Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Тогда, поскольку в условиях океана параметр «=Н(№ — ы*)/й(НИ'(й((1 (ср. с (10.71)), правая часть (11.18) мала. В результате имеем корни о„-ня (и= =1, 2, ...). Эти корни соответствуют волнам, для которых хорошо работает приближение «твердой крышки» (в~,,— -япо„-0). Дисперсионное соотношение для этих волн получится из (11.18), если учесть, что о„=ля: ОР— (нинхР» ! №йгНх) /(н«лх ! ЬзН2) (11.20) На высоких частотах со~Р (но в<У) дисперсионное соотношение совпадает с (10.74), где следует положить о (в) =пи. Для длинных волн (лп'«1) вращение всей жидкости приводит к дисперсии: Ре) (ИУ~пп) е (11.21) Дифференцируя дисперсионное соотношение (11.20) по И, найдем для групповой скорости выражение "а с с(л да (лапа +ааНа) сз (11.22 где се=то/й — фазовая скорость волны, стремящаяся к бескоыечности при й-+О.
Из последней формулы следует, что для внутренних волн сеа>0, дисперсионные кривые монотонно возрастают с ростом л, а для инерционных волн с„,<0 — монотонный спад последних. 42.3. Гравитационно-гироскопические волны в океане. В реальных условиях океана качественно картина остается подобной рассмотренной выше, за исключением того факта, что при заданной У(г) могут существовать как внутренние, так и инерционные моды. Это обстоятельство обусловлено тем, что в реальных условиях волновод образуется не только дном и поверхностью, как зто было в случае У=сопя(„но и конкретной зависимостью У(г).
Рассмотрим, например, типичное для океана изменение У с глубиной, схематически представленное на рис. 11.4. Вертикальной пунктирной линией отмечено значение параметра Кориолиса Р. В верхнем перемешанном слое океана частота Вяйсяля мала, так что может оказаться при г> — И, Р>У(г). В слое термоклина частота Вяйсяля может достигать У -6 ц/ч (Т-1О мин).
Здесь мы будем иметь уже обратное соотношение У(г) >Р. Аналогичная картина будет и в слоях воды ниже термоклина, где У'(г) сравнительно велика, и только на больших глубинах параметр Кориолиса вновь может превысить значение частоты Вяйсяля '. В зависимости от величины со картина волновых движений в стратифицированной жидкости будет разной. Рассмотрим последовательно характерные области частот волн. 1.
Пусть со больше максимальной частоты Вяйсяля У„. Тогда для вещественных л (распространяющиеся моды) коэффициент при Ф(г) в уравнении (11.16), равный аа(г) =Ив На(г)— (11.23) ыа — Еа будет отрицательным при всех возможных г. Следовательно, функции Ф(г) и Ф" (г) имеют одинаковый знак, т. е. мы имеем кеосциллирующее решение уравнения (11.16) и максимальное по модулю его значение достигается на границах слоя.
В силу ' В реальных случаях часто по всей толще воды М(г) >Р. 232 Ф( — Н) =0 имеем шах1Ф(г) )= )Ф(0) ~, так что при е>У в жидкости существует только поверхностнал мода. 2. Пусть теперь р<гв<У . При г,<г<г, (см. рис. 11.4) ко- эффициент а'(г) >О, что приводит к осциллирующей функцин Ф(г). Вне этого интервала (г<г, и г>г,) а*(г) <О, и функцяя Ф(г) не имеет осцилляций. Максимальное значение 1Ф(г) ) мо- жет достигаться как на границе г=О при малых й (поверхност- ная волна), так и в области термоклнна — внутренние моды. Номер последней обычно приписывают на единицу больше чис- ла переходов функции Ф(г) через нуль при г,<г<г,.
Поэтому более высокие номера мод соответствуют более быстро осцил- лирующим функциям Ф(г), т. е. большим значениям параметра а'(г) и, следовательно, большим волновым числам й (см. (11.23)). При удалении от границ волновода г=г, и г=г, соб- ственная функция убывает тем быстрее, чем больше волновое число и номер моды. Оценку собственного значения можно по- лучить, записав решение уравнения (11.16) в приближении ВКБ.
что дает а а(г)ог пп, л пя у еэ — г~ ~(~( У (г) — в1здг. (11.24) /,1 ч г~ На высоких частотах (в-~)У ) волновое число й„-~оо. В случае низких частот (в-~Р) при оценке входящего в (11.24) интегра- ла можно положить та~У(г). В результате (11.24) переходит в аналогичное (11.21) выражение (м 1 аз =Рэ+ ~~ )т'(г)дг)пп Аа. (11.26) л, Таким образом, в области частот с<а<У„система собст- венных волн в жидком океанском слое содержит поверхностную волну, сосредоточенную в приповерхностном слое, и счетный набор внутренних мод, локализованных в термоклине. 3. Рассмотрим теперь волны на частотах в<с".
Прежде дсе- го, отметим, что поверхностная волна в этом случае не суще- ствует. Этот факт следует, например, из условия при г=О в (11.16). Действительно, при гв<г Ф(0) и Ф'(0) в соответствия с (11.16) имеют разные знаки, поэтому при удалении от поверх- ности (отрицательиые г) 1Ф(г) ~>1Ф(0) ~, чего в поверхност- ной волне не может быть по определению. Для анализа других волн заметим, что при в<с имеем а'(г) <О в области термо- клина (ы<М(г)) и, наоборот, а'(г) >О вне его (е>М(г)).
По- следнее может быть, например, в приповерхностном и придон- ном слоях (см. рис. 11.4). Характер решения уравнения (11.16) в них аналогичный, поэтому мы ограничимся лишь ана- лизом приповерхностного перемешанного слоя. Пусть мини- мальное значение частоты Вяйсяля в последнем равно йГ, Тогда при в<У,.
для всех г коэффициент а*(г) <О, функция 233 Ф(г) не осциллирует и собственных решений уравнения (!!.16) не существует. Если же Ь/,.<ы<Р, например в слое г,<а<0 на рис. 11.4, то в последнем функция Ф(г) уже осциллирует, следовательно, имеется счетный набор собственных значений задачи (! 1.16), соответствующих инерционным модам. Оценкой собственных значений для них, аналогичной (11.24), будет о й„~и ~Рз — ор 1 )/ оР— Л~ о (г) дг. /1 Отсюда следует, что й„увеличивается с ростом номера моды и уменьшением частоты ы. Для длинных волн (йг,~1, ажР>> 2ьй/(г)) получаем в' = Р (1 — г,Ч'/н'и') .
Инерционные волны сосредоточены в приповерхностном слое х>г, и при удалении от него экспоненциально затухают тем быстрее, чем выше номер моды и ниже частота. Проведенный качественный анализ волновых движений во вращающейся жидкости с произвольной зависимостью й/(г) позволяет представить ход дисперсионных кривых в (й) системы гравитационно-гироскопических волн в океане. Схематически без соблюдения масштаба эти зависимости приведены на рис. '11.р (цифры соответствуют номеру моды). Монотонный характер дисперсионных кривых следует, например, из выражения для групповой скорости волн через интеграл от собственной функции, полученного в задаче 11.6. Отметим, что инерционные волны в океане (и в атмосфере) валяются сравнительно редким явлением, поскольку условие Г>й/(г) выполняется не часто.
Однако в океане наблюдают их в вырожденном виде — так называемые инерционные колебания. гэ эхом случае ускорение частиц создается только силой Кориолиса (Чр=О). Движение частиц происходит по горизонэальным круговым орбитам с центростремительным ускорением, равным кориолисовой силе, и имеет частоту е=Р. Инерционные колебания являются решением исходной линейной системы уравнений (10.11) вида р=О, в=О, р=О, и=Ь ехр ( — 1Р/), о= — 1Ь ехр ( — /Р1) (см.
также задачу 11.7) и существуют по всей толще океана. $43. Волны Россбн 43.1. Приближение 6-плоскости. Существенным фактором, обусловливающнм наличие еще одного типа волн во вращающейея жидкости, является зависимость вертикальной составляющей частоты вращения от горизонтальной координаты. В простейшем случае для описания этих волн, называемых волнами Роесби, можно обратиться к уравнениям (11.2) для однородной вращающейся жидкости в прямоугольных координатах. Однако 234 параметр Кориолиса в последних следует уже не считать постоянным, а предполагать линейно-зависящим от одной из горизонтальных координат, например от у: Р=,Р,+фу.
Если вновь обратиться к геофизическим приложениям, то такое представление есть не что иное, как следующий линейный член разложения вертикальной составляющей частоты вращения Земли й, * =Я з!п1р по степеням у в соприкасающейся плоскости (см. рис. 11.3). При этом Р=2 Я з!и ф= 2 й (з!п ф,+Лф соз ф,) =Р,+ бу, (11.262 го1ч = ~ — — — ) Чк= — Л фЧг, где дит ~ дк ду) (11.271 и из (11.2) легко следует уравнение для ф — Л 3+6 — =О. д дф дГ дк (11.28)) Это уравнение с учетом выражения (11.27) можно записать' в таком виде: е(2Й ) б (го1 ч) = — ~о б! = — — бу ду что является линеаризованным законом сохранения момента количества движения во вращающейся жидкости: изменение вихря частицы жидкости при ее смещении в направлении у обусловлено только градиентом частоты вращения окружающих частиц.
Нас интересуют решения уравнения (11.28) в виде гармонической плоской волны: ф=д ехр ~с(И,х+И„у — ы!)). 235 Р, 20 ебпф„6=2 й сов фю/йа, где ф, — широта места; /с, — радиус Земли, у=Я,3ф. Учет члена ру в (11.26) часто называют учетом /1-эффекта, соприкасающуюся плоскость в этом случае называют р-алосностью, а анализ волны на (1-плоскости — приближением р-плоскости. Мы также ограничимся этим приближением. Следует помнить, что описанное приближение учитывает только вертикальную составляющую частоты вращения Земли, т. е. мы остаемся в рамках «традиционного приближенияь. 43.2. Баротропные волны Россби.
Рассмотрим случай, когда в однородной жидкости вертикальная скорость частиц равна нулю (ге=О) и ни одна из величин, характеризующих жидкость, не зависит от вертикальной координаты г. Баротропное движение жидкости будет двумерным, что позволяет ввести функцию тока ф (и=дф/ду, о= — дф/дх). При этом, как мы уже виделн в 3 26, Непосредственная подстановка последнего выражения в уравнение приводит к закону дисперсии волн: (1й /Р йз й т+й а (11.29) являющемуся существенно анизотропным в горизонтальной плоскости.
В 'частности, поскольку в и Й имеют разные знаки, гармонические волны Россби могут распространяться только в отрицательном направлении оси х (на запад). Перепишем (11.29) в виде (й,+ага)'+й '=Р'/4ы', что соответствует в плоскости (й„, й„) уравнению окружности радиусом 6/2ы с центром в точке ( — р/2ге, 0) (рис. 11.6). При фиксированной-частоте ге концы возможных волновых векторов, проведенных из начала координат, должны лежать на этой окружности. Дифференцированием дисперсионного соотношения (11.29) по Й„и А„получаем выражение для групповой скорости волн Россби: с р =~ — — ~ =Ф/йэ) ! — ", 2 —" /! = — (сов 2сс, — з!и 2а), дз„ дье А~ ' кз / И (11.30) где й„= — й сова; й„=й з!и и. Легко видеть (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
