Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 46
Текст из файла (страница 46)
И окончательно дли У и Бг получаем (Лр=р~ — рт): У— (йо ]ГФ~ — юз — Бй) ЛР (рз + рз) йо У й!з — вз + йрйй 2!рты У л'з — ыз (р + рз) Ьл У Мз — '+брйй Естественно, что при непрерывной рз(г) (бр=0) У=О, (Р 1. 10.13. Из результатов задачи 10.14 получить волну, сосредоточенную в окрестности скачка плотностью бр между двумя жидкостями с равными частотами Вяйсялн. 221 10.14.
Найти аналогичные задаче 10.13 коэффнцненты У н %', считая частоты Вийснля в средах одннаковыми (М, Ь(з=)У), но плотности р~ и рз. (р,)(м) разными. Р е ш е н и е. В этом случае в выражениях (10.79) следует положить. Ьы=йь=йг=УЬ)з1юз — !й (угол преломлении равен углу падения). Условие- равенства вертикальных скоростей на границе сохраняется. Второе граничноеусловне изменится.
В самом деле, приравнивая полные давления на границе, получаем Рьо (О) — рьа(+ Рь ) з з = Рм(0) ртам+ Рз] з о Отсюда с учетов в~Ь з=д1]дй Рю(0)=рзз(0), б Рг=ргдзшг/д!дг имеем о о ФлоФ»(-и Ф»Фт!-и+ ~Ф»Ф бг+йо ) ~ о 1) Ф»Ф /(г=О ~в» -и -Н Поскольку Ф (г) удовлетворяет таким же, как н Ф«(г), уравнению и граничным условиям, но с в о, то пря подстановке в последнее выражение Ф '(0) = =(Яйо/в о)Ф«(0), Фл'(0)=(яйо/вло)Ф (0), Ф ( — Н)=Ф ( — Н)=0 и Ф "= — й'(Н'/в ' — 1)Ф находим о р № пйо ~ — — — о) Фл(0) Ф„,(0) + ) — Ф» (г) Фм (г) бг О.
для различных значений оо»о=в ' отсюда следует равенство нулю выражений в квадратных скобках, что является условием ортогональностн собственных функций Ф«(г) и Фл(г). Нормнруя последнее таким образом, что при л=т выражение в квадратных скобках было равно единвце, запишем условие ортонормированности собствеыных функций в виде о Фл(0) Ф, (0)+й ' ~№(г) Фл(г) Ф,„(г)о/г»»6 „, -н (10.80) .где 6»,— символ Кронекера.
При такой ыормировке выражение (10.78) для полной энергия (см. задачу 10.12) записывается в виде Е„роя(Ь»(о)о»/2в»о«« .=рок» (а (о/2, где а» оЬ /⻠— амплитуда вертикальных смещений. 222 Р е ш е н и е. Интересующая нас волна соответствует чисто мнямым значениям йо»«ЩЬ»(=ж/ув' — №/в, т. е. ее частота в>Н.
Выберем в обеих средах й»=1(йо) н воспользуемся выражениями для щ и во, выпясанными в предыдущей задаче. Тогда во Ь(ехр( — Щ г) + Уехр((й, ! г)) ехр(1(йг — в/Ц, г(0, во= Ь)рехр( — $ й, ~ г) ехр [1(йг — в!) ), г)0. Таким выбором знака й, мы обеспечили экспоыенциальиое убывание при г- ч-ол членов, пропорциональных ЬУ н Ь)У. Однако первый член в в~ дает бесконечное поле при г — оо. Мы исключим это, положив Ь=О, ио ЬУ н Ьйт конечнымн, т.
е. У и )У бесконечными. Приравнивая знамеызтель выражении для У в задаче 10.14 нулю при й,=!1йо), найдем дисперснонное соотношение врв~ — №=ЬРЯй/(Р~+Ро). Если РазРешить зто УРавнение относительно в, по» ° -- о» ° ° » ° - ° *- ° - '«)-уяй~(~ ~о«Г» 4-Но/4+№/2, которое при Н=О переходит в (10.46). 10.18. Получить условия ортогональности собственных фуыкций внутренних мод в волноводе при различных собственнмх значениях. Р ею е я не. Собственная функция Ф»(г) удовлетворяет уравнению Ю»»+й'(№/в„' — 1)Ф» 0 и граничным условиям Ф»( — Н) =(Ф ' — лйо/ /в»о)* о.
Умножив уравнение для Ф» на собственную функцию Ф, проинтегрируем полученное выражение по г от — Н до нуля. После интегрирования о члена ~ Ф»Ф о/г 2 раза по частям получаем выражение Й 10.17. Получить выражение дла групповой скорости выутренних волн в ,кндком слое через интеграл от собственной функции Ф„(г) и доказать, что днсперснонные кривые ы (й) монотонно растут с увеличением й. Решение. Обратимся еще раз к краевой задаче длв функции Ф (г), которая зависит также и от ()=й'. Ф„(г, Р) + Р ((Л)з (г)/ыл Ф)) — 1) Фл (г, ()) О, Фл ( — Н. Р) = Ф„'(0, 0) — (ДЬ"„(())) ф„(0, 0)»» 0. Наряду с Ф»(г, 5) рассмотрим функцию р»(г, (3) =дф»(г, ())/д() (производная от собственной функции по спектральному параметру), которая является решением краевой задачи, получающейся дифференцированием по () уравнение и граничных условий дла Ф»(г, 8): Л)з Л1з Л(о йв~ Рл( — Н,б)=0, Р„'(0,())= —, Рл(0,(1)+й( —,— —,— ~фл(0,(1).
л л ы» Проведя процедуру, аналогичыую использованной в задаче 10.18 (умножение уравыениа дли г" ыа Ф, интегрирование от — Н до нуля по г, интегрирование по частям и подстановка Ф»'(*-о, и из граничных условий и ф„"(г) из уравнении), и группируя члены с 0а»ощ, находим — ф~ф(0) + ) Л)зф„' бг — йф„' (О) + ~ (Л1з — ~„') ф„'бж » Н -Н Производную Им»оЩ легко выразить через групповую скорость и-й моды (сор)».
В самом деле, о(м»оЩ=йыя(о(ылйгй)о(й)о(р=в» (ср) /й=(се)»(сор)» где (са)» — фазовав скорость волны. В результате выражеыие дла групповой. скорости внутренней волыы и-й моды будет иметь вид о аф„'(0) + ~ (Л) — „') Ф„*б* (с )„(сй)л (10.81) о йфл(0)+ ) Л1офлбг -и Это выражение можно представить и в несколько ином виде, если, воспользовавшись уравнением длв Ф (г), записать (Фо — ы о)ф»»» — е зф„"(йо и проинтегрировать по частям: о о (Л)з — ыл) Фо о(г = — ~ Флфл о(г и -и 3 о о ы» Флф„("н+, ) (Фл)зал — йф„'(О)+ — ) (Фл)'бг.
-Н -и 223 Проведя такую процедуру и в интеграле эваменателя ) (грфег(г 1 ()р«вЂ” -и вр) Фг(а+в« ~ Ф«г(а, полу«ям -и ) (Фл)е ов (с ) (с) -и ~ (Ф„)~г(а+а«) Феба -и -и По.а)') .то фа«оная скорость моды убывает с ростом а Глава 11 ВОЛНЫ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В гл. 10 были рассмотрены гравитационные волны в жидкости, .имеющие большое значение в динамике океана н атмосферы. Важную роль в атмосферных н океанских процессах играют .волны, связанные с вращением Земли. Этны волнам, а также влиянию вращения Земли на гравитационные волны н будет по.священа настоящая глава. В системе координат, связанной с вращающейся как целое .с постоянной угловой скоростью а1 жидкостью, на частицы, движущиеся со скоростью ч, действует сила Корнолнса — 2игьеХч (иг — масса частицы).
Эта сила нормальна к ч, н ее воздействие на жидкую частицу аналогично действию силы Лоренца на электрон в магнитном поле (е/с)НХч. Прн этом возннкает дополнительное движение частицы по окружности. В сплошной среде частицы жидкости не могут двигаться независимо. Взанмодействне между ними приводит к возникновению градиента давления в среде.
Совместное действие силы Корнолнса н градиента давления н приводит к возникновению волновых движений. Вначале мы рассмотрим простейшие инерционные волны во вращающейся жидкости. Затем изучим совместно внутренние н 224 Отсюда непосредственно следует неравенство 0((сгр)л((се), т. е. групповая скорость всегда иоложигельна и меньше фаронов сноростя внутренней вол.ны. В силу первого условия (с,р) л=овл/г(л>0 имеем монотонный рост дяснерсноиных кривых в =в (я).
Поскольку «( л (в 1 сгр «гй 1 — с- — ~ — 1= = — (с — с )(О, ф лй й й й гр ф инерционные волны, называемые также гравитационно-гироскопическими волнами. Завершается глава исследованием волн Россби, особо важных для глобальных процессов в океане и атмосфере. ф 41. Инерционные (гироскопические) волны 41.1. Уравнение для волн в однородной вращающейся жидкости.
В линейном случае интересующие нас волны в несжимаемой вращающейся жидкости описываются линейной системой уравнений гидродинамикн (10.11). Для того чтобы исключить другие возможные волны, запишем эту систему уравнений для однородной (р.=сонэ(, Л)'=0), вращающейся с постоянной угловой скоростью Й жидкости: — + р+2Й х =О, др =О, 7 =-О.
(11.1) дС ро ас Направим ось х системы координат параллельно вектору Й, тогда 2ЙХч=( — Го, г"и, 0), где ч=(и, о, су); Р=2Й вЂ” параметр Кориолиса. Запишем систему (11.1) по компонентам: ди — — Ро+ — — =О, — +Ри+ — — =О, 1 др до 1 др дС ро дх дС ро ду (11.2) дв ! др ди до дв — + — — =О, — + — = — — ° дС р, дг дх ду дг Получим из этой системы уравнение для вертикальной компоненты скорости частиц жидкости ш.
Для этого, действуя на первое уравнение системы оператором д/дх, на второе — д/ду, складывая полученные выражения и учитывая четвертое уравнение (! 1.2), находим ! агв С до да 1 — й (р) = — +г— р, - а! ах ~ах ау/! ' Наоборот, действуя на первое уравнение (11.2) оператором д/ду, на второе — д/дх и вычитая, получаем Теперь уже не составляет труда найти (11.3) до С дг д Хдв А — = — — + )о —— дС ~ дСду дх) дг н получить искомое уравнение аг — Лсо + Рг — = О. /х щ Л +— агв д' дп дгг дгг 8 л. м.
Брехавскнх, В. В. Гоихаоог 225 (11.4) Волновые решения, удовлетворяющие этому уравнению, называются инерционными или гироскопическими волнами во вращающейся жидкости. 41.2. Плоские гармонические инерционные волны. Если подставить в (11.4) решение в виде гармонической плоской волны ге=Ь ехр (1(хй — ы/)]=Ь ехр!!(Кг+йг — а/) ), (1! .5) то легко получается дисперсионное соотношение для волн в' = Р— * =РР— * = Р'соз' О, ар ! ар хр х где Π— угол волнового вектора х с вертикалью (направлением вектора угловой скорости й).
Таким образом, как и в случае плоских внутренних волн, для данной частоты фиксирован угол О. Длина волны при этом может быть произвольной. Частота инерционной волны не может превышать величину Р=2И— удвоенную частоту вращения жидкости. Для групповой скорости волн срр сия ((ды/дй)ь/Ь д р/да~) находим доз/др = — вй/х', дв/дй,= Рй'/х' и в 'х РаР с, = — — — + — чг хх хр (11 т1 или, учитывая формулу к=х — Й,Чг и вводя П=Рчг/2, схр — — — — — +— х х 29 (11.7') х х х и = — — *~й;+1-йр) ш, о = — — *(/гр — 1 — й,) в. (11.8) Непосредственной проверкой получаем, что т~(и, о, ш)1.х. 226 Групповая скорость нормальна направлению распространения волны х (с„х=О), но в отличие от внутренних волн ее горизонтальная проекция (а не вертикальная) противоположна соответствующей проекции вектора х (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
