Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(10.20] Следовательно, последняя распространяется с дисперсией, что, в частности, приводит к изменению формы негармонической поверхностной волны. Не составляет труда найти и групповую скорость гравитационной поверхностной волны, т. е. скорость рас- 7 л. м. врвновсннн, в. В. Гончвров 193 и для ю получить уравнение — Ью= О. а Граничное условие на свободной поверхности г=О для в легко следует из (10.7), где о=О и р берется из (10.13); ( —, — уЛ со) =О. Кроме того, предполагая на уровне г= — Н наличие границы жидкости с абсолютно твердым дном (рис.
10.1), добавим еще условие равенства нулю нормальной (вертикальной) компоненты скорости частиц жидкости прн г= — Н: ю~, в=О. (10.16) 37.2. Гармонические волны. Будем искать решение уравнения (10.14), удовлетворяющее граничным условиям (10.15) и (10.16), в виде распространяющейся в горизонтальном направлении гармонической волны: ю(х, у, г, 1) =Ф(г) ехр [1(йг — в1)1, (10.17) где к=(й„кн) — волновой вектор; г=(х, у). Подставив зто выражение в (10.14) — (10.16), получаем краевую задачу для функции Ф(г): — йвФ = О, ~ — — — Ф) =Ф( — Н) =О. Лвф Р ЛФ кав л ' ~аг Граничное условие при г — Н удовлетворяется, если выбрать решение уравнения для Ф в виде Ф (г) Ь ь з (г+ н) (10.18) вЬ АН пространения огибающей спектрально-узкого волнового пакета (см.
$9): ~йо се ! ин сгр = 11 + ИНСАН)ю аа 2 йан (10.21) которая, как мы видим, также зависит от волнового числа и. Смещение поверхности ~(х, у, 1) определяется из граничного условия (10.7) — = — йоь = гв~ = Ьехр [1(йг — в1)1, ас дг 3=9 откуда ь =аехр(1(йг — а1)), а =1Ыа. '194 (10.22) Пульсации давления на произвольной глубине г, обусловленные волновым движением, найдутся из (10.13), откуда с учетом 7! = — й' получаем Р=Ро Ь (оо сЬ Ь (3+И) Ь(Ь ЬН сЬ ФН ехр [! (1сг — со!)]. (!0.23) Если воспользоваться дисперсионным соотношением (10.19), то последнее выражение можно записать и в таком виде: Р =Рой'— (Ь сЬЬ(з+И) ехр [1 ()сг — оо!)] = м сЬЬИ = Рози сЬ Ь (з + Н) сЬ ЬН ехр [1 (!сг — оо!)]. (10 23') Далее, из уравнений (10.13) легко находится горизонтальная скорость частиц жидкости в волне и = ( — Ь *+ ехр [1(]сг — со!)], (10.24) Ф зЬЬН направление которой совпадает с направлением распростране- ния волны ]с.
Если обозначить через $ горизонтальное смещение частиц жидкости, также совпадающее с направлением !с Щ/й!= — (о4=н), и соответственно через з) — вертикальное смещение частиц (йз)/й!= — (соЧ=зв), то, положив Ь=ооА ехр [!(а — и/2)] (в=А ехр ((а), А — амплитуда смещений свободной поверхно- сти) и выделяя вещественные части, получаем: в= — А— Ь сЬЬ(о+ И) з(п(]сг — со!+ а), Ф зЬМН Ч=А зЬ Ь (з+ И) соз(]сг — оо!+ а). зЬ ЬН Исключая теперь зависимость от !, находим траектории движе- ния частиц жидкости в гравитационной поверхностной волне: АсЬФ (з+Н) зЬФ (з+Н) (10 2б) аз ~аз зЬ ЬН зЬ ЬН являющиеся эллипсами с отношением полуосей ио/из=!]) я(з+Н).
В случае стоячей поверхностной волны, образованной двумя бегущими волнами типа (10.17) с одинаковыми частотами оо и амплитудами Ь, но с противоположно направленными волновы- ми векторами 1с се =2Ь зЬЬ (з+И) соз (1сг) ехр ( — !оо!), зЬ ЬИ аналогичный расчет смещений частиц приводит к выражениям: $=2А— Ь сЬ Ь (з + Н) з!и (йг) соз (оо! — а), Ф зЬЬН з) = — 2А зЬ Й (з+ И) соз (1сг) соз (со! — а). зЬ ЬН 195 7 ° При этом траекториями частиц будут прямые линии ц = — ВЬ(а+Н)с16(1сг)$„ (10.26) (10.27) Дисперсия воля отсутствует (се=сопз1). Для компонент скорости из (10.18) и (10.24) в том же приближении имеем: <в=Ь(1+ — )ехр[1([гг — Ы)), п=( — Ь х) .
В ехр[1<кг — е01 Н) Ь ЬН (10.29) Отсюда, в частности, следует, что [и[ » [<в [, т. е. скорость практически постоянна по сечению жидкого слоя и направлена параллельно дну. Этот факт также легко установить, анализируя траектории (10.25). Отношение полуосей эллипса а,/ах —— =Ь(з+Й) <ЬН~1, так что частицы жидкости в поверхностной волне на мелкой воде движутся по сильно вытянутым вдоль горизонтальной оси эллиптическим орбитам.
2. Глубокая вода — Н[Х»1 (ЬН»1). В этом случае в (10.19) следует положить 1)< ЬН= 1, что приводит к дисперсионному соотношению для волн на глубокой воде: ы' = уй. (10.30) Для фазовой и групповой скоростей находим: ГК К Ь )Ч/Е се Схг ЬвЕЬ2гЬ2 (10Л1) Из выражений (10,17), (10.18), (10.23) и (10.24), пренебрегая всюду величинами ехр ( — ЬН) по сравнению с единицей, 196 наклон которых зависит как от вертикальной з, так и от горизонтальных х, у координат. Отсюда видно, в частности, что при [гг=О, +я, +2я,... частицы движутся по вертикальным прямым, а при кг=.+.я/2, ~-Зя/2,... — по горизонтальным. На основании выражений для скоростей частиц жидкости (10.17) с учетом (10.18) и (10.24) нетрудно убедиться, что го1 я=О, т. е.
движение в поверхностной волне является потенциальным: ч=Ч~р, где Ф= Ь саЬ<г+Н) ехр [1 ([гг — оМ)). Ь хй Ь)г 37.3. Приближения мелкой н глубокой воды. Обычно в теории гравитационных поверхностных волн рассматривают два крайних случая, различающихся соотношением между Н и длиной волны Х=2я<Ь, 1.
Мелкая вода — Н/Лч; 1 (ЬНч;,1). При этом в (10.19) и (10.20) имеем й 'яН ЬН, в результате <в = ') [дНИ, св = Я,Й. (10.28) получаем: в = Ьехр(аг) евр [Е(кг — вЕ)[, н = Š— Ьехр(йг)ехр[1'(кг — аЕ)), . а з (10.32) р = р, — Ь ехр(йг)ехр[Е(кг — вЕ)[. з Таким образом, все возмущения жидкости в поверхностной волне на глубокой воде экспоненциально убывают при углублении. Волновое движение практически отсутствует уже на глубине порядка длины волны Л. Для траекторий движения частиц жидкости (10.25) имеем аг— - а„=А ехр (лг), что дает й*+ т1*=А' ехр (2йг) — окружности, радиус которых экспоненциально убывает с глубиной.
Конечно, любой заданный слой жидкости глубиной Н в зависимости от длины распространяющихся волн может быть как мелкой, так и глубокой водой. Очень длинные волны всегда распространяются без дисперсии. Примером таких волн могут служить приливные волны или волны цунами в океане. Дисперсионное соотношение (10.19) удобно изображать графически (см. рис. 10.2), где хорошо заметны линейный бездисперсионный участок в окрестности начала координат (дли*ные волны) и далее дисперсия, соответствующая при лНФ1 волнам на глубокой воде. 37.4.
Энергия волн. Величину энергии волны любого вида обычно определяют как превышение энергии некоторого объема жидкости, возмущенного волной, над ее величиной в состоянии покоя. В случае поверхностных волн в качестве объема удобно выбрать столб жидкости, ограниченный в вертикальном направлении плоскостью г= — Н и свободной поверхностью, в направлении движения волны, которое мы примем совпадающим с осью х,— двумя плоскостями х= х, и х=х,+Л (Л вЂ” длина волны), в поперечном направлении аналогичные плоскости отстоят друг от друга на единицу длины. При этом для кинетической энергии нашего объема имеем г„И о Еа = ~' ~ ~ оЧхйг.
«~ -Н Квадрат скорости частиц жидкости с учетом выражений (10.17), (10.18) и (10.24) запишем в виде 0 =Вз соз (йх — ыЕ+а)+ цНФ(г+Н) 5а~йН + В' спи (г+ Н) ~ / соз'~йх — вЕ+ а' + — ), пт зь1 зн г) и окончательно после интегрирования получаем Р~Х В ГЧХЯ В Рчьг Е,' — — — — — —— 4 ИЬИН 4 оя 4 (10.33) Здесь учтено днсперснонное соотношение (10.19) и вместо В= =]Ь] использована амплитуда смещений свободной поверхности А= (а] (см. (10.22)). Аналогично для приращения потенциальной энергии имеем 6 ье Е. =~ ~р,угдг — ~ рдгИг дх =р,дДгйгдх =Ы~ 51х.
з -Н -и з в о Подставляя в интеграл вместо ~ вещественную часть выражения (!0.22) А соз (йх — юг+а) и интегрируя, получаем (!0.34) 4 Таким образом, кинетическая и потенГ4иальная энергии в бегущей поверхностной волне равны друг другу и постоянны во времени.
В случае стоячей поверхностной волны ь = А соз йх соз (го! — а) аналогичные вычисления приводят к системе выражений: Е = ~'~ созз(гз! — а) = ~~ А'[1+ соз(2Гз! — 2а)], 4 з Е„= — з!пз(в1 — а) = — Аз ]1 — сов(2Го1 — 2а)], рдА'Х . Р~ф~ 4 в Е„+ Е, = сопя!. (10.35) Кинетическая и потенциальная энергии, оставаясь в сумме по. 198 где Вехр (!а') =Ь. Напомним, что при вычислении квадратич- ной величины о' нужно учитывать только вещественную часть комплексных выражений.
Возвращаясь к вычислению кинетиче- ской энергии, замечаем, что я~+к [ соз'~ — — Г (!)1д = —, хГ2я 1 Х 2' к~ где Г(1) — произвольная функция. Поэтому о Е„= — "' — ] ]возя(г+ Н)+ спзя(г+ Н)]аг = 4 йРИН,) -н з = — — Гс]Г]2й(Н+ г)] дг, 4 зЬЧвН 3 и стоянной величиной (энергия волны), изменяются во времени с удвоенной частотой в пределах от 0 до р.дХА*/4. Средние по пе- риоду кинетическая и потенциальная энергии стоячей волны рав- ны между собой.
(10.37) Выражения для давления р и горизонтальной компоненты скорости и совпадают с соответствующими выражениями для гравитационных волн на глубокой воде (10.32). Поэтому и траектории частиц жидкости в капиллярной волне являются окружностями. 199 ф 38.
Капиллярные волны на поверхности жидкости 38.1. Чисто капиллярные волны. Исследуем теперь волны, обусловленные силами поверхностного натяжения. Действие этих сил описывается членом — оЛ ~ в граничном условии (10.7). Исключая волновые движения других типов (р,=сопз1, №=О, ь1=0, у=О) в (10.7) и (10.11), вновь получим уравнение (10.14) для вертикальной компоненты скорости. Однако граничное условие на невозмущенной свободной поверхности г=О будет уже другим. А именно: положив во втором уравнении (10.7) у=О и действуя на него оператором дЛ /д/, имеем — Ар~ = — о/х/х —. д 1 дь дФ ~ дФ Отсюда, выражая дь/д1 через и с учетом первого условия (10.7) и Л р из справедливого и в этом случае соотношения (10.13), находим ~ Ув — -~-7Л А ге) =О, (! 0.36) Мде где =о/р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
