Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ответ: Ьр — рзу ((ч т/) т) = — рбзигоэ/дх,.дхэ, 8.8. Найти профиль скорости н силу трения для течения Куэтта между двумя соосными цилиндрическими трубами кругового сечения, одна из которых движется относительно другой вдоль образующей со скоростью оэ. Р е ш е н и е. Пусть радиус неподвижной трубы Йь движущейся — йз. Скорость частиц жидкости направлена вдоль образующей и зависит только от расстояния до оси г: о„о(г). При этом ннерционный член в уравнении Навье — Стокса (тчу)т=б. Радиальная и продольная составляющее этого уравнения имеют вид: др/дг=б, др/дк=цбо=цг-~(го')'.
Отсюда с учетом симметрии задачи получаем р=сопз1 (др/дх=б) и о(г) А!п(гЯ~)+В. Постоянные А и В определяются иэ граничных условий (о(Л~) =О, о (Йт) оэ): В=О, А=по/!па, и=йз/йь о(г) оа!п(г/Й~)/(пес. Сила трения, действующая иа единицу площади /-го цилиндра (/= 1, 2), !55 равна с учетом направления нормали =(-1"'Π— ~ =(-!)" Π— ' дг 1, и А' (псе Как и должно бмть, сила, действующая на единицу погонной длины, одина. коза по величине для каждого нз цилиндров, но протшюположно направ лена: Р = 2мК / = ( — 1)/+с ймг)ое/1п а. 8.8.
Рассчитать профиль скорости для течения Пуазейля между соос ными цилиндрами. Найти расход жидкости. Решение. Компоненты уравнения Навье — Стокса будут аналогичны полученным в предыдущей задаче, но здесь уже следует считать др/дх=сопа(. Интегрируя дважды уравнение для о(г), получаем ! др г о (г) = — — гз + А 1п — + В. 4с) с(х /(с С учетом граничных условий (о(ис о(из=О) находим: В = — — Р„А = — (/(з — )7с) !и сс, сс 1 (р з ! (р з / 4с) дх 4м с(х с с / )7 и = — — 1 — — + (а' — 1)— Ыр 1 гз ( 1п( //7с) 1 4» с(х ~ Вс !па Отсюда для расхода жидкости имеем из и с(р, / аз — 11 С> = 2м ~ го (г) с(г = — — )7~ (аз — 1) (1 + аз — / ° 8г) с(х с ~, !па л1 8.7.
Рассчитать с учетом силы тяжести течение Пуазейля в круглой трубе, образующая которой наклонена к горизонту под углом 6. У к а з а н и е. Исследовать течение аналогично рассмотренному в п. 31.3, учитывая в уравнении Навье — Стокса силу тяжести, направленную вертикально вниз. При этом в выражении для о изменится только значение постоянной Ь, которая теперь будет равна Ь вЂ” (др/дх) — риз(п 8. 8.8. Найти профили скорости и давления в случае течения Куэтта между двумя соосными цилиндрами радиусов Йс н /7с, вращающихся вокруг общей оси с угловыми скоростями ыс и юс соответственно.
Решение. Совместим ось х с осью цилиндров и введем в перпендикулярной плоскости полярные координаты г и ф. Очевидно, что р=р(г), о,=о,=О и оэ о(г). В полярных координатах имеем: д еэ д 1 д/ д1 1 дз С/ = е, — + — —, д = — — 1 г — ! + — —, оа = — о з(п ср, — гд,, др —, д,~ дг/' гс дрз э— о д др х др др др др о =егози, (ч17) =, = — — = — сов ф, = — 3!Псу. г дср ' дх г дг дг ' др дг С учетом этих выражений запишем уравнение Навье — Стокса по компо- !58 нентам: Отсюда легко следует 1 бр о' 1 б l йо) оз И(1 б — — — — — — 1)г — ) — — = О, или — ~ — — (гв)~ = О.
рог г ' гг(г~ бг) гз ' бг!!гбг Общим решением последнего уравнения будет функция о(г) яэг+яр!(1з(г Удовлетворяя граничным условиям (о((41) вФь о()тз) =вз(!з), находим: азиз — в, аз 1~~ Йэ=, Й = — (вэ — вз), а аз — 1 з а' — 1 !(з ' г оз р(г) =р(!!з)+р) —,г( =р(М+ Из формулы для о(г) также следует, что слой жидкости на расстоянии г от оси вращается с угловой скоростью в(г) =Йэ+ЙгйР(гз, т. е.
движение вязкой жидкости является комбинацией вихревого вращения с постоянной частотой Яз и потенциального вращения с частотой Йр)1~з(гз (см. зздачу 7.1). 8.9. Определить вязкие напряжения в течении Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами, а также момент вязких снл М(г) относительно оси вращения. Решение. Вязкие напряжения будут одинаковымя в любой плоскости, проходящей через ось. Поэтому нам достаточно найти озэ(„з. Воспользовавшись выражением (8В) „имеем Подставляя в эту формулу и, и о„из задачи 8.8, найдем: 1(з ° (зз яз ссэ — 1 гз Отсюда для момента вязких свл получаем вз — вз М = йиго г = — 4пц з Йз)(~. зэ )зэ !!э 1 з' Как и должно быть, М постоянен.
Заметим, что этот факт можно было бы взять за исходный при выводе уравнения для о(г). 8.10. Подучить выражеяие для вязких воля между двумя параллельнымн стенками, отстоящими друг от друга на расстояние Ы, предполагая, что одна нз стенок покоится, а другая колеблется в своей плоскости по закону о=озехР( — гвг). найти амплитУдУ вЯзкой силы на неподвижной плоскости. !57 Р е ш е н и е. Пусть уравнение веподвижноа плоскости г = д, подвижной ,г=о.
Общее гармоническое решение уравнения для вязких волн (ЗА9) имеет вид (о=аз) о (Авь[(1+1)ую[2т(д — г)]+Всь[(1+1)ую[2т(д — г)])ехр( — ио1). Из условия о(д) =О следует В=О. Удовлетворяя условию при г=о, находии: А зЬ [(1+ 1) а] = ое сз = — д, 2т зЬ В(+1) м(1 — г)д)] о = оз ехр ( — (ю)). зЬ [(1 + 1) а] для вязкой силы на единицу площади неподвижной стенка имеем Оо [ а (1+1) ехр( — (ю)) а (1+ 1) ехр ( — )юФ) — з)оз — . д зЬасоза+(сЬаз)пи При атом амплитуда вязкой силы Р=][,] будет равна и т'2 — Чоз г" Чое — (зЬз а созе а+ сЬз а мпз а)"В у 2 а (сЬз а — созе а)у д Глава 9 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ Все рассмотренные в предыдущей главе случаи движения вязкой жидкости относились к так называемым ламинарным течениям.
Термин «ламннарный» возник вследствие того, что прн окрашнваннн струй жидкости следы краски в таком течении располагались слоями. Как показывает опыт, прн достаточно малых скоростях потока жидкости течение всегда является ламннарным, однако прн увеличении скорости всегда переходит в так называемое турбулентное течение, являющееся уже существенно нестацнонарным.
Скорость частиц жидкости в каждой точке турбулентного течения, так же как давление н другие характернстнкн, изменяется во времени нерегулярно, случайным образом даже прн постоянных внешних условиях. Дан~пня глава н будет посвящена изложению основных проблем н методов теорнн турбулентности.
158 ф ЗЗ. Качественные закономерности. Гидродинамическое подобие 33.1. Переход ламинарного течения в турбулентное. Впервые зта явление в трубках круглого сечения изучалось еще в 1839 г. Хагеном. Однако систематические исследования возникновении турбулентных течений с установлением критерия перехода были проведены только в 1883 г. Рейнольдсом.
При атом было установлено, что определяющим фактором при переходе ламинарного течения в турбулентное является не величина скорости потока о„ а число Рейнольдса Ке=о,0/ч, где 0 в характерный пространственный масштаб (диаметр трубы); ч — кинематическая вязкость. Напомним, что число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к вязким силам в уравнении Навье — Стокса. Рейнольдс установил„ что существует критическое число Ке„„ такое, что при Ке(йе„» поток будет ламинарным, а прн йе) йе„, — турбулентным.
Переход ламинарного течения в турбулентное легко фиксировался при наблюдении окрашенных струй. При ламинарном движении струя имела вид ровной линии. При переходе к турбулентному движению струя завихрялась, краска размывалась, постепенно расплываясь по всему сечению трубки. Изменение числа Рейнольдса при течении в одной и той же трубке можно осуществлять как изменением скорости потока, так и изменением вязкости жидкости, например подогревая ее или заменяя на другую.
Серия подобных опытов, проведенных Рейнольдсом„ подтвердила высказанный им критерий и позволила зкспериментально измерить величину Ке„,. В опытах Рейнольдса с плавным входом в трубку было получено Ке„,=12830. Дальнейшие исследования показали, что величина Ке„., существенно зависитот степени турбулизированности (возмущения) входящего потока, обусловленной в том числе и влиянием входных условий в трубку.
Так, в случае трубки с острыми краями йе„,=2800. Напротив, особые предосторожности (плавный переход, гладкие стенки, отсутствие вибраций) позволяют «затянуть» ламинарный режим до Ке=20000 и выше. Однако многочисленными опытами было также установлено, что прн Ке(2000 течение всегда ламинарно, точнее, любые возмущения потока, входящего в трубку, затухают в ней и движение на некотором расстоянии от начала трубки становится ламинарным. Аналогичная картина наблюдается и для пограничного слоя. Здесь, как мы уже отмечали в гл. 8, число Рейнольдса можно определить двояким образом: Ке« вЂ” — и,л(х)/ч, Ке.= о,х/ч, где Ь(х) — толщина пограничного слоя (в соответствии с (8.65) йе,ж буайе.). Естественно, что число Рейнольдса растет при продвижении вдоль пограничного слоя, поскольку толщина послед- 159 него увеличивается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
