Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Пусть на плоскости г=О задано о,(1) =1(1), нетрудно проверить, что решением акустических уравнений (12.2) будет: о„= о„=О, о,=[(à — г/с), р=р,с((à — г!с). В случае произвольного распределения давления или нормальной скорости на плоскости целесообразно воспользоваться разложением этого распределения в интеграл Фурье по 1, а также по х и у и получить решение для отдельных компонент разложения. Пусть, например, на плоскости г=О имеем распределение давления р(,,=А ехр (1(й„х+й„у — Ы) ), (12.142 Решением волнового уравнения (12.3), совпадающим с (12.14) при г=О, будет гармоническая плоская волна р (х, у, г, г) = А ехр [1 (й,х + й„у + й,г — оМ)[, й, = ~Р— й~, (12.15) где йх=~й„'+й„' — проекция волнового вектора [г на плоскость г=О.
Волну (12.14) называют «следом» плоской волны (12.15) на плоскости г=О. След является волной той же частоты и амплитуды, а его волновое число равно проекции волнового вектора [г на данную плоскость. Таким образом, зная след волны в плоскости, т. е. одну из гармоник Фурье при разложении давления или нормальной скорости в плоскости, легко получить его продолжение в пространстве в виде плоской волны.
Выражение (12.15) имеет интересное обобщение на случай, когда й >й=ча/с, т. е. когда проекция волнового вектора на плоскость превышает его длину. В этом случае величина Й,= =уй* †'= фй ' — й' чисто мнима и акустическое давление в р(х, у, г, !) =А ехр ( — (й,(г) ехр (г(й,х+йу — а1)1 (12.16) среде будет 250 Волну такого вида называют неоднородной плоской волной.
Ее фронты совпадают с плоскостями /г„х+й„у=сопз1, но амплитуда волны уже не постоянна в этой плоскости, а экспоненциально убывает прн удалении от поверхности г=О. Плоскости равных амплитуд г=сопз1 ортогональны фронтам волн. Скорость частиц жидкости в неоднородной волне не совпадает с направлением ее распространения, а имеет компоненту и в перпендикулярном направлении. В самом деле, используя (12.11) и полагая для простоты /г„=О, находим: 1 др и„= — — = — 'А ехр( — ]й,] г) ехр[1(й,х — Ы)], иарю дх про (12.17) о, = — — = 1 — *Аехр( — ]Уг,]г)ехр]1(/г,х — оэ/)]. 1 др .]" ] 1крв дг нре Компоненты скорости сдвинуты по фазе друг относительно друга на и/2, что соответствует эллиптическим траекториям частиц.
Понятие неоднородной плоской гармонической волны можно обобщить, записав ее в виде (12.10) и считая волновой вектор к комплексным к=]г'+Й", но по-прежнему удовлетворяющим соотношению (12.9) при вещественном положительном значении й'=ы*/с'. При этом имеем волну р = ехр( — ]г"г+ +1(Ы'т — Ы) ], распространяющуюся в направлении вектора к' с фазовой скоростью сь=ы/Й' н переменной в пространстве амплитудой. Подставляя ]1=]г'+]г" в (12.9) и приравнивая по" отдельности вещественную н мнимую части слева и справа в равенстве, получаем: ]г']г' = ялй~+ йейр+ йМ, = О, (12.!8) 11" — 1г"' = /Р = ыз/сь. Отсюда следует, что плоскости постоянной фазы ]г'г=сопз1 ортогональны плоскостям постоянной амплитуды ]г"г=сопз1.
Поэтому, как и в простейшем случае (12.,16), неоднородная плоская волна распространяется в направлении, задаваемом вектором к', н имеет амплитуду, быстрее всего убывающую в перпендикулярном направлении. Из (12.18) также следует, что й*<йн нлн сь'= (ы/Й')'<(ы/й)*=с', т. е. фазовая скорость неоднородной волны всегда меньше скорости распространения обычной плоской волны. Следовательно, н длина волны Х'= =(2п/й') <2п/я также меньше длины обычной плоской волны той же частоты. Неоднородные волны не могут существовать в неограниченном однородном пространстве, так как нх амплитуда будет неограниченно возрастать в одном нз направлений. В случае же ограниченных сред с ними часто приходится встречаться. На- 251 пример, именно с учетом последних решается задача об излу- чении звука произвольным распределением давлений или нор- мальных скоростей на некоторой плоскости.
Как мы увидим ниже, при преломлении плоских волн на границах раздела сред неоднородные волны могут превращаться в обычные и наобо- рот. 44.4. Энергия звуковых волн. В $23 дано выражение для энергии единицы объема жидкости Е = о/орос+ ри+ ра, где Р=р.+р' и р=р,+р.'- (см. ниже) — полные величины, а не приращения. Энергия жидкости во внешнем потенциальном поле и в нашем случае равна нулю.
Поскольку мы ограничива- емся линейным приближением, то в выражении для энергии следует удерживать члены не выше квадратичных. Поэтому для плотности кинетической энергии имеем Е„= о/, (р, + р') ио ж -'/,р,о'. Проанализируем Е,=(р,+р')е — плотность внутрен- ней энергии. Согласно (6.33) ее приращение при переходе из равновесного состояния р„ р, в возмущенное р=р,+р', р=р,+ с +р будет Е, = р ) — Р. Но р(р) =р,+с*р', следовательно, ро 6 Р', Ео=Р~ —,+сор) — =Ро — + — — = — + — —. ГРойР ГР'ВР' Р' с' Р' Ров' 1 Р'Р' .) Р* .) Ро Ро Роз Ро 2ро со о Здесь первый член соответствует приращению внутренней энергии за счет работы сил равновесного давления и является линейным по отношению к акустическому давлению р'.
Второй же член соответствует работе против сил акустического давления, именно это слагаемое называют внутренней энергией звуковой волны. Заметим, что для гармонической плоской волны среднее по времени или пространству значение р' равно нулю, в результате чего линейное слагаемое выпадает, а второе остается. Таким образом, опуская штрихи у приращений р' и р', запишем выражение для плотности акустической энергии в виде: 1 Е = Е„+ Е„Е„= — р,о', 2 (12.19). со ро 1 рр 1 ро Е,— — — — — —— ро 2 2 ро 2росо В частности, для бегущей плоской волны, в которой давление и скорость связаны простым соотношением с=~р/р,с, имеем: (12.20) 2 Росс Росс Получим теперь закон сохранения энергии. Для этого, про- Проинтегрировав это выражение по некоторому объему У и при- менив теорему Гаусса — Остроградского, получим — ( ЕаУ = — ~ рооа5.
д~,! (12.2 У) ОтсЮда следует, что 1=рч является вектором плотности потока акустической энергии. Что это так н должно быть, легко пояснить простыми физическими соображениями: рис!5 — сила звукового давления, действующая на площадку а5 с нормалью и, рчиа5 — мощность этой силы, а 1=рч — вектор плотности потока мощности (энергии в единицу времени) через единичную площадку. В плоской волне р=р(пг — сг), о = и р (пг — с1! распрострос раняющейся в направлении п, вектор плотности потока энергии равен 1 = — и = Росио и = Еси. ро р,с (12.22) Направление вектора 1 совпадает с направлением распространения волны, а его величина равна плотности энергии, умноженной на скорость волны.
Другими словами, энергия в бегущей плоской волне переносится со скоростью звука, что и должно быть из-за отсутствия дисперсии волк. В случае гармонииеских плоских волн, записанных в комплексном виде (12.10), при вычислении Е и потока 1, являющихся квадратичными величинами, следует оперировать только с вещественными частями выражений для р и ч. Например, для неоднородной волны (12.!6), полагая в ней для простоты й„= =О, учитывая также (12.17) и обозначая А=!А!ехр(1а), ~р= =й,к — сз1+а, получим: 7, = "ехр( — 2 !'ко)г)(1+ соз2<р), !А! ° а„ 2иро (12.23) 7, = — * ехр ( — 2 ! к, ! г) з(п 2~р. !Ар!а,! 2иро Обратим внимание на тот факт, что в направлении г поток энергии каждую половину периода меняет свой знак на противоположный, так что средний за период волны поток энергии 253 дифференцировав Е из (12.19) по времени и учтя (12.2), найдем — = роч — + — — =- — чЧ р — рЧ ч = — Ч (рч).
(12,21) дЕ дч, р др д~ д~ рос' дг ь 7, =7 — *, (12.26) ь т. е. к излучению звука. Х,=О. В направлении х средний поток энергии остается отличным от нуля: 7, = —" ехр ( — 2 [й, [ г). !яра„ (! 2.24) 2нрь Вспомним, что неоднородная волна (12.16) возникает при заданном на плоскостй г=О распределении давления (12.14) с К)й и соответственно с фазовой скоростью в/й,(с — скорость звука в среде. Следовательно, возмущения, бегущие вдоль плоскости со скоростью, меньшей скорости звука в среде, не излучают акустической энергии. Для обычной гармонической плоской волны (12.10) с вещественным й аналогичный расчет приводит к выражению 2рс я я я ф 45. Распространение звука в неоднородных средах 45.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
