Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(13.34) Отсюда видно, что о„и о„находятся в фазе, т. е. траектории частиц всегда являются прямыми линиями. Приравнивая определитель системы (13.34) нулю, получаем дисперсионное уравнение для магнитоакустических волн ⫠— (с,'+ с',)й»ыэ+ Сс*,й«соз» 0 = О, (13.35) где О=агссоз(й„/й) — угол, составленный вектором к с направлением невозмущенного магнитного поля. Два решения последнего уравнения .*„= ((г 4-,'у2 ~ ((с, '+ с,') !4 — с,'с*, » Е)") й (13.38) соответствуют двум видам волн, распространяющимся с фазовыми скоростями с,=ге,/й. Учитывая, что (с,*+с,*)* — 4с,'с.' соз'8) ) (с,' — с,')', легко получить следующие соотношения между с,*, с,* и с,'.
с' «и~п (с,', с,') <шах (с,', с',) < с'. (13.37) Таким образом, в общем случае в сжимаемой, проводящей жидкости возможно распространение волн двух классов. Фазовая скорость волн одного из этих классов не превышает нн скорости звука в среде, ни альвеновской скорости.
Этот класс волн называется медленными магнитоакустичесхими волнами. Скорость волн другого класса, называемых быстрыми магнитоаку- 288 стичесними волнами, больше как скорости звука, так и альвеновской скорости. В силу уравнения с))ч Н=О магнитоакустические волны являются поперечными в электромагнитном смысле: б)ч Н=/(сН=О ()с 1.Н). Однако угол между вектором скорости частиц ч и волновым вектором й у этих волн может быть разным. В задаче 13.4 рассмотрены два предельных случая: с,'))с,' и с,о~с,*. При этом оказывается, что в первом случае быстрая волна, для которой с, =е„ является практически продольной, медленная волна— поперечной, распространяющейся со скоростью е с,сои й. Во втором случае в быстрой волне, распространяющейся со скоростью с,-с„частички движутся параллельно оси у.
Напротив, в медленной волне (скорость с жс,созО) частицы жидкости движутся вдоль оси х. Задачи 13.1. Найти безразмерные параметры подобия, характеризующие движение проводящей жидкости в магнитном поле. Р е ш е н н е. Для уравнений магнитной гндродннамнкн (13.2) — (13.6) основными размернымн параметрами служат: характерная скорость и„характерный размер Р, внешнее магнитное поле Но. Прежде всего, обратимся к уравнению (!3.7). По порядку величины сила ннерцнн в этом уравнении Р, р(чт7)ч-риоо/Р, вязкая, сила Ео=т)йч Чио/Р' н магнитная Р„Ноо/ /4пР. Соотношение между зтими силамн определяет два безразмерных параметра: обычное число Рейнольдса йе Ро/Ро т иоРР/Ч н так называемое чнсло Альвена А ю Ро/Ро ~м Ноз/4п р поз. Рассмотрим теперь два члена в правой части уравнения (13.8).
Первый из них, описывающий вмороженное поле, по порядку величины равен го1 (чХН) иоН,/Р. Второй, соответствующий диффузионному процессу, имеет порядок величины сзаи/4па сОНо/4ппР'. Отношение первого ко второму характеризует степень вморожениостн поля н называется магнитным числом Рейнольдса: йе =4поиоР/с'. При йе Ъ1 поле будет вмороженным, при йеа~! — диффузионным. Введенное в п. 47.3 число Гартмана М=(НоР/с)Уй/Ч выражается через йе,Аи йе: М'=Айейе„= (Ро/Ро) йе .
Иногда также вводится так называемое число Стюарта: и = Айе„= аНооР/рсоиз. 13.2. Рассчитать стационарное течение проводящей жидкости между дву. мя плоскопараллельнымн пластннамн, одна нз которых покоится, а другая движется в своей плоскости со скоростью ио (течение Кузтта). Внешнее магнитное поле Но направлено перпендикулярно плоскости пластин. 289 Решение. Задача вновь сводится к решению уравнения (13.13'), но с другими граничными условиями: о( — Ы) =О, о(»!),=со.
Кроме того, в (1333') положим Ее=О н, как это должно быть для течения Куэтта, др/дх=О. Тогда решением будет о(у) =иозЬ[М(у+»()/о/)]/зЬ2М, что переходит в линейную функцию прн М~! и в о(у) =со ехр [ — М(1 — у/о()] при М~1. 13.3. Рассчитать течение Гартмана (Пуаэейля), описанное в п. 47.3, в предположении, что по оси х канал ограничен идеально проводящими параллельнымн стенками, отстоящими друг от друга на расстоянии, много большем расстояния»( между пластинами. Решение. В этом случае выражение для скорости о(у) будет снова определяться формулой (13.14), но здесь уже нельзя считать электрическое поле произвольным.
Иго величину можно найти из условия равенства нулю полного тока, перпендикулярного идеально проводящим стенкам: л ~ Ю,ду=о. Поскольку с др / с др 1 с)о (Му/»() У = о(Ео+иНо/С) = — — — + [ — — +аЕо) Но дх [, Н, дх ~/ сЬМ 1 — [ 2»( Г с др уо ду = — ~ о Ео 1)о М вЂ” — — (М вЂ” Гп М) 1 о — М~ о и Приравнивая последнее выражение нулю, получаем с др М вЂ” 1)оМ Ео = аНо дх Гп М и с учетом (13.14) сз др сЬ М вЂ” сЬ (Му/»() о(у) = — —,— М оН'„дх зЬ М 13.4. Рассмотреть движение частиц жидкости в магннтоакустических волнах в двух предельных случаях: а) со~с»; б) со~с,.
Решение. Ясли шах(с., со)л ш)п(се со), то в выражении (13.36) можно разложить в ряд квадратный корень: (со+ со)/2 — [сосо/(со + со)] созе О. В результате для фазовых скоростей волн сез,=вез/йз получим: с,'с,' с„' = с,' + с,' = шах (с,', с,'), с' = ' ' соз' 3 — ппп (с,' с') соз' О, 5 о Целее, из (! 334) найдем от= (мз — с,зй,о) о»/(с.зй»йо). 290 В случае «а» (с,т>с,т) имеем для быстрой волны с«' с,', ы«'=с,Ч', отсе (й»/й )о, илн о /о»тй«/й», т. е. ата волна является продольной.
Соответственно для медленной волны с ' с,»соа'В, м тес»»йтсоа»В с«тя«», о»ся — (й«/й„)о или л,о,+л»с»тб, следовательно, медленная волна является поперечной. Аналогично в случае «б» (с«»~с,») имеем с+ с„а+тес»тй», ото~ яя (с«Ч»/с сй а»)о =2(с,»/с,')о„/а!п20>о„т. е. в быстрой волне частицы жидкости перемещаются практически вдоль оси у. Для медленной волин с»тс,»соа'В, со»тс.Ч'соа»В=с,ы,», о»явб — движение параллельно оси к.
Глава 14 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ТЕОРИИ ВОЛН В предыдущих главах, посвященных волновым движениям в жндкостн, описаны основные типы волн в линейном прнблнження, когда справедлив принцип суперпознцнн. Прн этом волны каждого типа, так же как н нх отдельные гармонические составляющне, распространяются в среде независимо друг от друга. Однако не следует забывать, что линейные уравнения для волн в жидкости получены в результате упрощения (лянеарнзацнн) исходных нелинейных уравнений гндродннамнкн. Поэтому представляется необходимым выяснить, прн каких условиях оправдано линейное приближение для волн, а также рассмотреть принцнпнально новые эффекты, обусловленные нелннейностью уравненнй.
Этим вопросам н посвящена настоящая глава. Прежде всего мы качественно оценим необходимые условия, накладываемые на амплитуду волн, для справедливости линейного приближения. Затем рассмотрим некоторые типичные задачи нелинейной теории волн, такие, как генерация высших гармоник, искажение профиля волны, солнтоны в днспергнрующнх средах, резонансные взаимодействия волн н т. п. Отметим также, что основные нелинейные эффекты будут изложены на основе простых модельных уравнений независимо от природы волн. Такой подход хотя н может показаться абстрактным, но позволяет освободиться от громоздких математических выкладок, неизбежных прн непосредственном анализе гндродннамнческнх уравнений н часто затеняющих суть явлений. Кроме того, прн таком подходе проявляется единство нелинейных эффектов для волн любой природы, поскольку качественно этн эффекты зависят только от типа днсперснонных зависимостей волн н порядка нелинейности.
Применение общей теории к конкретным видам волн дано как в основном тексте, так н в задачах в конце главы. 291 9 49. Нелинейные одномерные волны 49.1. Параметр нелинейности. Одним из нелинейных членов, входящих в уравнение движения (8.1), является инерционный член /чч)ч. Сравним его по порядку величины с линейным членом дч/дй Если о,— амплитуда скорости, в — частота волны и й — волновое число, то дч/д1 ыо„ (чч)ч йо,', отношение этих членов е=йо,*/во,= о,/се, где се=в/й — фазовая скорость волны. Таким образом, для справедливости линейного приближения необходимо, чтобы скорость частиц жидкости в волне была виа. чительно меньше ее фазовой скорости е«1. Параметр е называют параметром нелинейности. Для акустических волн это число А4аха М=о,/с, где с — скорость звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
