Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 49
Текст из файла (страница 49)
11.6), что вектор групповой скорости направлен от конца вектора к к центру окружности. В частности, если волна бежит точно на запад (сс=0), то групповая скорость направлена на восток. Поскольку ф — функция тока, то касательная к линии ф= сопз1, перпендикулярная вектору к (фронт волны), совпадает по направленцю с вектором скорости частиц. Следовательно, последние движутся по прямым линиям, перпендикулярным волновому вектору к (поперечные волны). Так же как и для других волн с анизотропной дисперсией (внутренние и инерционные), отражение волн Россби от границ (берег) имеет определенные особенности (см. задачу 11.8).
' Отметим также, что осцилляции давления в рассмотренной нами баротропной волне Россби, как это следует из системы (11.2), отличны от нуля; чледовательно, последние не будут равными нулю и на свободной поверхности. Это означает, что в реальных условиях океана баротропные вогны Россбн несколько (весьма незначительно, как будет показано ниже) отличаются от описанных выше. 43.3.
Совместный учет стратификации и 6-эффекта. Рассмотрим теперь в приближении р-плоскости случай плоскостратифицироваиного жидкого вращающегося слоя. В системе уравнений (10.11) положим 2Й=2!1,7г=Л1г, где г"=г",+ру, а г, и р 236 определяются соотношениями (11.26). Далее, распишем систе- му (10.11) по компонентам: — — Ро + — — = — ΄— + Ри -1- — — = О, ди ! др ди ! др 'да ! др д! Ре д" д! Ре ду д! Реди +й Р (!1.3Ц Ре ди де дэ др д(е — + — + — =О, — =.р,—, дх ду дг д! у и в качестве граничных условий потребуем равенство нулю вер- тикальной скорости на дне (г= — Н) и давленкя (выражение (1!.13)) на свободной поверхности (г=О): (! 1.32) е -и ~д! /х=е Для упрощения выкладок ограничимся приближением Бусси- неска, положив явно входящую р, в (11.31) постоянной.
Будем искать гармонические решения системы (11.31), (11.32) методом разделения переменных в виде: и = Р (г) У(х, у) ехр( — Еа!), и = Р (г) У(х, у) ехр ( — йМ), э = !айр(г)6(х, у) ехр( — !в!), р = реР(г)0 (к, у)ехр( — (а!), (11.33) р = Р, — Ф(г)б(к, у)ехр( — (а!). Л(е (х) К Такой выбор зависимостей диктуется системой уравнений (!1.31). В самом деле, подстановка последних в (11.31) приво- дит к уравнениям, содержащим либо только функции от х, у, либо только функции переменной г, и лишь в четвертом урав- нении они связываются: )е' ! ! !'дУ(х, у) + дУ(х, у) 1 Р а С(к,у) ! дх ду где параметр разделения т — постоянная величина.
В резуль- тате получаем отдельно задачу для функций от горизонтальных координат — (вУ вЂ” РУ+ —.= О, — !аУ+ Г((+ — = О, — + — =1таб дС дС ди дУ дх ду дк ду (11.34) н нраевую задачу для Р(г) и Ю(г) Р' =(Мэ — ве)цт, (у' = — чр цу( — Н)= — Ъа(Р+ацт) =О.
(11.36) Система уравнений (11.34) после несложных преобразований сводится к одному уравнению, например для У(х, у) Л У+ ! ~ — + т(ае — Р')У = О. (11. 36) а дк 237 Здесь параметр Кориолнса Р=Р,+Ву зависит от у. Мы положим его постоянным н равным Р„предполагая, что рассматривается «малая» окрестность прямой у=О, где фу«Р„т. е. у«(. (Е-Р,(6 — интервал существенного изменения Р). Однако в этой окрестности должно укладываться большое число длин волн Х=2п!я, следовательно, с учетом (11.26) имеем И.=И,1а р,»1. (11.37) Поскольку И,»1 (условие справедливости приближения плоскости), нз рассмотрения исключается только узкая полоса, охватывающая экватор (очень малые ф,).
Если теперь искать решение (11.36) в виде волны У=А ехр[1(й„х+Й„у)), то легко получить выражение для параметра разделения т через компоненты горизонтального волнового вектора (г=[я„, й„): ч = (й'+ й„~/ы) /(ы' — Р,') . (11.38) Мы видим, что ч зависит от й., т. е. от направления распространения волн по горизонтали. Краевая задача (11.36) для функций Р(з) и !Р'(л) также легко переписывается только для функции )1г(г): (р'"+ч[№(г) — в') 97=0, У~( — 'Н) = [!р'(0) — уча(0) ) =О, (!1.39) где параметр ч определяется выражением (11.38).
Если частота волн достаточно высока, то, пренебрегая членом с р в (11.38), получаем уже рассмотренную в п. 42.1 краевую задачу для гравитационно-гнроскопических волн. Критерием этого приближения будет л'» ~ зхр/ы ~ нлн с учетом й„-й н (11.26) в~ам=2 11 сов ~р,/ЙР,. (! 1.40) Частота в„весьма мала (л!с, велико), в частности эм«Р, в силу условия (11.37).
Следовательно, критерию (11.40) удовлетворяют частоты чо)Р„т. е высокочастотные (длинные) инерционные волны, и тем более поверхностные н внутренние моды, частоты которых гз>Р,. Если минимальная частота Вяйсяля в океане также значительно превышает ем(Ф „«вр), что обычно н бывает, то влияние изменчивости параметра Корнолиса не сказывается на инерционных волнах всех частот. 43.4. Волны Россбн в океане. Рассмотрим настолько низкие частоты волн ы, чтобы второе слагаемое в числителе выражения (11.38) превзошло первое: в ( " — — ~' !соза! = вз[соза~, (11.41) аз й аде где Й„= — йсоза; а — угол, составляемый вектором (с с отрицательной полуосью х (западное направление).
В этом случае для волн, распространяющихся на запад (й,<0, сова>0), параметр разделения ч будет положительным, н решение урав- 238 пения (11.39) в области №(г) >е,*>а' будет осциллирующим. Набор собственных функций (мод), соответствующих этим решениям, определяет волны Россби в океане. Для волн, распространяющихся на восток (й„>0), при гв<Р, параметр ч будет отрицательным и собственные функции задачи (!1.39), соответствующие вещественным гэ и й, не существуют. Следовательно, как и в простейшем случае и. 43.2, волны Россби распространяются только в западном направлении. Собственные значения т„ задачи (11.39), вообще говоря, являются функциями частоты а. Однако в интересующей нас области низких частот оР<е~'<<№(г) входящей в (11.39) частотой в' можно пренебречь.
Тогда собственные значения 0<ч.< <ч,«...ч„<... уже не будут зависеть от частоты и определяются только стратификацией №(г) (гидростатическое приближение). Подстановка ч„в (11.38), где также можно пренебречь тэ«Р„приводит к дисперсионному соотношению для волн Россби (! 1.42) которое, так же как для волн п.
43.2, в плоскости (й.й„) является уравнением окружности с центром в точке ( — ))!2гв, 0), но меньшего радиуса. Последний с ростом частоты ы падает вплоть до нуля при (чэ„) =ф/2РДч, являющейся максимально возможной частотой для волн Россби номера и. При этом волна распространяется строго на запад (Й„=О), а ее волновое число (я„) „= — Й,=й/2а=Р,'К с увеличением номера моды н растет,(ч„>ч„,) и частота (ы„) падает. Дисперсионное соотношение (11.42) можно разрешить относительно иа рак я сов а "+,. "'+",. Отсюда следует, что при заданной длине волны Х=2п/й частоты максимальны для волн, бегущих точно на запад (я„=О).
При фиксированном сс максимально возможная частота и соответствующее ей волновое число равны: ( ). ()= ' ", (й.).,„= ~Р.. (11.44 ! 2Р )/м„ Волна Россби наименьшего номера (н=О) называется баротропной. Ее собственное значение ч. может быть найдено в предположении, что Я7, — линейная функция г: 77,(г) =Ь(1+ОН), ь,=1)дН. (11.45) При этом в безразмерных координатах Ц=г(Н) главный член в коэффициенте при функции К в уравнении (11.39), равный 239 И»Н7ц=др~р, будет мал.
Следовательно, решение (11.45) удовлетворяет как граничным условиям (точно), так и уравнению (с высокой степенью точности) краевой задачи (11.39). Заметим, что баротропная волна Россби существует и в однородном слое. Отличие этой волны от изученной в п. 43.2, определяемое величиной Р,*/йНА' (ср. (11.29) и (11.43)), невелико для не очень длинных воли. Волны с номерами п>О называются бароклинными волнами Россби. Для них существенна стратификация среды (Л(з(г)ФО), и собственная функция имеет по крайней мере один максимум в толще океана. Горизонтальная скорость частиц жидкости при этом меняет свое направление на обратное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
