Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 37
Текст из файла (страница 37)
(9.33') Число Рейнольдса для произвольного масштаба Т.„равно (9.34) где Ке=о,Е,/ч — число Рейнольдса основного потока. Если предположить, что наши оценки справедливы вплоть до внутреннего масштаба турбулентности Е», для которого Ке»-1, то, пользуясь (9.34), можно оценить порядок величины Е» и сооуветствующей пульсационной скорости о»: Е» ЕьНе ', о»-пыже ~'. (9.35) Таким образом, Е» и о уменьшаются при увеличении числа Рейнольдса исходного потока пропорционально Ке-" и Не-" соответственно. 35.2. Статистические характеристики локально-иаотропной турбулентности.
Мы видели, что в развитом турбулентном потоке только мелкомасштабные (Е„ц: Е,) пульсация являются статистически однородными и изотропными. Поэтому, если интересоваться только последними, нужно отделить от них крупномасштабные (Е„-Е,) компоненты движения. Этого можно достичь, например, рассматривая лишь относительное движение жидких частиц 1в малых объемах пространства. Действительно„ можно ожидать, что векторное случайное поле бо<(г,) — бц(г,) будет однородным и изотропным в любой области пространства, размеры которой много меньше Е, (1г,— г,) и;Е.). Такое поле называют локально-изотропной турбулентностью. Векторный характер турбулентной скорости приводит к необходимости рассматривать так называемый структурный тензор векторного поля Рн (г) = ((бо; (гР— бо;(г,)) (бвг(г,) — бог(гь)]), г = гх — г,.
(9.36 Если исходное поле бц статистически однородно, то между теизорами Рц(г) и Вц(г) имеется очевидная связь, следующая из (9.36) с учетом (9.31): Рц(г) =2(Вц(0) — Вц(г) ). (9.37) Для векторных случайных полей понятие изотропностн является более сложным по сравнению со случаем скалярного поля (в последнем структурная или корреляционная функция зависит только от г=1г~ = 1'г,— г,1). Действительно, рассмотрим компоненту 0„(г) структурного тензора.
Если вектор разности г= =г,— г, направлен по оси х„то Р„=Р— структурная функция продольных (вдоль г) составляющих вектора бц. Если вектор г перпендикулярен оси х„то Р„=Р„описывает корреляцию поперечных компонент вектора бч. Нет оснований считать величины Р„и Р„равными, т. е. в векторном изотропном поле каждая компонента структурного тензора Рц зависит не только от модуля вектора г, но и от его ориентации. Однако эта зависимость должна быть вполне определенной и найти ее можно из общих соображений симметрии, определив вместе с этим и число независимых компонент тензора Р„. Зададим в точках г, и г, единичные векторы произвольного направления а и 6 соответственно. Ориентацию вектора г= =г,— г, характеризует единичный вектор г/г (г=1г1), Спроектируем векторное поле бц на направления а, 6 и найдем структур- !77 ную функцию получившихся скалярных полей: Р = (сса [бок(г,) — бок(г,)] ~„[би„(гк) — бп„(гк>]/ = акр„Окк (гь В изотропном поле величина 0 не должна меняться при одновременном повороте векторов г/г, а, [1 на произвольный угол.
Отсюда следует, что функция О может зависеть лишь от сохраняющихся при таких поворотах величин г, га/г, г]а/г и сф: Р ~г, —, —, в[1) = ак() Рь (гд [га гй (9.38) г г В силу линейности правой части последнего равенства по а, и р„ не составляет труда выписать общий вид левой части: 0 (г, —, —, и[11 = Я (г) и[1+ 5 (г) г г / гз ккх г х„к = афана (г) + акр — 5 (г) = ах[) 1[]7 (г/бк + 5(г) — 1 . Сравнивая эту формулу с (9.38), в силу произвольности векторов «к и ]) заключаем, что 0 (г) =Я(г)б; +5(г) — ' — !. (9.39) г г к х1 Ои = Ри(г)би+ [Огг(г) Он(г)] г1 (9.39'! В случае несжимаемой жидкости, который мы и рассматриваем, число независимых компонент тензора О„сводится к одной, так как имеется связь между Р„и О„.
Для упрощения выкладок установим зту связь для изотропного векторного поля бч. Рассмотрим сначала величину дач(г)/дх, (по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование). В силу г=г,— г, имеем д/дх,=д/дк,"', .где г,— (х,"', х,"', х,'"). В результате с учетом (9.31) и условия несжимаемости (дбо,/дх„=О) находим дВИ ддн,г дЪ; (гк) ,, — — " (ог(г,) — ' ~ = О. дх,. дк)О, дх]ц Дифференцируя справедливое для изотропных полей соотноше- 178 Таким образом, если в общем случае симметричный тензор второго ранга О„имеет шесть независимых компонент, то в изотропном случае их всего лишь две.
Обычно компоненты структурного тензора выражают через продольную и поперечную компоненты, рассмотренные выше в примере с Р„. А именно: направив вектор г вдоль оси х, (г/г=(1, О, О)), для продольной компоненты получаем О,„=Р„=/1+5. Аналогично для поперечных компонент имеем Рн=Рм=О„=Я. Следовательно, Я=Он, 5= =Є— Р„и ние (9.37), имеем аналогичное уравнение для структурного тензора: дРц/дх;= О, (9.40) Последнее оказывается справедливым и в общем случае локально-изотропной турбулентности, когда корреляционный тензор В„ не изотропен.
Если теперь в уравнение (9.40) подставить выражение (9.39'), учитывая при этом соотношения дг/дх,=х</г, д(х,/г) /Вх, = 6<„/г — х„х</г', будем иметь д0!! д!)и к! / дГ)к~ юИа '! к,'.к! ! 1 /Р ! + дк Ык г ~ Ыг Ыг ( гк ь к! + Ц)„— /У! — — = 0. г г Отсюда непосредственно следует искомое выражение поперечной компоненты через продольную: дг!гг ! к 0п = .0„+ — —" = — — (гЧЪ,). 2 Ик 2г Нг (9.4 1) Важную роль в корреляционной теории случайных полей играют спектральные разложения корреляционных и структурных функций в интеграл Фурье. Например, в случае однородного векторного поля для компонент корреляционного тензора (9.31) имеем М О Вм(г/= ') Рл(1!)ехр(йг)пи= ) Рп(1!)созкгДл. (942) ~о -эо Мы воспользовались здесь также условиями симметрии Вц(г,— г,) =Вц(г,— г,), Рц(1с) =Рц( — й). Аналогичное представление для структурного тензора Оц в силу (9.37) будет Вл!г! = 2 ~ (1 — соз(сг)Рп(й)Ж. (9.43) Отметим, что условия сходимости интеграла в (9.43) при (с-в-0 менее жесткие, чем интеграла (9.42), что также говорит о более широком классе процессов, описываемых изотропными структурными функциями.
В изотропном случае пространственный спектральный тензор Рц(й) должен выражаться через две скалярные функции. По аналогии с (9.39) и (9.39') запишем Ри !)г) = Р (й) би + б (й) — = Ри(й) бп + (Р „— Р и) †. "л!, ~А к~ ' ' ак В несжимаемой жидкости при подстановке (9.43) в условие (9.40) получаем ') з(п(йг)йгРм(й)Ж =О, откуда при произвольном г следует, что Й,Ри()с) =0 и, следова- тельно, С (А) = — Р(й), Р„(й) = О, Рн(й) = (бц — —,) Ри. (9.44) "А '1 Пространственная спектральная плотность поля скорости непосредственно связана с кинетической энергией турбулентных пульсаций. Например, для однородной и изотропной турбулентности след Ви корреляционного тензора Ви, взятый при г=О, определяет среднюю пульсацнонную энергию единицы массы жидкости: Ви (0) = (бо, (г) бо~ (г)) = (бо,') + (бо',) + (бо',) = (бог).
С другой стороны, с учетом (9.42) и (9.44) имеем: <О / «г~ Ви(г) = ~ Ри(й)созйгсй, Ри(й)=~би — — ')Ри(й)=2Ри(И). Здесь интегрирование по К выполним в сферических координатах: й(г=й'з1п Ойбйрйй, )гг=лгсоэО (полярная ось направлена вдоль г). Для изотропного случая легко находим Ви(г) = ( ( ( соз(йг сов О)Ри(й)йь з!и Ойбсбэйй = ьье = 4п ~ — Ри(А)ЙЧЙ. аг в Положив г .0 и Е (й) = 4ий* — = 4юй*ри(А), "и (а) 2 (9.46) найдем для средней пульсационной энергии единицы массы жидкости выражение т = '" =~ Е(й) йй. и,. <о) (9.47) 2 ь Функция Е(А) называется спектральной плотностью энергии.
С помощью (9.46) и (9.43) спектральный тензор Ри((г) выражается через Е(И) следующим образом: Рп(й) = (Ỡ— — ') †. айаг ~ е(А) (9.48) «ь ) 4паь Аналогичное (9.45) выражение для следа структурной функции Р„(г) имеет вид (см. задачу 9.2) Рь(г) = 2Рп+ Р„= 4 ~(1+ — 1Е(й) ая. »г / о (9.49) Приведем также спектральные разложения функций Р„и Р„ через Е(я) (см. также задачу 9.10): ,) ~з Ам»чь / ю (9.50) мваг согаг +Мозг )Е(ь) уь ьт »зк~ »э~з / Рн(г) = 2 ~~ Отметим также, что параметры Е. и в., как и должно быть, совпадают с определяемыми (9.35) минимальным масштабом турбулентности Е» и соответствующей ему скорости частиц о . В этом легко убедиться, учтя также (9.32).
Таким образом, первая гипотеза Колмогорова утверждает, что если измерять скорость в единицах о„, а расстояние — в единицах Е, то статистические характеристики локально-изотропной турбулентности определяются некоторым универсальным образом. Эквивалентное (9.51) выражение для спектра Е(я) размерности (Е) = [Ео*] 131 35.3.
Гипотезы подобия Колмогорова. Мы уже говорили, что в развитом турбулентном потоке с большими числами Рейнольдса мелкомасштабные компоненты пульсаций (Е„«Е,) будут локально-изотропными и не зависящими от средних характеристик потока. Следовательно, структура турбулентности при Е.«Е, может зависеть только от двух размерных параметров: е и т первая гипотеза Колмогорова.
Отсюда, в частности, следует, что структурные функции Р„(г) и Р„(г) при всех г~Е, должны иметь вид Р„(г) =Р„(а, ч, г) (аналогнчно и Р„). Составляя из е и т величины с размерностями скорости о.=(ет)" и длины Е,= (т'/е)"', а также вводя безразмерную комбинацию г/Е„, выпишем структурные функции, имеющие размерность (оз), в виде: Р„= *,У„(.(Е,), Ра=Ф (М,), .С;Е., (9.51) где 7„(4) и 7о(5) — некоторые универсальные функции; 5= =г/Ь„=га"т '/. Последние связаны друг с другом соотношением, следующим из (9.41): Ра($) = 7„%)+ — ~,',($).
! 2 будет Е (й) = Е„о„'ф (Е„й), (9.52) где ф($) — новая универсальная функция. В более узкой области, а именно, в ранее определенном инерционном интервале масштабов Ег~г~Е, (1/Е,ч,"як,1/Е„) можно сделать некоторые заключения относительно явного вида функций /„, /„ и ф. Здесь структура турбулентности целиком определяется только величиной е и не зависит от вязкости. Это. утверждение является второй гипотезой подобия Колмогорова, которая позволяет установить асимптотический вид функций /„(э) и /и($) в (9.51) при $л 1. Записав, например, Р„ в виде Р„=еьт "/„(ге'/ч и), будем искать асимптотику функции /„($) при больших 5, положив /„=С„й" и выбирая и так, чтобы параметр'т выпал. Однозначно получаем и='/„ следовательно, Р (г) =С,ечч"ь, Р„(г) =С,е*ьг'ь, (9.53) Связь между универсальными постоянными С, и С, найдем из (9.41): С, ='/,С,.
Таким образом, в произвольном развитом турбулентном потоке с большим числом Рейнольдса средний квадрат разности скоростей в двух точках, расположенных на не слишком больших или малых расстояниях г друг от друга (Е в,'гЕ.Е,), пропорционален г*ь. Это утверждение, впервые сформулированное в 1941 г. А. Н. Колмогоровым, называется законом '/, Колмогорова. С ростом г до масштабов среднего течения (порядка Е,) этот закон должен замедляться, выходя на некоторую постоянную, но уже не универсальную, а зависящую от исходного потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
