Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров - Введение в механику сплошных сред (1119112), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Однако мы знаем, что продвижение точки отрыва пограничного слоя по потоку снижает коэффициент сопротивления (справа от миделя увеличивается область повышенных давлений). Это н приводит к кризису сопротивления. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса точка отрыва пограничного слоя (уже турбулизированного) снова продвигается влево, что приводит к возрастанию С». Прандтль для демонстрации кризиса сопротивления делал такой опыт. На сферу, обдуваемую в аэродинамической трубе при определенных числах Рейнольдса, он насаживал кольцо из тонкой проволоки так, чтобы плоскость кольца была перпендикулярна иайравлению воздушного потока. Это приводило к турбулизации пограничного слоя и соответственно к снижению коэффициента сопротивления.
В более детальных опытах было установлено, что при начальной турбулентности потока (э,тте)'*/о,=5.10-' кризис сопротивления наступает при Ке,= =2,7 10' (здесь под Ке„, понимается то значение Ке, при котором С» 0,3). Если же начальная турбулентность увеличивалась до 2,5 10-*, то Ке„, падало до значения 1,25 10'. $34. Законы усредненного турбулентного движения 34.!. Уравнения Рейнольдса для усредненного потока.
Нерегулярность турбулентного течения, казалось бы, делает невозможным какой-либо его теоретический анализ. Скорость потока в данной точке изменяется случайным образом, повторение опыта при тех же начальных условиях дает другой результат. Это происходит не потому, что здесь неприменимы основные уравнения гидродинамнки, а из-за того, что малейшие неконтролируемые изменения условий приводят к существенному изменению течения. Однако, как показал впервые Рейнольдс, можно получить определенные закономерности для средних величин в турбулентном потоке, применяя к нему аппарат теории вероятностей как к статистическому процессу. Предположим, что мы можем иметь достаточно большое количество «реализаций» данного потока при одних и тех же граничных и начальных условиях.
Характеристики потока (в частности, компонента сч скорости в каждой точке) будут случайно 168 изменяться от реализации к реализации нз-за влияния, как выше было сказано, неконтролируемых факторов. Скорость в любой точке для любой реализации может быть представлена в виде: о,=(о,)+бо„(бо,) =О, (9.8) где (о1) — средняя но достаточно большой совокупности реализаций скорость; бо, — случайное отклонение от этого среднего в данной реализации, флуктуация скорости.
Таким образом, совокупность реализаций можно рассматривать как статистический ансамбль. Усреднением по этому ансамблю, которое мы будем обозначать угловыми скобками, и получаются уравнения Рейнольдса для усредненного потока. Однако предварительно сделаем два замечания. !. Мы используем ряд правил усреднения, известных из теории вероятностей. В основном они почти очевидны, например среднее от суммы равно сумме средних ((ч,+ч,)=(ч,)+(ч,)), и будут использоваться по ходу дела.
Здесь следует упомянуть лишь одно, быть может, нан9>лее нетривиальное правило, а именно (до/дэ) = д(о)/дэ, (9.9) где э означает х„х„х, или г, а о — одна из компонент скорости, давление илн любая другая характеристика потока (плотность, температура н т. п.). Формула (9.9) выражает тот факт, что операции дифференцирования и усреднения можно менять местамн. 2. Развиваемая ниже теория основана на усреднении по совокупности реализаций. Нетривиален вопрос о возможности сравнения ее с экспериментом, поскольку в последнем (прежде всего при измерении реальных процессов в океане и атмосфере) обычно получают лишь одну реализацию.
Поэтому вместо усреднения по ансамблю обычно получают пространственные или временнйе средние измеряемых величин. Последние будем обозначать чертой сверху: тм о 4 !) = — ( о (г + т) г(т. т з -т* Возникает вопрос о соответствии тех и других методов усреднения. Например, стремятся лн временнйе средние прн неограниченном увеличении интервала осреднения к величинам, усредненным по совокупносви: !(ш у(() =(о). Те случайные процессы, т для которых это имеет место, называются эргодическими.
Легко видеть, что необходимым условием эргодичности случайного процесса является независимость у от времени (, так как в противном случае Ит у(!) не существует. Такое же требование тдолжно выполняться н по отношению к моментам разного порядка, образованным из случайной функции о(г).
Например, 169 ввтокорреляционная функция в точках г, =1 и 1,=1+ к Ф(т) =((о(1) — (о)) (о(1+т) — (о)))=(бо(1)бо(1+т)) (9.1!) должна зависеть лишь от разности 1,— 1,=т. Другими словами, все моменты случайной величины о(1) не меняются прн сдвиге соответствующих моментов времени на одну и ту же величину 1,. Случайные процессы, удовлетворяющие этому условию, называются стационарными. Аналогом стационарностн прн усреднении по пространству являются так называемые однородные случайные процессы, моменты которых зависят только от разностн координат соответствующих точек пространства, например пространственная функция корреляции 6(г,— г,) =(бо(1, г,)бо(1, г,)).
(9.12) Мы будем предполагать стационарность н однородность турбулентных течений, с которыми будем иметь дело. Однако условие стацнонарностн случайного процесса не является достаточным для его аргоднчностн. Можно показать, что достаточным будет следующее условие на автокорреляцнонкую функцию (9.11): 1пп Ь(т) =О, (9.13) означающее статистическую независимость между о(1) и «(1+т) прн больших т. Теперь перейдем к усреднению уравнений гндродннамикн несжимаемой жидкости. Усредннм по совокупности реализаций уравнение сохранения импульса (8.3): д <о<> д <П,»> р — =— (9.14 ) дФ дх» где р предполагается постоянной, а ( д«» ди» ~ П,» = рбм+ ри,о» вЂ” о,», а~» = >1 ~ — + — ~ ° (9.15) ~ дх» дх< ~ Усредняя тензор плотности потока импульса П„, с учетом (9.8) вмеем ~оо»)= ((о~)+бе< ((о,)+бо,) =(о»)(о»)+(бо»бо„), нескольку ((о) (о»)) = (о;)(о,), ((о)бо,) = (и<) (би„) = О.
Таким об- 4>азам, (»ч»1=(р)б; +рЫ)(о») — (и»)+р(бо,би„), йаи) = т1 (д(о;) ~дк»+ д(о») (дк,) . (9.16) В результате для средних величин (о,) н (р) имеем уравнение (9 14), как и в отсутствие турбулентности, но только с добав- кой н тензоре потока импульса члена р(бо,бо„). Уравнение (9.14) можно записать также в виде, аналогнч- 170 ном уравнению Навье — Стокса. Для этого, усреднив уравнение неразрывности б)о о=О (условие несжимаемости), получаем д(о,)/дх,=О, следовательно, д((о,)(о„))/дх,=(о„>д(о,>/дх„. После этого из (9.14) и (9.16) находим э<о~> д<о,> о<я> р — +р(пь) — ' = — — + дс ох а / а<о> + — ~ >1 — ' — р (бо|боь) о хо ~ дх„ (9.17) 34.2.
Турбулентное трение. При отсутствии турбулентности выражение в скобках в правой части (9.17) содержало бы только один член >)до</дх„, возникающий из-за вязких напряжений. Теперь к нему добавляется член Т;, = — р(бо;бо,), (9.161 Величина К называется кинематическим коэффициентом турбулентной вязкости, В разных областях потока она, естественно, может быть разной (даже принимать отрицательные значения). В частности, на самой стенке (бо, =бо,=О) К обращается в нуль. Однако обычно величина К на несколько порядков превышает коэффициент молекулярной вязкости о.
Турбулентные пульсации скорости могут переносить из одних частей потока в другие, кроме импульса, также и частички с более высокой температурой, создавая турбулентную теплопровод- 171 называемый напряжением Рейнольдса. Следовательно, турбулентные пульсации, так же как и вязкие силы„могут передавать импульс от одних частей жидкости к другим. Это легко понять и физически. Пусть средний профиль скорости течения в плоскости х, у имеет вид, изображенный на рнс.
9.6 пунктирной линией (длина стрелок пропорциональна величине скорости). Поскольку, кроме среднего потока, имеются еще и случайные добавки к скорости — турбулентные пульсации, то частицы жидкости нересекают линии тока осредненного движения и .переносят импульс, например, из точки О, где он больше, в точку А, где импульс осредненного движения меньше. Этот процесс вполне аналогичен переносу импульса из одних частей потока к другим молекулами нли атомами, чем обусловлена молекулярная вязкость жидкости.
Рассмотрим поток вблизи твердой стенки х,=О в направлении оси х„осредненные характеристики которого горизонтально однородны (т. е. не зависят от х, и х,). Тогда в (9.17) следует учитывать лишь одну компоненту полного тензора напряжений о'„= р (од(о,)/дх,— (ба,ба,) ) . Это выражение формально можно записать в виде: о'„= р(о+ К) д(о,)/дх„К= — (бо,бо,) (д(о,)/дх,)-'. (9.19) ность, или посторонние примеси, например дым, создавая турбулентную диффузию. Аналогично коэффициенту К можно ввести понятие о коэффициентах турбулентной теплопроводности и турбулентной диффузии.
34.3. Турбулентный пограничный слой. Рассмотрим течение вблизи плоской безграничной стенки. Средние характеристики потока предполагаем не зависящими от х — координаты в направлении средней скорости течения. В случае ламинарного течения уравнение Навье †Сток, так же как в случае течения Куэтта, дает: д*о/ду'=О, др/ду= О. Ось у направлена перпендикулярно стенке. Из (9.20) находим о=Ау+В, р=сопз1. На самой стенке у=О имеем о=О, следовательно, В=О.
Обозначим через Т, величину вязкого (тангенцнального) напряжения ц(до/ду) на стенке. Тогда тю=т1(до/ду),-е=Ат), А=Те/ц В результате получаем линейный профиль скорости о= (т,/т1) у. (9.21) Перейдем теперь к турбулентному движению, описываемому уравнением (9.17). Учтем, что в усредненном потоке отлична от нуля только х-компонента средней скорости, которую мы обозначим через (о)=(о„(у)). Тогда из (9.17) получаем (9.22) йу~ ед где т'= — р(бо,бо„) — напряжение Рейнольдса. При этом средние величины (бо„бо„) также могут зависеть только от у. Проинтегрировав один раз последнее уравнение, находим т) — +т' =С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
