Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 56
Текст из файла (страница 56)
р-~-0 и о-~-0 прн Г-~-~со, то из (12.63) следует, что суммар- ный импульс волны ) рог=О. Следовательно, сфернческн-сим- В метричная волна в отличие от плоской не может состоять только из областей сжатия (р)0) или разрежекия (р(0). В случае гармонической зависимости от времени функций 1 и и в (12.62) придем к гармоническим сферически-симметрич- ным волнам вида: р = — ехр[1(~йг — Ы)), А г (12.64) о = — ~~1+ — 7! ехр [1(п= йг — М)). А / Росг ~ а.) Здесь выражение для о получено из р с помощью (12.11). Легко видеть, что границей волновой н неволновой зон служит расстояние г, порядка длины волны йг, 1. При йг(! превалирует неволновой член, при йг»1 имеем волновую зону. Пусть скорость поверхности пульсирующей сферы, излучающей сферически-симметричную волну, задана законом о,= =о,ехр( — (гь().
Пренебрегая в линейном приближении (малые о,) изменением радиуса сферы Я„приравняем эту скорость ее значению в волне (12.64) с верхним знаком (уходящая волна) прн г=гг,. В результате для амплитуды давления А находим А = — ' ехр ( — йй,). (12.65) айь'+ ! 46.2. Объемная скорость. Импеданс сферической волны. Если радиус пульсирующей сферы мал (М,«!), то выражение (12.66) упрощается: Аж — йьр,Я,*о,.
В этом случае вместо скорости точек сферы обычно вводят величину Уо=4п)1о~ое (12.66) называемую объемной скоростью излучателя и равную объему жидкости, который вытесняется сферой в единицу 'времени. При этом выражения (12.64) перепишем так: р = — Рь 1', ехр [1(йг — гв!)[, 4иг (12.67) = — — '"' /~+ — ''[ехр ИЬ вЂ” ~)~. 4ксг 1 аг ) Покажем теперь, что любой малый по сравнению с длиной волны излучатель, а не только пульсирующая сфера излучает 269 сферическую волну (12.67), если только он имеет отличную от нуля объемную скорость У,. Рассмотрим для этого излучение звука ври возникновении в некотором объеме У избытка или недостатка вещества. Изменение массы вещества в объеме с(У будем характеризовать величиной (Р,+р)д(г, 1) с(У, где д(г, Г)— заданная функция; р,+р — полная плотность.
В этом случае исходное уравнение сохранения вещества (6.7) запишем в виде —,1 о, + в| вг - ) |в. + в| ввг откуда легко следует обобщение уравнения неразрывности (6.9) — + ч в Р + (Ро + Р) о ч = (Ро + Р) Ч др д/ Лннеаризнруя это уравнение относительно акустических величин т н Р, предполагая д также малым, получаем др -1-Р от =Род нли — + рвсовгч = Р,сод. д/ д/ (12.68) Отсюда с учетом линейного уравнения Эйлера (12.4) следует неоднородное волновое уравнение ! двр де /1 — — — = — Р— св др д| (12.69) а также неоднородное уравнение Гельмгольца для гармонических процессов ЬР+Я'Р=(врос/, Я=в/с.
(12.70) 270 Фундаментальным решением последнего, соответствующим точечному, т. е. малому по сравнению с длиной волны источнику в точке г=О с д=двб(г) и с объемной скоростью У, = Ц)//Ю= Ов =д„и будет выражение (12.67) для р. Определим энергию, уносимую сферическн-снмметричной гармонической волной, для чего найдем вектор плотности потока энергии рч, направленный по г. Полагая У,=~У.1ехр(/а), ф=йг — в/+а н беря вещественные части выражений (12.67), имеем ро = — ' — яп |р — ~яп ф + — ) = вврв 1 Ув1 во 1 о'в! / ° сов ф 1 4н г 4псг Йг ) в в /э|но ф+ рвсав ~ Ув1в / . в|пзф1 (12.71) 16вв г* (, с/вг ) Отсюда для усредненного по периоду волны суммарного потока энергии через сферу радиусом г получаем 7 = 4пг'ро = — "но(1','1о.
(12.72) авв При г~г„как следует из рис. 12.6, [гайто/2[ж юг[1~(г,/2г)соз81. Сохраняя члены порядка г,/г только в экспонентах, найдем р= о Р' ' з)п ! — ' соз 8 ) ехр ((/ге). 2пг ~ 2 (!2.75) Таким образом, мы снова получили сферическую волну ехр(йг)/г, но с множителем з(п[(яг,/2)сов 8), определяющим характеристику направленности излучающей системы. Эта характеристика многолепестковая, если яг,Ъ1, так как в этом случае функция з1п[(йг,/2)соз 81 несколько раз достигает максимума и проходит через нуль при изменении 8 от нуля до я.
Случай, когда монополи находятся на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны йг,« 1, соответствует акустическому дииолю. Сохраняя прн этом в (12.74) члены порядка г/г, н Член, содержащий з)п2ф/кг в выражении (12.71) и соответствующий неволновому члену в выражении для скорости, при усреднении дает нуль.
Однако этот член в случае малых по сравнению с длиной волны размеров излучателя играет основную роль в сопротивлении, которое оказывает среда при излучении звука. Введем импеданс расходящейся сферически-симметричной волны на произвольном расстоянии г, т. е.
величину Е=р/о, равную согласно (12.67) Я = /р,гзг/(/йг — 1) . (12.73) На малых расстояниях, в частности на поверхности пульсирующей сферы малого радиуса Я (И «1), нмпеданс определяется в основном неволновым членом и является часто мнимым: Я[оь = — корД,. Следовательно, давление на поверхности сферы будет равно р[гч= †/гврЯ,Р[ж=рД,а, где а †ускорен точек сферы. Полная сила, действующая на всю поверхность сферы, при этом имеет вид г=4прД,оп=Ма, где М= =4нРД,о — присоединенная масса пульсирующей сферы, помещенной в'несжимаемую жидкость (см. задачу 7.13).
Таким образом, при расчете сопротивления среды для излучателей малых размеров можно использовать присоединенную массу, рассчитанную для несжимаемой жидкости. 46.3. Акустический диполь. Рассмотрим систему из двух монополей, расположенных на расстоянии г, друг от друга (рис. 12.6). Пусть объемные скорости излучателей одинаковы и равны У„ но излучатели работают в противофазе.
Выражение для суммарного звукового поля согласно (12.67) имеет вид /гоРо У [ ехР(/л! г+го/2!) ехР(И!г — го/2!) 1 (12.74) лн [ !г+го/2! ! г — го/2 ! з знаменателях (что важно для малых расстояний «гав]), получаем Р = Рз )'его(1+ †]созйехР(йг). (12.76) 4пг т 1«г ) Характернстнка направленности акустического днполя носинусоидальная. Линия, соединяющая монополи, от которой отсчнжывается угол 8, называется осью диполя, а произведение [гзгз — его моментом. МаксимУм излУчениЯ пРиходитсЯ на направление вдоль осн днполя, в перпендикулярном направлении излучение отсутствует. Отметим, что выражение (12.76) может быть записано н так: (12.77) т. е.
поле дныоля получается прн дифференцировании поля монополя в направлении осн днполя. Если монопольный источник соответствовал излучению пульсирующей сферы, то, как можно показать, днпольный нсточннк соответствует осцнллнрующей в жидкости сфере, т. е. движению центра жесткой сферы по закону т=т,ехр( — 1Ы). Прн этом, так же как н для пульсирующей сферы, сила сопротнвлення среды для осцнллнрующей сферы малого радиуса определяется присоединенной массой шара прн ускоренном лрямолинейном движении его в несжнмаемой жидкости: (2пЮ(3) р, (ем. (7.40) ) .
Задачи 12.1. Прн 1=0 заданы давление р(х, 0) =рз(х) и скорость частиц л(х, 0) =от(х). На«та решение одномерного волнового уравнения р(х, 1). Решение. Общее решение волнового уравнения имеет зид р(х, 1) = =[(х — сг)+е(х~-с!), при этом скорость частиц о(х, 1)=(р,с) — 'Ц(х — сг)— — е(х+сг)]. Подставляя и последние выражения значения р и о при 1=0, находим: )(х)+Е(х) =рз(х), [(х) — я(х) =расее(х).
:Отсюда непосредственно следует, что [(х) =уз[рз(х)+расее(х)] Ю(х) = =1/т[р (х) — ресоз(хц и р(х, 1) ='[з[рз(х — ст)+россе(х — сг)+ре(х+с!)— — р,соз(х+с)) ]. 12.2. Пусть на плоскости г=О задано распределение нормальных скоростей о,], а= аз ехр (1(й;х — ыг) ]. Найти излучаемую при этом звукагую волну. Решение. След на плоскости г=О излучаемой звуковоз волны должен совпадать с заданным распределением нормальной скорости, а именно р = А ехр [1(й х + й,г — ге1)], й, = р ма[се — й„'. Нормальная скорость на плоскости г=О при этом равна 1 др ! «з тг]г е .
— ~ =А — ехр[11« х — еи>]. 1ре зг ]т=з рз 272 Отсюда для амплитуды звуковой волны А получаем ре е ре е р с — О У (!ют+рес)/(Ьеш — рес). ь .схт 12А. В условиях предыдущей задачи считать, что безмассовый поршень толщиной Ь (ЬЬм.1) изготовлен из упругого материала с модулем Юнга Е н оперт на абсолютно жесткую стенку. Решение.
В этом случае смещение а(0) частиц жидкости при «=0 будет определяться законом Гука р(0) =Ею(0)/Ь. Следовательно, скорость будет о(0) = — !ыи(0). Для импеданса при х=О и козффициента отражения находим: р! !Е 3= — ~ ~:е 1Š— Ресмй У= !Е+ ресмЬ 12.5. Найти входной нмпеданс Яех жидкого слоя толщиной И, за которым расположено жидкое полупростраиство с входным импедаисом Ех для па- дающей под углом к границе слоя плоской волны. Акустическяе параметры слоя рь се.
Рассмотреть частный случай однородного жидкого полупростпан- ства с параметрами рх, се. Решение. Проекции на границу волновых векторов волн в полупро- странстве л слое (рнс. 12.7), как и нх частоты, будут одииаковымн, например $ и и. Решение в слое — с((яе-О, опуская общий множитель ехр [Щх — ы!)1, запишем в виде: р = Ае з!п Ье,я+Ве соз Ьмз, р = '* (Аесозй х — Вез!пй< г), !мре е = Гсес:К Мю Положив здесь ге=О, найдем Ае — о (0), Ве р(0). Следовательно, в люк Ь х 1О л. М. Бреховских, и. В. Гекеерев 273 где Π— угол, составляемый волновым вектором й (Ь, Ь,) с осью л. 12.3. Плоская гармоническая волна р+ — — А ехр (Цйх — ы!)), распространяясь в трубе, отражается от ее конца, закрытого подвижным поршнем массой т на единицу плошади.
Рассчитать импеданс препятствия н коэффициент отражения. Р е ш е н и е. Отраженную от поршня волну запишем в виде р =АУехр ( — !(Ьх+ +ы!)). Под действием суммарного давления поршень придет в двнженяе са скоростью, определяемой вторым законом Ньютона, шс(оЬЙ=Р нли для гармонических процессов о р/( — цеш). Таким образом, для импеданса поршня получаем Е=р!о= = — !мш. Теперь по (12.33) найдем коэффициент отражения бой точке — с((ач-О /мрд Р (г) = — с, (0) зш нюх + р (0) соз асс , ез о,(т) =о (0)соей а — '* р(0)з)пй а. к~ъ Для импеданса будем иметь /2з(а(Д а)+гз г (а) = , г,, ге+а, 18(Д„а) (12.78) где Яе=ырс/яе,=расс/соя Ос — нормальный импеданс плоской волны в слое.
В частности, входной импеданс 2„-2( — и) будет равен г,— 12,12(Д Д) г,„- г,. г, — 12, 12(2„() (12.79) 12.6. Определить параметры однрродного слоя ре, сь о, расположенного между двумя полуцространствами с рь с, и рь сь так, чтобы падающая под углом из первой (или второй) среды волна не отражалась (полное прохождение). Р еш сии е. Коэффициент отражения от слоя У можно найти из (12.33), где следует положить Я~=ар,/йы, йы У(в/с~)' — 2з, Ез Е~т — входному нмпедансу опирающегося на однородное полупространство слоя. Выражение для 2ы через Х,=мр,/ды и Ечч ырс/й„было выписано в предыдущей задаче. По условию У=О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
