- — ) !р 4е/Еи !~ М! 4 ! (!) = !з ~1+ ) Гна. !кз 14А. Получить стационарное решение уравнения КдВ в неявной форме, а также выражение для пространственного периода (длины) кнондалькой волны. Решение. Подкоренную функцию в правой части выражения (14.14] Можно зиипоптЬ таким образом: 2 2 / /з с/зд 1 (Š— (/) = ~ Š— + — ~ = (/ — /г) (/ — /з1 1/з — /) (1 О(~ 6 2l 36 где /,(/,</з — корня уравнения Š— (/(/) =О.
Интегрируя теперь '(14Л4), получаем искомое выражение 1 ~Ц )'80 " (($ — /х)4 — /з) !/з — Р) ' !з Следовательно, функция /(з)) (/з=/(тм)) вмражается через вллнптнческнй интеграл первого рода. Пространственный период кноидальной волны будет равен где К(з) — полный зллиптический интеграл.
14.6. Показать, что для изотропных волн (ы=ы(й)) с ы(0) =0 при условиях ы'(й))0 н ы">О всегда можно выполнить условия синхронизма (14.18), а в случае ы')0 и ы" (О'зги условия удовлетворить невозможно. Решение. Решение задачи вытекает из следуюших очевидных соотношений. При ы")О дисперсионная кривая ы(й) выпукла вниз и ы((йз — А~()( 306 <в(й,)+в(дз) <в(йс+йз). Если положить )со=Ос+)со, то при изменении угла между векторамн )с~ н )сз от нуля до и имеем [йз — йс[()со~Ос+Аз. Следовательно, частота вз — — в(йз) будет непрерывно изменяться от в(Ос+Аз) до в([аз — й,[) и в какой-то точке совпадет с в(йс)+в(яз).
Прн в"<О имеем е(йс)+в(йз) >в(Ос+Аз) ~в(йз) и такое совпадение оказывается невозможным. 14.0. Свестн систему укороченных уравнений (14.20') к одному обыкновенному дифференциальному уравнению. Р е ш е н и е. Для волны ас ([=1, 2, 3) введем амплитуду и фазу ас Асехр(грс), А!=[а
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
