Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Г апиллярные волны, как мы увидим ниже, являются высокочастотными волнами с малой длиной волны. Во всех практических задачах поэтому можно полагать яН- оо, как в случае бесконечно глубокой жидкости. Решения уравнения (!0.14) при этом должны обращаться в нуль при г-+ — ао. Если искать решение в виде гармонической волны (10.17), то для Ф(г) и в(х, у, г, 1) будем иметь: Ф(г) =Ь ехр (Йг), в=Ь ехр (йг) ехр [1(кг — в1)].
Подставив щ в граничное условие (10.36), получим дисперсионное соотношение для капиллярных волн ы =Тя. При этом фазовая и групповая скорости волн равны: =),А, .„=зу,—,-з;. ( 10.38) 2 2 38.2. Гравитационно-капиллярные волны. Учтем теперь совместное действие сил тяжести и поверхностного натяжения. В однородной (р,=сопз1), несжимаемой (с'=со) н невращающейся (й О) жидкости остаются справедливыми уравнения (10.12)— (10.14), граничное условие (10.16), а также решения (10.17), (10.18), (10.22) (10.24) в виде гармонических волн. Все отличие от рассмотренных выше случаев заключается в использовании полного динамического граничного условия для р на свободной поверхности (10.7), которое для в будет комбинацией условий (10.15) и (10.36): (.
— — яй в+уй Ь ш) = О. У® дади Соответственно с этим изменится только дисперсионное соотношение для волн ы*= (дй+7й~) 1й йн. (10.39) Отсюда находим ивадрат фазовой скорости с,'= ®й+7й) 1Ы Н. (10.40) В частности, для волн на глубокой воде (ИН~1) имеем: ~~=Кй+7й~, сз =Я~й+тй. (10.41) При малых й (длинные волны) основным в правой части является первый член, и мы имеем уже исследованный выше случай гравитационных волн (ср.
с (10.19)). Фазовая скорость падает с ростом й. Напротив, при больших й (короткие волны) в (10.41) следует удерживать лишь второй член — капиллярные волны. Фазовая скорость растет с увеличением й. При некотором Й=й,=2а/Х, фазовая скорость волны будет минимальна. Приравнивая производную от правой части второго уравнения (10.41) нулю, находим: йа = )/Ы/7, )о = 2я3~ фК, (са)пав =М2(йу) ~'. (10.42) Для границы вода — воздух 7 -"73 см'/с' получим Х,=1,714 см, соответствующая частота /,= (с~),./Х,=13,5 гц и (са)~ы= *=23,1 см/с. Отметим, что длина волны А, является граничной, разделяющей гравитационные и капиллярные волны.
При Х 'ьА, превалируют гравитационные силы, при Х~Х, — капиллярные. Для групповой скорости гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде (яНЪ 1), дифференцируя (10.41) по й, имеем 2ыс„, =8+ 37й', следовательно, к+зтаз са а/т+ зла ее ко+заъ с, (10.43) зм з я/т+Р' з а +а 200 Отсюда получаем, как это и должно быть, для гравитационных волн (й~~й) выражение (10.21) при ЬНй~1, а для капиллярных (й,~й) — выражение (10.38). На рис.
10.3 дано схематическое изображение дисперсионных зависимостей е(г) и сф(й) для гравитационно-капиллярных волн. ф 39. Внутренние гравитационные волны 39.1. Вводные замечания. Во внутренних волнах максимальные вертикальные смещения частиц имеют место не на поверхности жидкости, а внутри нее, например на границе раздела двух жидкостей с различными плотностями. В океане последний случай наблюдается при расположении опресненной воды над более тяжелой водой с большей соленостью. Такие случаи были названы «мертвой водой».
При этом часть мощности двигателя корабля может расходоваться на возбуждение внутренних волн, что приводит к снижению его скорости. В такой простейшей двухслойной модели жидкости внутренние волны совершенно аналогичны поверхностным. Они также сосредоточены вблизи границы раздела. Если предположить, что по обе стороны от границы жидкость заполняет целиком каждое полупространство, то дисперснонное соотношение для внутренних волн будет тождественным соотношению (10.30) для гравитационных волн, но с другим, эффективным значением ускорения силы тяжести. Действительно, пусть граница раздела двух жидкостей с плотностями р, и р, (р,>р,) расположена на уровне г=0 и волны распространяются вдоль оси х. В каждой из жидкостей решением уравнения (10.14) будут гармонические волны: та,=Ь, ехр ( — йг) ехр (Цйх — гэ1) 1, г>0, (10.44) ю,=Ь, ехр (йг) ехр [1(гх — о1) ]> г(0. На границе раздела должны выполняться кинематическое н ди- намическое граничные условия.
Первое из них (и,!,,=НЦСИ, /=1, 2) дает в линейном приближении равенство вертикальных скоростей ш, !,,=д~/д(= ю,!,, Второе (равенство полных давлений по обе стороны от грани- цы г=~) приводит к соотношению — арХ+Р = — ИР1ь+Р*. С учетом выражения для давления в жидкости (10.13) получа- ем два условия, связывающих вертикальные компоненты скоро- сти частиц при г=0: ! . = "! . ай*(р*-р ) г! . = '(р — — рг — „) дюж дюж 1 1 = 1, 2.
(10.44') Отсюда при подстановке выражений (10.44) имеем связь меж- 201 ду амплитудамн волн по обе стороны от границы Ь,=Ь,=Ь н искомое дисперсионное соотношение ы' = — йй йр = Ре — Ро е оР (10.45) Ре+ Ре Естественно, что последнее выражение переходят в (10.30) прн Р,=О (граннца с вакуумом). Однако внутренние волны могут возникать не только в случае резкого скачка плотности, но н тогда, когда равновесная плотность р,(г) является непрерывной функцией вертикальной координаты, как это н имеет место практически всегда в океане н атмосфере.
Особенно большие вертикальные градиенты плотности в океане наблюдаются в пределах сезонного и главного терлеонлинов, где н внутренние волны оказываются более всего выраженными. Спокойная гладь моря вовсе не означает такое же спокойствие на глубине. Там могут распространяться внутренние волны, амплитуда вертнкальных смещений частиц для которых может достигать многих десятков метров.
39.2. Основное уравненяе для внутренних волн. Приблнженяе Буссянеска. При выводе уравнения будем исходить из линейных уравнений (10.11) гндродннамики несжимаемой и не- вращающейся (Я=О) жидкости. Напомним, что входящие в этн уравнения равновесная плотность н частота Вяйсяля являются функциями только вертикальной координаты: Р,(г), д/(г). Положив ч=(п, !в), перепишем систему (10.11) в виде: д Пр д — +==О, 7 н= — —, д! Ре дг (10.46) — + — — + — =О, до 1 др Кр д! Ре дг Ре Последняя легко сводится к одному уравнению относительно вертикальной компоненты скорости частиц !в.
В самом деле, исключая из первых двух уравнений в н учитывая, что Ч '= =Л, выразим давление р через и: Лр (10.47) д!дг Далее, применив к третьему уравнению оператор дЛ /д! н подставив д(р/р,)/д! из четвертого, а Л р — из (10.47), получаем искомое уравнение —, ~бш + — — ' — ) + /Уе (г) Л !с = О.
де ' 1 дре до! дм Ре дг дг Здесь частота Вяйсяля равна Ме(г) = — йр,-'е/р,/г(г (см. (6.28), где в силу несжимаемости жидкости следует положить с*-~со). Часто, например для волн в океане, используют упрощенное уравнение, пренебрегая в (10.48) члейом, явно содержащим 202 р,-'с(р,/с(х, по сравнению с Лв, т. е. — Агв+ №(г)Л в = О. У дР (10.49) где 0 — угол, составляемый волновым вектором н с вертикалью.
Отсюда следует, что: 1) могут существовать только волны с частотой в<У; 2) при заданном направлении распространения волны 0 частота в однозначно определяется соотношением (10.51), длина волны (а значит, н ее фазовая скорость) при этом может быть произвольной. Совместим ось х с направлением горизонтального волнового вектора к=(Ь„, Ь„). Тогда выражение (10.50) перепишем следующим образом: ш=Ь ехр (1(х$ — вг) ], где $=х з(п 8+я соз8; а=У~э(п0~. Поскольку о не зависит от н, очевидно, что решением уравнения (10.49) с №=сопз1 будет являться и выражение вида в=рц) ехр ( — йв1), (10.52) где Р($) — произвольная функция.
В справедливости этого. утверждения легко убедиться прямой подстановкой (10.52) в уравнение (10.49). 283 Это приближение соответствует замене р,(е) в системе (10.46) везде, кроме №(х), на постоянную, скажем, р„=р,(0) н называется приближением Буссинеска. Оценки показывают, что для рассматриваемых нами ниже линейных задач теории волн это предположение оправдывается (см. в связи с этим также задачу 10.8). Поэтому мы также воспользуемся приближением Буссинеска главным образом для упрощения выкладок, хотя отказ от этого приближения принципиальных трудностей не вызывает. 39.3. Волны в безграничной среде.
Волны, описываемые уравнением (10.49), могут распространяться и в безграничной среде. Наиболее простой вид они имеют в случае постоянной частоты Вяйсяля (№=сопз1). Рассмотрим для этого случая гармонические плоские внутренние волны вида в= Ь ехр (1(нК вЂ” ы() ] = Ь ехр [1(кг+й,е — ыГ) ], (! 0.50) где и= — (к, к,] = (Й., й„, й,) — волновой вектор волны; ы — ее частота; Ь вЂ” амплитуда; Р.— (г, а) =(х, у, е). Подстановка выражения (10.50) в уравнение (10.49) дает связь между н и е— дисперсионное соотношение для внутренних волн: ОР = № — № — = № 5!и 8, (10.5 1) И+ Ь' кз Таким образом, гармоническое возмущение в виде плоской волны произвольного вида (10.52) во все моменты времени находится в одной и той же области пространства (стоит иа месте).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
