Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е (и> лу Постоянную интегрирования С можно определить из условия на стенке (у=О), где т'=0 (бо„=бо„=О), следовательно, е (ю С=Π— ~ =т,. Ы е у=о В результате имеем ч — "'" +'=... (9.23) ее т. е. сумма вязких и турбулентных напряжений остается постоянной величиной т„не зависящей от удаления от стенки. Прн малых у в непосредственной близости от стенки в левой части (9.23) главным является первый член (вязкие напряжения), так как. т'- "О.
Эта область называется вязким подслоем, 172 (9.25) Опыт показывает, что закон (9.27) справедлив приблизительно прн ь<8, в то время как логарифмический закон (9.26) справедлив при ~>30 с А=2,5 и В 5,5. В промежуточной области 8<~<30 полученный в опыте профиль скорости отклоняется от того и другого закона и соответствует плавной переходной кривой. М. Д. Миллионщиков существенно усовершенствовал теорию потому что профиль средней скорости в нем совпадает с полу- ченным при ламинарном течении (9.21).
Однако движение в вяз- ком подслое не является ламинарным: в нем имеются заметные турбулентные пульсации скорости. Наоборот, при достаточном удалении от стенки в левой части (9.23) превалирует второй член, так что можно приближенно положить т'= — р(бо.бо„) = т,.
(9.24) В этой области поток импульса в направлении у, а также величи- на градиента средней скорости д(о)/ду определяются исключи- тельно турбулентным трением, а молекулярная вязкость при этом несущественна. Выясним, от каких величин может здесь зависеть величина Ы(о)/ду. Поскольку молекулярная вязкость не играет роли, то остаются только три размерные величины р, у и т,— существенная величина, определяющая поток импуль- са от стенки в жидкость. Из этих трех величин можно составить лишь одну комбинацию той же размерности, что н градиент ско- рости, а именно (т./р)"у-'.
Мы учли при этом, что согласно (9.24) размерности квадрата скорости и величины т,/р совпада- ют. Обычно вводится величина о,= (т,/р)'*, называемая диками- ческой скоростью или иногда скоростью трения. Таким образом, вне вязкого подслоя будем иметь — =А — ', (9.25) ее е' где А — некоторая универсальная безразмерная постоянная. Удобно ввести безразмерную координату ~=у(о./ч). При этом уравнение (9.25) перепишем без изменений ь (ь> ьч — =А —, аь а его общее решение запишем в виде (о) = (А 1и ~+ В) о., (9.26) где  — еще одна универсальная безразмерная постоянная.
Об- ласть значений ~, в которой выполняется этот закон, называется логарифмическим пограничным слоем. Постоянные А и В могут быть определены из опыта. В терминах ~ изменение скорости в вязком подслое, анало- гичное закону (9.21), запишем в виде (о> = о.ь. (9.27) 173 (9.28) где х и ь,— безразмерные униееосаяьные постоянные, причем ~, имеет смысл безразмерной толщины вязкого подслоя, Формула (9.29) означает естественное предположение, что закон линейного возрастания 1 начинается не от стенки, а от внешней границы вязкого подслоя При таком усовершенствовании теории вместо закона (9.26) получается следующий: < з = — 1п!1+ х(ь — ьь)) + ьь 1) ь (9.30) ь х Закон (9.27) при ~(4, остается в силе. Формулы (9.27) и (9.30) при ь= ь, переходят друг в друга с непрерывной первой производной.
При 5„"»1 закон (9.30) должен переходить в (9.26), откуда можно установить связь между универсальными постоянными А, В и х, ь,; А=1/х, В=ь,+х '!пи. Полученный закон для профиля средней скорости в зависимости от ь хорошо согласуется с экспериментальными данными при х=0,4, ь,=7,8 (А= ~2,5, В=5,5). Параметр х обычно называют постоянной Кармана. 9 35. Локально-нзотронная турбулентность 35.1.
Качественные соображения о структуре развитой турбулентности. До сих пор мы анализировали средниехарактеристики турбулентного потока. Однако для ряда практических задач требуется знать и статистические свойсгва пульсационных скоростей бч и прежде всего их корреляционные функции (корреляционный тензор); Ви(ги ги 1) =(бо~(г, ° 1)бо,(г„1)), (9.31) В случае однородной турбулентности компоненты этого тензора будут зависеть только от разности г=г, — г,.
С точки зрения тео- 174 туроулентного пограничного слоя, получив вместо (9.26) закон, справедливый вплоть до ~=8. Приведем схему его рассуждений. Используя понятие о коэффициенте турбулентной вязкости (9.19), запишем уравнение (9.23) в виде (т)+ рК) — = ть а' <ь> ау Коэффициент молекулярной вязкости определяется в теоретической физике как «1=Ср1,о„где 1,— длина свободного пробега молекул; о, — средняя тепловая скорость; С вЂ” некоторая постоянная порядка единицы. Предположим, что для рК также справедлива аналогичная формула рК=р(о., где !†«длина свободного пробега» прн турбулентном перемешивании. Для получения логарифмического закона (9.26) при больших ~ надо предположить, что 1 пропорционально ~; это мы фактически раньше и сделали.
М. Д. Миллионщиков предположил, что о.Ь =х(ь — ~,), (9.29) рии случай однородной турбулентности является наиболее простым, но практически редко встречающимся в реальных турбулентных потоках. Однородность турбулентности нарушается, например, из-за наличия границ в реальном потоке, а также изза анизотропии, вносимой зависящей от координат средней скоростью течения. С другой стороны, есть основания надеяться, что мелкомасштабные возмущения потока с большими числами Рейнольдса будут локально-однородными и изогропными в небольших пространственных областях.
Несколько поясняет это утверждение качественная картина возникновения развитой турбулентности, предложенная еще в 20-х годах нашего столетия Ричардсоном и развитая А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым, которым в основном и принадлежат изложенные ниже результаты. Пусть мы имеем обтекание тела размером Е, жидкостью с характерной средней скоростью о,. Предположим, что число Рейнольдса среднего движения достаточно велико: Ке=о,Е,/э» »Ке„„ где Ке„, соответствует переходу к турбулентному режиму.
При возникновении турбулентности из-за неустойчивости ламинарного режима в первую очередь появляются возмущения с масштабом Е,-Е,. Их характерная скорость о,— величина порядка (((бо)'Я'*, сравнимая с изменением средней скорости бо,-о, на расстояниях порядка Е,. Свою энергию эти возмущения черпают непосредственно из осредненного движения, следовательно, они будут неоднородными в пространстве, как и средний поток. Число Рейнольдса пульсаций масштаба Е, (Ке,= =о,Е,/ч) будет еще значительно превышать Ке„,.
Поэтому они сами оказываются неустойчивыми, создавая возмущения с более мелким масштабом Е,. Последние при Ке,=одам»Ке„~ также неустойчивы и. порождают пульсации масштаба Е,(Е, и т. д. Вязкость при этом никакой роли не играет, так как числа Рейнольдса для каждого масштаба велики, и процесс обусловлен только нелинейными эффектами. Поэтому энергия при передаче от какого-либо масштаба к более мелкому не теряется и определяется не зависящей от масштаба величиной е — энергией на единицу массы, передаваемой за единицу времени от более крупных,масштабов к более мелким.
В частности, порядок ее вели-' чины может быть определен из соображений размерности как убыль энергии исходного течения. Единственной величиной размерности ~а) =Е*Т-', которая может быть составлена из Е, и о„ будет е-о,'/Е, (9.32) Процесс дробления крупных возмущений на более мелкие продолжается вплоть до вступления сил вязкости, т. е.
до таких масштабов Е (/У»1), для которых Ке =о„Е /ч-1 (или, точнее, Ке -Ке„,). Движение этих масштабов уже гидродинамически устойчиво и не распадается на более мелкие. Поступающая к этим масштабам в единицу времени энергия е переходит 175 в тепло из-за действия вязких сил. Таким образом, параметр е определяет также диссипацию энергии единицы массы жидкости за единещу времени (см.
задачу 9.9): При распаде основного потока на возмущения масштаба Е, возникают пульсации всевозможных направлений, а не только в направлении скорости о, усредненного потока. Другими словами, движение в масштабах Т., более изотропно, чем усредненный поток. Аналогично при образовании масштаба Е, из Е, изотропия пульсаций будет возрастать, а влияние основного потока ослабевать и т. д. В результате уже после нескольких стадий «размножения» турбулентное движение становится изотропным.
Иначе говоря, в развитой турбулентности почти все возмущения, за исключением лишь наиболее крупных, будут статистически однородными и иэотропными. Масштаб 1.,-Е, называют обычно внешним масштабом турбулентности, а ń— внутренним, или колмогоровским, масштабом. Чем больше число Рейнольдса Ке исходного потока, тем больше и число его дроблений с последовательно уменьшающимися Е„до Ь . Поэтому при достаточно больших нехолодных числах Рейнольдса будет существовать весьма представительный интервал масштабов Т.„(1«с.п~У), таких, что Ь,„'~1.„>>)., называемый инерционным интервалом масштабов, или просто инерционным интервалом.
Эти возмущения уже «забыли» о структуре основного потока, а силы вязкости для них еще не существенны. Поэтому основными определяющими параметрами в этом интервале будут масштаб возмущений Е. и скорость передачи энергии е. Ряд высказываний о характеристиках течения в этом интервале масштабов можно получить из соображений размерности. Определим прежде всего порядок пульсационной скорости о„ для масштабов Е„. Последняя может зависеть только от Ь„и е, из которых можно составить лишь одну комбинацию размерно.сти скорости о„- (е1„) ~'. (9.33) Используя формулу (9.32), мы можем также записать о, о,(1. Ч.,) ~'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
